Задачи для олимпиад
олимпиадные задания по математике (8 класс) на тему
Задания и решения.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 68.72 КБ |
Предварительный просмотр:
8 класс
- Решите уравнение: (2 балла)
- Дан параллелограмм ABCD. Биссектрисы углов A и D пересекают сторону BC в двух точках, расстояние между которыми равно 2. Найти длину стороны BC, если AB = 5. (4 балла)
- Свежие яблоки содержат 88% воды, а сушёные – 10 %. Сколько сушёных яблок получится из 75 кг свежих? (3 балла)
- В равнобедренном треугольнике медиана к боковой стороне разбивает его на два треугольника так, что периметр одного на 6 больше периметра другого. Найти стороны данного треугольника, если известно, что его периметр равен 33. (5 баллов)
- Алгебраическое выражение принимает значение -21 при у = -3 и при некотором значении n. Чему равно значение того же выражения при том же значении n и при (4 балла)
- Доказать, что число a = 9619 +3213 – 8 ∙ 7316 делится на 10. (5 баллов)
- Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять каждого из этих сортов стали, чтобы получилось 140 т стали с содержанием никеля 30%? (5 баллов)
- Докажите, что при любом значении а > 1 значение выражения отрицательно. (6 баллов)
8 класс
- (2 балла)
х + 1 = 0 или х – 2 = 0 или х + 2 = 0
Ответ: -1; ±2.
- (4 балла)
Рис.1 Рис.2
Возможны два случая (рис. 1 и рис. 2).
В первом случае (рис. 1) биссектрисы углов A и D пересекаются выше прямой BC.
AM −биссектриса (∠1=∠2), BC || AD (∠2 =∠3) , следовательно, ∠1=∠3 , треугольник ABM − равнобедренный, BM = AB.
DN −биссектриса (∠4=∠5), BC || AD (∠5 =∠6) , следовательно, ∠4 =∠6, треугольник DCN − равнобедренный, CN =CD .
Из свойства параллелограмма следует CD = AB = 5.
Итак, BC = BM +MN + NC = 5+ 2 + 5 = 12.
Во втором случае (рис. 2) биссектрисы углов A и D пересекаются внутри параллелограмма.
Рассуждая аналогично, устанавливаем, что BM = AB и CN =CD .
Как видим BN = BM −MN = 3.
Итак, BC = BN +CN = 3+5 =8.
Ответ: 12 или 8.
- (3 балла)
100 – 88 = 12% - сухое вещество в свежих яблоках.
0,12 ∙ 75 = 9(кг) – сухое вещество в свежих яблоках.
100 – 10 = 90% - сухое вещество в сушеных яблоках.
9 : 0,9 = 10(кг) – сушеные яблоки.
Ответ: получится 10 кг сушеных яблок.
- (5 баллов)
В
А1
А С
Т.к. треугольник АВС равнобедренный, то АВ = ВС. Медиана АА1 разбивает треугольник АВС на два треугольника так, что периметр одного на 6 больше периметра другого.
Возможны 2 случая:
-
-------------------------------------
;
ВА1 = СА1, т.е. ВА1 - СА1 = 0.
АВ – АС = 6.
Пусть АС = х, тогда АВ = х + 6.
х + 2(х + 6) = 33
х + 2х + 12 = 33
3х = 21
х = 7 (АС) 7 + 6 = 13 (АВ, ВС)
Треугольник со сторонами 7, 13, 13 существует.
-
-------------------------------------
АС – АВ = 6.
Пусть АВ = х, тогда АС = х + 6.
х + х+(х + 6) = 33
3х = 27
х = 9 (АВ) х + 6 = 9 + 6 = 15 (АС)
Треугольник со сторонами 9, 9, 15 существует.
Ответ: 7; 13; 13. 9; 9; 15.
- (4 балла)
- при у = -3.
22n = 44
n = 2
Ответ:
- (5 баллов)
Доказательство.
Найдем последнюю цифру чисел:
- 9619
61 = 6
62 = 36
63 = 216. Последняя цифра числа 9619 равна 6.
- 3213
21 = 2 25 = 32
22 = 4 26 = 64
23 = 8 27 = 128
24 = 16 28 = 256…
13 : 4 = 3 (остаток 1)
Последняя цифра числа 3213 равна 2.
- 7316
31 = 3 35 = 243
32 = 9 36 = 729
33 = 27
34 = 81
16 : 4 = 4
Последняя цифра числа 7316 равна 1.
Полученное число оканчивается нулем, следовательно, делится на 10.
- (5 баллов)
Пусть стали первого сорта х (т), второго сорта – у (т)
35у = 3500
у = 100 (т)
140 – 100 = 40(т)
Ответ: 40 т стали 1-го сорта, 70 т стали 2-го сорта.
- (6 баллов)
Доказательство.
…………………..
Т.к. а > 0, то знаменатель 1 – а64 принимает отрицательное значение. И значение дроби также отрицательно.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Сборник задач для подготовки к олимпиадам.
В брошюре собраны задачи, которые могут быть полезны ученикам 7-9 класса, готовящимся к школьным и муниципальным олимпиадам по математике. Тематика задач разная: принцип Дерихле, четность-нечетн...
Олимпиады по математике в 5-6 классах, с содержанием задач на олимпийскую тематику.
Материал содержит олимпиадные задачи, в том числе на олимпийскую тематику, для проведения школьного этапа олимпиад по математике в 5-6 класса....
![](/sites/default/files/pictures/2012/11/15/picture-145145-1353002203.jpg)
Задачи школьного тура олимпиады по физике 9 класс
Задачи для школьного уровня олимпиады по физике для 9 классов...
![](/sites/default/files/pictures/2019/06/27/picture-233448-1561660194.jpg)
Презентация "Задачи к олимпиадам"
Данные задачи были рассмотрены на занятиях центра онлайн обучения Фоксфорд. http://foxford.ru отличный сайт для учащихся и учителей...
![](/sites/default/files/pictures/2018/01/26/picture-1000100-1516920641.jpg)
Программирование для школьников: Разбор задач командной олимпиады по программированию на языке Лого – 2015
Весной 2015 года, в Петербурге проходила восемнадцатая командная олимпиада по программированию на языке Лого. В каждой команде два человека и один...
![](/sites/default/files/pictures/2020/02/19/picture-247017-1582121781.jpg)
Задачи немецких олимпиад по математике (от Маркова С.Н.)
Данные задачи предназначены для учащихся 8-11 классов для подготовки к олимпиаде по математике...