ВОШ ( школьный этап )
олимпиадные задания по математике (7 класс)

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников

по математике для учащихся 8 классов, 2017-2018 учебный год.

1.Какой цифрой оканчивается сумма 92017+92018?

2. На сторонах  BC и AB прямоугольного равнобедренного треугольника  ABC(AC=CB) отметили точки F и E соответственно. Оказалось, что CF=FE=EB. Доказать, что AC=AE.

 3.Свежие яблоки содержат 80% воды, а сушёные 10%. Сколько надо взять свежих яблок, чтобы получить 6 кг сушёных?

4. Найти скорость и длину поезда, если известно, что он проходит мимо неподвижного наблюдателя в течение 7 с.  и затратил 25 с.,

чтобы проехать вдоль платформы длиной в 378 м.

5. Докажите, что если , то .

Решения заданий школьного этапа Всероссийской олимпиады

школьников по математике для учащихся 8 классов,

2017 – 2018 учебный год.

1. Какой цифрой оканчивается сумма 92017+92018?

Решение:     92017 + 92018= 92017 ( 1 + 9) = 92017· 10.

    Ответ: 0

2. На сторонах  BC и AB прямоугольного равнобедренного треугольника  ABC(AC=CB) отметили точки F и E соответственно. Оказалось, что CF=FE=EB. Доказать, что AC=AE.

Решение: Так как треугольник  прямоугольный и равнобедренный, то . Так как треугольник  равнобедренный, то . Тогда  (как внешний угол). Тогда  по гипотенузе и катету. Отсюда .

3. Свежие яблоки содержат 80% воды, а сушёные 10%. Сколько надо взять свежих яблок, чтобы получить 6 кг сушёных?

Решение.  Если в сушёных яблоках содержится 10% воды, то сухое вещество составляет 90%.Найдём массу сухого вещества в 6 кг сушёных яблок: 6 · 0,9 = 5,4 9 (кг). Та же масса сухого вещества была и в свежих яблоках, и она составляла 20% от их массы. Найдём массу свежих яблок:  5,4 : 0,2 = 27 (кг).

    Ответ: 27 (кг).

4. Найти скорость и длину поезда, если известно, что он проходит мимо неподвижного наблюдателя в течение 7 с.  и затратил 25 с.,

     чтобы проехать вдоль платформы длиной в 378 м.

Решение: Пусть x (м) – длина поезда, y (м/с) – его скорость.

Тогда x/y = 7 и (x+378)/y = 25 , откуда x = 147 (м), y = 21 (м/с).

Скорость можно определить сразу:  для проезда мимо платформы поезду потребовалось 25 - 7 = 18 (с). Следовательно, его скорость

378 : 18 = 21 (м/с), длина его 21· 7 = 147 (м).

    Ответ: 21м/с, 147м

5.   Докажите, что если , то .

Решение:  Обозначим  ().

Тогда .

Подставим в левую часть равенства:  и в правую часть равенства: . Так как получили равные выражения, то тождество верно.

Критерии оценивания.

В соответствии с регламентом проведения математических олимпиад школьников каждая задача оценивается из 7 баллов.

Рекомендуемое время проведения олимпиады: для 8 класса – 3 урока.

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников

по математике для 7 класса

1. Две лошади начали пить воду из одного бака, доверху наполненного водой. Гнедая лошадь выпила половину трети четверти половины бака, а вороная – четверть половины трети половины бака. Какая лошадь выпила больше воды?

2. Замените буквы цифрами так, чтобы получилось верное равенство

АААА + ВВВ + С = 2005,

если известно, что одинаковые буквы соответствуют одинаковым цифрам, разные – разным.

3. Дедушка решил подарить внукам по новогоднему подарку, состоящему из конфеты, яблока, апельсина, шоколадки и книги. На те же деньги он мог купить одни конфеты и их оказалось бы 224, яблоки– их было бы 112, апельсины – 56, шоколадки – 32, а книг – 16. Сколько внуков у дедушки?

4. Огород квадратной формы 5 м × 5 м нужно разделить несколькими кусками ячеистой сетки на 5 равных по площади «клетчатых» участков. Это легко сделать, используя 20 м сетки, как показано на рисунке.  Хватит для  этой  цели 16 м сетки? Выполните рисунок.

5. Каждый из трех мальчиков либо всегда говорит правду, либо всегда лжет. На вопрос «Есть ли хотя бы один лжец среди двух остальных?» первый ответил: «Нет», второй ответил: «Да». Какой ответ дал третий мальчик. Ответ объясните.

Ответы и решения к Всероссийской олимпиаде школьников

по математике для 7 класса

1. Ответ: лошади выпили равное количество воды.

Решение.

1)  – такую часть воды из бака выпила гнедая лошадь,

2)  – такую часть воды из бака выпила вороная лошадь.

2. Ответ: 1111+888+6=2005.

3. Ответ: 8 внуков.

Решение. Замечаем, что яблоко «стоит» 2 конфеты, апельсин – 4 конфеты, шоколадка – 7 конфет, книга – 14 конфет. Значит, «цена» подарка равна 1+2+4+7+14=28 (конфет). Следовательно, внуков у дедушки 224:28=8.

4. Ответ: хватит.

Решение. Одно из возможных решений показано на рисунке.

5. Ответ: «Нет».

Решение. Если предположить, что первый мальчик сказал правду, то оказывается, что все трое правдивы, а второй мальчик солгал, т.е. получаем противоречие. Значит, первый мальчик лжец, а второй сказал правду.

Предполагая, что третий мальчик всегда говорит правду, получаем, что первый ученик сказал правду, т.е. получаем противоречие. Значит, третий мальчик – лжец, т.е. он солгал и ответил: «Нет».