Анализ индивидуальной работы с детьми
учебно-методический материал по математике (7 класс) на тему

Анализ

индивидуальной работы  с детьми, имеющими повышенную мотивацию к учебно-познавательной деятельности; своевременность и качество проведения индивидуальных занятий.

Анализ участия обучающихся с высоким уровнем мотивации в муниципальном этапе предметных олимпиад.

Учитель: Кузнецова Н.А.

2014-2015 учебный год

 РАБОТА    С   УЧАЩИМИСЯ     ИМЕЮЩИМИ    ПОВЫШЕННУЮ    МОТИВАЦИЮ    К   УЧЕБНО – ПОЗНАВАТЕЛЬНОЙ    ДЕЯТЕЛЬНОСТИ.

Учение  -   это   целенаправленный   и   мотивированный    процесс,   поэтому   задача   учителя   состоит  в  том,   чтобы   включить   каждого  ученика    в   деятельность,   обеспечивающих   формирование  и   развитие   познавательных  потребностей   -   познавательные   мотивы.

При  работе  с   учащимися,    имеющими   повышенную   мотивацию   к   учебно-познавательной    деятельности    в   процессе    обучения     можно   использовать   следующие   методы:

1)  переход   учителя  с  позиции   носителя   знаний  (дающего   знания )  в  позицию   организатора    собственной   познавательной   деятельности,   т.е.  учитель  управляет    познавательной  деятельностью  ученика.

2) мотивация  познавательной   деятельности.  В   результате   у   ученика   формируется   либо   интерес,   либо   устойчивое   положительное   отношение   к   предмету.

Интерес   к  изучению  вопроса   зависит  от   убеждённости   учащегося  в   необходимости   данного   вопроса.    Наличие    интереса  -  необходимое   условие   обучения.   Чем   выше   интерес,   тем  активнее  идёт   обучение,   тем   лучше   результаты.   Наоборот,  чем  ниже  интерес,   тем   формальнее   обучение,    хуже   результаты.

 В   процессе   обучения   я   использую   два   способа   мотивации:  1)с  помощью   ранее   изученного   материала   и   2) с   помощью   обращения   к   практике.

ПРИМЕР  МОТИВАЦИИ    С   ПОМОЩЬЮ     РАНЕЕ   ИЗУЧЕННОГО   МАТЕРИАЛА.

При    доказательстве   теоремы  «Через   прямую   и   не   лежащую  на  ней  точку   проходит   плоскость,   и   притом   только   одна»,   провожу   беседу,   мотивирующую  познавательную   деятельность.  

-Что  нужно   доказать?        (Через   прямую   и  не  лежащую   на  ней   точку   надо   провести  плоскость,   и   притом   только   одну).

-Какие   знания  у  нас   есть  о   плоскостях?     (Аксиома  1.   Через  любые   три   точки   не   лежащие   на   одной   прямой   можно  провести   плоскость   и   притом   только   одну.)  

-Сколько   точек   необходимо   для   построения  плоскости?   (три)

-Сколько   их  дано   по   условию?   (одна)

- Что  ещё   дано   по   условию?    (прямая)

-Где   найти   ещё   две   точки?    (отметить  на   прямой).

В  этом  приёме   новое   знание   сочетается   с  ранее  известным,   что   облегчает   понимание,   создаёт   условия   для   осмысленного   запоминания.

ПРИМЕР    МОТИВАЦИИ    С   ПОМОЩЬЮ    ОБРАЩЕНИЯ    К   ПРАКТИКЕ.

При   изучении  признака   перпендикулярности   прямой   и   плоскости:  «Если   прямая    перпендикулярна   двум   пересекающимся   прямым,   лежащим  в   плоскости,   то  она   перпендикулярна  и   самой   плоскости».

Ученикам   можно  дать   длинную   линейку   или   рейку  и  задаётся  вопрос: «Надо   поставить   столб,   как   это    сделать?»  Предполагаемый   ответ  проверить   перпендикулярность   к   земле   с  двух   направлений.   После  этого  делается   вывод   и    формулируется  теорема.

Учащимся   с  повышенной   мотивацией   к   учебно – познавательной  деятельности  рекомендуется   давать   творческие   и   самостоятельные   работы;   использовать   коллективные   способы  обучения (организация   работы   ученика   с   учеником  или  ученика  с  источником   знаний).   У  одноклассников   проще   спросить   непонятное,   попросить   объяснить,  а  тот   кто  объясняет   ещё   лучше   усваивает   пройденный   материал.

Глубокие,   прочные,   а   главное  осознанные   знания   могут   получить   те   школьники,  у   которых   развита   не   столько   память,  сколько   логическое   мышление.   Начальным  моментом   мыслительного   процесса   обычно   является   проблемная   ситуация.   Мыслить   человек   начинает,   когда   у  него   появляется   потребность   что-то   понять.   Мышление   обычно  начинается    с   проблемы    или   вопроса,   с  удивления   или   недоумения,   с   противоречия.  Главное   не   просто   увидеть  проблему,   а   понять   и  захотеть   её   решить.

Создание    проблемной   ситуации  -  это  лишь  начало  обучения.  Затем  учащиеся   сами  (под  контролем  учителя)  должны  проанализировать  ситуацию,   точно   сформулировать   учебно – познавательную   проблему,   выдвинуть  гипотезу   и  доказать  её.    И  тут   учителю  надо  быть очень  осторожным:   чтобы,   попав  в   положение   невозможности   ученик  не   отчаялся,   надо   вовремя   прийти   ему   на   помощь.

Когда  результат   получен   и  ученик   гордится   своими   достижениями,   учитель   может   считать   свою   работу   выполненной.  Ведь   школьник   почувствовал   прелесть   открытия.

Можно   использовать  домашние  задания,  которые   позволяют   выдвинуть   на  следующем   уроке  учебные   проблемы,  поставившие   школьника   дома   в   тупик.

За  время   учёбы   в  школе   учащиеся   решают   массу   различных  математических  задач,  схожих   только  в  одном  -   почти   все  они   стандартны.   Есть   некие   алгоритмы,   которые   употребляются   до   автоматизма.    Однако   ученики,    как   правило,    не   могут   справиться

с   нестандартной    задачей,   выходящей   за   рамки    привычных  алгоритмов,  даже  если   для   её   решения   не   нужно   дополнительных   знаний.

ПОД   НЕСТАНДАРТНОЙ    мы  будем  понимать     задачу,   алгоритм   решение   которой  учащимся   не   известно.  К  нестандартным    задачам   школьного   курса   можно  отнести   многие   прикладные,    олимпиадные   задачи,   задачи   требующие  применения   знаний  из   смежных  дисциплин.    Нестандартная   задача  в  большинстве   случаев   воспринимается   как   вызов   интеллекту  и   порождает   потребность   реализовать  себя   в   преодолении  препятствия.

   Вера  в  то,  что  личного   опыта   достаточно   для   успеха,   затягивает   решающего,  а   увлечённость   поиском   решения  проблемы  -  главная  движущая   сила   творческой  активности.

Как учитель может использовать их (нестандартные задачи) в своей практике? Их  нельзя решать как обычную задачу:(постановка условия)       (вызов   к   доске)             (решение).

Без  предварительного   напряжённого  обдумывания   здесь  не   обойтись.  Эти  задачи   лучше   дать  на  определённый   срок   домой  для   обдумывания,   а    затем  разобрать  её  на  уроке  или   вне  его.                                                                                                                        

В  качестве  задач  для   работы  с   учащимися   интересующимися   математикой   не   надо  предлагать   как  слишком   простых,   так  и   слишком   сложных  задач.    Они  не   оказывают   существенного   влияния   на   интеллектуальное   развитие   учащихся.  Для   развития   учащихся   задача   должна  быть  трудная,   но   посильная  для  них.

Но  всё  же  работа   с   сильными   учащимися   по  математике  -   работа   «штучная».   Поэтому   без  индивидуальной   работы   вне  урока  не   обойтись.

Кружки,   факультативы и  спецкурсы   являются   основной   формой  работы   с   учащимися   с    повышенной   мотивацией   к   учебно  -  познавательной   деятельности.  Только   здесь   можно   рассмотреть  особые   типы  задач,   которые   иногда   называются   олимпиадными.  

  Но    рассмотрение   такого   рода  задач   не   отрицает  того,   что  большинство   тем,   рассматриваемых     на   кружках   и   факультативах,   должно   быть   связано   с   темой   уроков.  Использование   таких   заданий   в  практике   обучения     служит  развитию  интереса  к  математике  у    учащихся.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ   ОЛИМПИАДЫ  И  ПОДГОТОВКА  К НИМ.

В   целях   развития   у   учащихся   интереса   к  математике     проводятся   математические    олимпиады:    школьные,   районные,   городские,    областные.

Если   разрешить   участвовать   в   этих   олимпиадах  учащимся,   не  прошедшим   должной   подготовки  в  школе  под  руководством   учителя   или  самостоятельно,  то нередко   после  неудач  они   не  только   не  заинтересовываются   математикой,  но,   напротив,   часто   теряют   веру  в   свои   силы   и   вряд  ли  скоро    возьмутся   за   решение   трудных  и  даже   просто   занимательных   задач.

Поэтому   очень  важно  организовать    для   учащихся,   наиболее   интересующихся    математикой,  математические   кружки.   На   кружковых   занятиях   основной  целью   следует  считать  решение  интересных   и   оригинальных   задач,  расширяющих   и  углубляющих   знания  учащихся,   получаемых   на   уроках.   Однако   каждая   задача,   особенно   на  первых   занятиях   кружка,    не  должна   содержать  нагромождение   различных   трудностей   логического,   смыслового  и  вычислительного   характера.   В   противном   случае   у   учащихся   очень  быстро   пропадёт   интерес  к  математике.  Если   же  умело   поддерживать   любознательность   учеников,   предлагая   им   задачи,   соответствующие   их   знаниям,  помогая   в  необходимых   случаях,   то   это   привьёт им   вкус   к   самостоятельному   мышлению и   поможет   развитию   их   математических   способностей        .

При   решении  олимпиадных   задач    ученики   должны   проявить   смекалку  в   нестандартной   ситуации.   В   результате  выросла   целая   ветвь   науки  -   олимпиадная   математика.

Но   для  успешного   выступления   учащихся   на   олимпиадах   нужно   прорешать  с  ними   как  можно  больше   подготовительных   задач.    Как  же   подбирать  задачи   для   этой   цели?   Желательно    более   полно,   без  пропусков   представить   все   основные   направления   олимпиадной    математики,   все   типы   заданий.

К  ним  относятся   задачи  на   применение    принципа   Дирихле,  делимости   чисел,   задачи   на  раскраску,   инварианты,  чётность   чисел.   А  также   доказательство   неравенств,   стратегии   математических   игр,   Диафантовы   уравнения,    графы,   правило  «крайнего»   и  т.д.

Учителю   следует  особое   внимание   уделять   различным  подходам   к   решению   нестандартных заданий.       Для   развития   теоретического   мышления  и   логической  культуры   учащихся   гораздо   большую   пользу   приносит   решение   одной   задачи   различными   способами,   нежели  решение   множества   подобных   задач   одним  и  тем  же   способом.  

Организуя   работу   учеников   по  решению  нестандартных    задач,   учитель  должен   сравнивать  различные  способы   решения,   анализировать  их  с  точки   зрения   рациональности,   оригинальности  и   логичности.     Это  важно   для  овладения   учащимися    методами   научного  познания   реальной   действительности   и    приёмами   умственной   деятельности,   которыми   пользуются  учёные   математики  и   исследователи    других   направлений.

         Нужно   поощрять   детей,  предлагающих   наибольшее   число   решений                или  оригинальное   решение   определённых   задач.     Ориентируя  школьников  на   поиск «красивых»,  изящных решений  математических   задач,   учитель   подводит   к   открытию   новых   для  них  математических   фактов, способствует эстетическому   воспитанию  учащихся,   повышению   их   математической   и   общей   культуры.  

Часто математику  считают сухой и скучной наукой. Так думают те, кто не пошёл дальше страниц школьного учебника. Интерес к решению задач может появиться только тогда, когда уже есть некоторые успехи, когда ребёнок не испытывает трудностей с основными законами математики и освоил школьную программу.  Но очень часто школьники перегружены большим количеством вычислительных упражнений, ориентированных на выработку технических навыков, и испытывают «голод» по интересным, нестандартным задачам. Это приводит к тому, что даже те дети, которые на уроках получают только хорошие оценки, на олимпиадах и на вступительных экзаменах (а теперь ещё и на ЕГЭ) не могут не только правильно решить, но и понять условие задачи.

Сложилось мнение, что для занятий математикой необходимы особые способности. Приходится считать, что это так, с одной оговоркой.  Если у человека слабо развито логическое мышление, он не может обосновать свои действия, последовательно рассуждать, то было бы не разумно требовать от него каких-либо результатов в математике. Но ведь то же самое можно отнести к любой умственной деятельности. Тем более что эти способности можно развивать, особенно в первое время обучения в школе.

Гораздо чаще ученик не желает заниматься математикой, так как это занятие требует от него терпения и усидчивости и на первых порах никак не вознаграждается.

Нормальный, здоровый ребёнок может очень много. Нужно только открыть ему радость творчества, удовлетворение от успехов, научить радоваться своим победам и преодолевать трудности. Вот тут мотивация и играет свою особую роль.

Чтобы достигнуть каких-либо успехов, нужно напряжённо и достаточно долго тренироваться. Размышления над задачами развивают интеллект, сообразительность, способствуют повышению уровня математической грамотности.

Для того, чтобы ученики развивали свои способности к математике, не теряли интереса к решению сложных задач я и веду математический кружок. Но занятия в нём должны быть систематическими, так как только упорная работа по преодолению трудностей в решении задач может привести к каким-либо результатам.

Домашнюю работу я стараюсь давать так, чтобы среди заданий были и лёгкие (посильные для любых учащихся), и сложные, чтобы ребёнок понял, что не всё так просто. На уроке стараюсь разбирать по возможности все домашние задания и простые и сложные. Обязательно разбираем решение задач различными способами, если ребята их нашли, отмечаем наиболее короткое, «красивое» решение.

С учащимися с повышенной мотивацией к обучению провожу индивидуальные беседы, разбор решения задач и даю консультации по их решению. Провожу индивидуальную работу с одарёнными школьниками, направленную на развитие их мыслительных способностей, настойчивости в выполнении заданий, творческого подхода и навыков в решении нестандартных задач.

В этом учебном году математику я преподаю в 5 и 11 классах. Среди учащихся 5 классов проводилась олимпиада в рамках недели математики. Учащиеся 5 в класса тоже принимали участие. Несмотря на то, что класс имеет слабую учебную мотивацию, здесь есть учащиеся, которым предмет интересен. При подготовке я дала задания на дом. Дети отнеслись с недоверием. Заданий было 12. Много.  Я отметила, что срок даю 2 недели. Оказалось, что детей заинтересовало выполнение заданий. Среди заданий были сложные и простые, но с ними можно было справиться. По результатам выполнения домашней и классных работ выбрала учеников для олимпиады. Аракелян Эмануель стал призером школьной олимпиады. В 11 классе основной мотив – успешно сдать ЕГЭ. Поэтому кружок служит нам для того, чтобы разбирать сложные для них задания и индивидальной отработки знаний. Поскольку профиль социально –гуманитарный –для детей важны предметы гуманитарного цикла. В олимпиадах мы участие не принимали.

По физике на уроках работаю по тем же направлениям, что и по математике. Я преподаю физику в 7,8,10 и 11 классах. Учащиеся 7 класса  только начали изучать предмет, поэтому стараюсь заинтересовать учащихся домашними опытами, вопросами из жизни,рисунками, облегчаю процесс запоминания с помощью метода ассоциаций. В 8 классе провожу кружок по физике. Я предложила посещать кружок по желанию. Дети хотят изучать предмет и решать более сложные задания. На уроках не всегда хватает времени. Это проблема физики в школе. Сроком на месяц предложила  темы для исследования. Порадовало, что пожелали работать в этом направлении и слабые учащиеся. Использую пролонгированное оценивание, то есть разрешаю пересдать зачет или переписать самостоятельную. Возможно, некоторым детям это поможет преодолеть трудности и не отвернуться от предмета. В школьном этапе олимпиады принимали участие мои дети из 7 и 8 классов. Никищина Вика  и Зулидова Дарья – победители. Семенова Полина и Васин Дмитрий – призеры. В районной олимпиаде принимали участие победители. 10 и 11 классы  - это дети, выбравшие социально – гуманитарный профиль, но и среди них есть те, которые выбрали сдавать ЕГЭ.  Здесь совместно с Зинаидой Михайловной определили направление работы: учащиеся, желающие сдавать предмет могут посещать кружок по физике, который проводит Зинаида Михайловна. Кроме того, на уроках детям даю индивидуальные задания.

Таким образом, в дальнейшем я планирую продолжить рабоу по названным направлениям и усовершенствовать методы работы с детьми, имеющими повышенную мотивацию.

Примеры  нестандарных  задач  по  математике

1. Рассматривается  последовательность  натуральных  чисел    2,  6,  30, …,  в  которой  к-член  есть  произведение  первых  к  простых  чисел  (к=2,  3,  5,  7,  . . .).   Известно,  что  разность  некоторых  двух  чисел  этой   последовательности   равна   30 000.   Найдите   эти  числа.

РЕШЕНИЕ.

2=2,            6=2*3,          30=2*3*5,       210=2*3*5*7        и   т.д.     рк=р1*р2*р3* . . .рк – произведение  к  простых  первых  чисел.   По  условию  pm – pn = 30 000.    pm 〉  pn ,    pm  кратно  pn  т.к.

pm = pn *  pn+1*  . . . *pm.              30 000= 2*3*5*(2*5)3,  то  есть  простыми  делителями  числа 30 000       могут  быть  лишь  2,  3  и  5,  тогда  п≤3,  а     pm 〉  30 000,  то есть  m 〉 3.

Если  правая  часть  делится  на  2, 3, 5,   то  каждое  слагаемое   pm   и     Pn   должны  делиться  на 2, 3 и  5.  Значит,  п=3,  а  р3=2*3*5=30,   тогда   pm  = 30 030= 2*3*5*7*11*13.   Члены  этой  последовательности  равны  30  и  30  030.

ОТВЕТ:  30   и  30 030.

2. Найти  наименьшее  целое  а,   при  котором  для  всех  действительных  х  выполняется  неравенство  х4 + 2х2 + а ≥ 4х.

РЕШЕНИЕ.

Докажем,  что  неравенство  х4 + 2х2 – 4х + а ≥ 0   выполняется  для  любого  действительного  значения  х.   Представим   левую  часть   в  следующем  виде:

х4 + 2(х2 – 2х +1) – 2 + а = х4 + 2(х – 1)2 + (а – 2)  ≥ 0 ,   первое  и  второе  слагаемое   неотрицательны,  тогда  а – 2 ≥ 0,  т.е.   а ≥ 2,  а  наименьшее  значение  а = 2.

ОТВЕТ:  а=2.

3. Вера  и  Аня  посещают  математический  кружок,  в  котором  больше  91%   мальчиков.  Найдите  наименьшее  возможное  количество  участников  кружка.

РЕШЕНИЕ.

Итак,  в  математическом  кружке  мальчики  и  2  девочки. Значит,  2  девочки  составляют  9%  от  участников  кружка,   тогда  1%  это  2/9  человека,   а  100%  это  200/9  или  22  человека.  Так  как  количество  участников  не  может  быть  дробным  числом,  то  число  участников  должно  быть  не  менее  23  человек.

ОТВЕТ:  23 человека.

4. На  доске   записывают   числа   1,  2, 4,  8,  16,  23,  28,  . . .  . Каждое  следующее  число  получается  из  предыдущего,  увеличивая  его  на   сумму  его  цифр.   Будет  ли  записано  на  доске  число  200520062007?

РЕШЕНИЕ.

Рассмотрев  эти  числа  заметим,  что  остатки  от  деления   этих  чисел  на  3   будут  таковы:   1, 2,  1, 2,   1,  2,  1 . . .  .  А  число   200520062007    делится  на  3   нацело.    Поэтому  оно   не  будет  записано  на  доске.

ОТВЕТ:   нет.

5. Решите  в  целых  числах   систему  уравнений    ху + z = 2005,

                                                                                           Х +уz = 2006.

РЕШЕНИЕ.

Отняв   из  первого  уравнения  второе,  получим   ху + z – x – yz =  -1

x(y – 1) – z(y – 1) = -1

(y – 1) (x – z) = -1

1. y – 1 = -1,                                              2)  y – 1 = 1,

x – z = 1.                                                      x – z = -1.

У =0,  z = 2005,   x = 2006.                     У =2,    х = 668,  z = 669.

ОТВЕТ:  (2006;   0;   2005),     (668;   2;  669).

6. Известно,  что х  и  у  - неотрицательные  числа.   Найдите   наибольшее  значение  выражения: .

РЕШЕНИЕ.

  =    =  +   = 19 +   .       Так  как   х  и  у  -  неотрицательные   числа,  то   наибольшее  значение  данного  выражения  равно    78 +19 = 97   при  х=0.   Если  же   х  и  у  -  положительные  числа,  то  значение  дроби       будет  меньше   78,   а   значение  данной   дроби  - меньше  97.

ОТВЕТ:  97.

7. Докажите,  что  для  любых  положительных  чисел   х  и  у   выполняется  неравенство:         +   ≤  .

РЕШЕНИЕ.

Так  как  х4+у2  ≥ 2х2у     и     у4+х2 ≥ 2ху2

  +   ≤   +   =   +    = .

8. Докажите,  что  а)число 55555 . . .555  (2004  цифры)   является  составным;                              б)число   49100  – 1450  кратно  5.

   РЕШЕНИЕ.

а)Это  число  нечётное   оно   не  делится  на   2,  проверим  сумму  его  цифр,  если  она  делится  на  три,  то  и  число   делится  на   3.          5*2004 + 3 =10 023.  Число  10 023  кратно  3,  значит  и  данное  число  кратно  3,  то  есть  является   составным.

б)Число  49100    оканчивается  цифрой  1,   так  как  число  100  это  чётное  число,  а  49  в  чётной  степени   оканчивается 1.    А  число  1450   оканчивается  цифрой  6   (так  как  50- чётное  число,  а 14  в  чётной  степени   оканчивается   6).

Тогда   разность   49100  – 1450    оканчивается  цифрой  5,   а  значит,  эта  разность   кратна  5.

9. Может  ли  сумма  цифр  квадрата   целого  числа  равняться   2005?

РЕШЕНИЕ.

Пусть  существует  число   а,  у  квадрата  которого   сумма  цифр    равна  2005.    Так  как  2005  не кратно  3,    тогда   по  свойству  делимости  на  3   число  а2  тоже  не  кратно  3,  а  значит  и  само  число  а  не  кратно  3.  Следовательно,  а=3к ± 1,  тогда  а2  =  9к2 ± 6к + 1 = 3(3к2  ± 2к)  +  1.  То  есть  число   а2,    а  значит  и  сумма  его  цифр  при  делении  на  три  даёт  в  остатке  1.  Число  2005    при  делении  на  3   даёт  в  остатке  тоже  1.   Значит,   сумма  цифр  квадрата  целого  числа   может   быть  равна   2005.

ОТВЕТ:  может.

10. Двузначное  число  в  6  раз  больше   суммы  его  цифр.   Найдите  это число.

РЕШЕНИЕ.

Пусть  а – число   десятков,   а  в  - число  единиц.  Тогда  10а + в  данное   двузначное   число,  а   а + в  - сумма  его  цифр.  По  условию   двузначное  число  в  6  раз  больше   суммы  его  цифр,  тогда  получим  уравнение   10 а + в  = 6(а + в).  Отсюда   имеем,  что  4а = 5в.   Так  как  числа  4  и  5  взаимно  простые,   то  число  а  кратно  5,  а   в   кратно  4.   А  так  как   а   и  в  цифры,  то  а=5,  в=4.  Получаем  число  54.

ОТВЕТ:  54.

11. Если   двузначное  число   разделить   на  сумму  его  цифр,   то  в  частном  получится  3,  а  в  остатке  7.   Найдите   это  число.

РЕШЕНИЕ.

Пусть  а – число   десятков,   а  в  - число  единиц.  Тогда  10а + в  данное   двузначное   число.   По   формуле  деления  с   остатком  имеем   10 а + в = (а + в) 3  +  7,             7а – 2в = 7,         7а – 7 = 2в.     Так  как   а  и  в   это  цифры,      а  числа  2  и  7  взаимно  простые,  то   число  в   кратно  7,   значит   в = 7  или  в = 0.     Если   в = 7,   то а = 3,    а  если  в = 0,  то  а = 1.       Получаем   числа   10  и  37.

ОТВЕТ:  10  И  37.

12. Генерал  построил  солдат  в  колонну  по  4,   но   при  этом  солдат  Иванов   остался  лишним.   Тогда   генерал    построил   солдат  в  колонну   по   5.   И  снова   Иванов  остался  лишним.    Когда  же   и  в  колонне   по  6   Иванов  остался   лишним,    генерал   посулил  ему   наря   вне   очереди,   после   чего   в  колонне   по  7   Иванов   нашёл   себе   место  и   ни  кого   лишнего   не  осталось.    Сколько   солдат   могло   быть   у  генерала?

РЕШЕНИЕ.

Так   как  в   колонне   по  7   человек  Иванов   нашёл   себе   место,   то  число  солдат   у  генерала  нужно  искать  среди  чисел   кратных  7.   На   5   без   остатка   делятся   числа,    оканчивающиеся 0  или  5,   тогда   при  делении  на  5    остаток  1  будут   давать  числа,  оканчивающиеся   1  или 6. На  4   без  остатка  делятся  числа,  оканчивающиеся  на  04,  08,  12,  16,  20,  24, . . .  ,  то  есть   последняя  цифра  4,  8,  2,  6  или  0,   тогда   остаток  1   при  делении  на  4  будут   давать  числа,  оканчивающиеся  на  5,  9,  3,  7  и   1.   Значит,  при  делении  на  4  и  5  остаток   1  будут   давать  числа,   оканчивающиеся   на  1.  Числа   кратные  7  и   оканчивающиеся   1  таковы:  21,   91,    161,     231,  301  и  т.д.    При   делении   на  6   остаток  1  дают  числа  91,  301.   Число   91  при  делении  на   4  даёт  остаток  3,  а  не  1.    Число   301   при   делении  на  4   даёт   остаток  1,  то  есть   удовлетворяет   всем  требованиям   условия.

ОТВЕТ:  301.

13. Каких  натуральных   чисел   от   1   до  2004   больше,   которые   делятся  на   7,    но   не   делятся  на  8    или   которые   делятся   на  8,   но  не  делятся   на  7?

РЕШЕНИЕ.

Среди  чисел   от  1  до  2004  чисел,   делящихся  на  7  без  остатка    больше,   чем  чисел,   делящихся  нацело   на    8.   Числа,  делящиеся без  остатка  на  7   и   на  8  это  числа   кратные   56.      Если  их   отнять  от  обеих   групп   чисел,   то   большая  группа   так  и  останется  большей.   Значит,  чисел,  делящихся  на   7  и  не  делящихся   на   8   больше,   чем   чисел,  делящихся   на   8   и    не    делящихся  на   7.

ОТВЕТ:  первых  чисел   больше.

14. Сравните   числа       +         и    2

РЕШЕНИЕ.

Чтобы   сравнить   числа         +         и    2  ,     оценим  их   разность                        +      -  2   =  (   -   )  -  (    -   ) =

=    -      =       -     〈  0,  так  как   числитель  первой  дроби   больше,  чем   знаменатель   второй   дроби.    

Значит,  число       +      〈  2

ОТВЕТ:   первое  число  меньше,  чем  второе.

15. Найдите  сумму      +     +     +  . . . +     .

РЕШЕНИЕ.

      +     +     +  . . . +      =      +     +              

+  +  . . . +      =    +     +  . . . +   =  

     +  + . . . +   =   =2  - 1.

  2  - 1.

16. Верно  ли,  что  =   2008?

РЕШЕНИЕ.

  =  =    разделим  числитель  и  знаменатель  дроби  на  2.

=   =    =      =    =   =  2008.

ОТВЕТ:   да,  верно.

17. Найти  сумму   6 + 66 +  666 + 6666 + . . . + 66666…666( п  раз).

РЕШЕНИЕ.

6 + 66 +  666 + 6666 + . . . + 66666…666( п  раз) =   (9 + 99 + 999 +  . . . +999 …9(п раз)) =

=   ( (10 – 1) + (102  -1) + (103 – 1) +. . . + (10п – 1) )=   (10 + 102 + 103 + . . . +10п  -  п ) =   . (   -  п)=

=  .( (  - п).

ОТВЕТ:   .( (  - п).

18. Найдите   все  пары   целых  чисел  (х;у),  удовлетворяющих  уравнению 2ху +  3у2 = 24.  (чётность)

РЕШЕНИЕ.

у( 2х + 3у) = 24,   а  числа   у  и  2х +3у   имеют  одинаковую   чётность.  Так  как  их  произведение   равно  24,   то  они   оба  чётные.

 Тогда  у1 = 2,                      у2 = 4,                       у3 = 6,                          у4 = 12,

             2х + 3у =12.             2х + 3у =6.                2х + 3у =4.                  2х + 3у =2.                

(3; 2)                          (-3; 4)                         (-7;6)                            (-17; 12).

Если  пара  (х;У)  является  решением  уравнения,   то  пара  чисел  (-х; -у)  так  же  является  решением  данного  уравнения.   Таким  образом  получаем   8  пар  решений   этого   уравнения.   Это  (±3; ±2);     (-3; 4);   (3 ;  -4);   (- 7; 6);   (7;  -6);   (-17; 12);   (17;  -12).

ОТВЕТ:     (±3; ±2);     (-3; 4);   (3 ;  -4);   (- 7; 6);   (7;  -6);   (-17; 12);   (17;  -12).

19. Докажите,  что   уравнение   2007 х2 – 2008 у2  =  2009   не  имеет  решений  в   целых  числах.

РЕШЕНИЕ.

Пусть  (х0; у0)  -  решение  данного  уравнения.   2007 х02 – 2008 у02 = 2009.  Вычтем   число   2007   из  обеих  частей  уравнения.    2007 (х02 – 1)  - 2008 у02  =2.     Числа   2008  и  2   чётные, а  2007  нечётное,  тогда   х02 -1  тоже  чётное.    Значит,   х0 =2к + 1    -   нечётное  число,  тогда   х02  -  1 = (2к + 1)2  - 1 =

= 4к2 + 4к + 1 – 1  =  4( к2 + к)   кратно  4.   То  есть  левая  часть  делится на  4,  тогда  и  правая  часть   должна  делиться   на  4.  Но  правая  часть  не  делится на  4,   а  делится  только  на  2.   Следовательно  уравнение  не  имеет  решений  в   целых  числах.

20. Доказать,  что  число   (1 +   +   +   +  . . . +  )* 2*3*4*  . . . *2004    а) целое;    б) делится  на  2005.

РЕШЕНИЕ.

     а)Раскрывая   скобки   получим  сумму   целых  чисел,   а  это  целое  число.

     б)Сгруппируем   дроби  в  скобках  парами   первую  с  последней   вторую  с  предпоследней  и  т.д.  и   приведём  их  к  общему   знаменателю.  

Например,  1 +    =   ,         +   =       и  т.д.    Все  числители  будут   делиться  на 2005,  а  знаменатели   исчезнут после  раскрытия  скобок.   Поэтому  указанное  число   будет   делиться  на   2005.