Дидактические материалы для занятий математического кружка "Математика +" 7 класс. Занятие18-20. Задачи на проценты и части
план-конспект занятия по математике (7 класс) на тему

Задачи на проценты и части

Задача 1.

а) На какой коэффициент надо умножить число, чтобы оно возросло на 35%?

б) На какой коэффициент надо умножить число, чтобы оно уменьшилось на 30%?

в) Число умножили на 0,74. На сколько процентов и в какую сторону оно изменилось?

г) Число умножили на 2,74. На сколько процентов и в какую сторону оно изменилось?

Ответ. а) 1,35; б) 0,7; в) уменьшилось на 26%; г) увеличилось на 174%.

Решение. а) 35% числа x – это 0,35x. Если число x увеличить на 35%, получим х + 0,35x + 1,35x. Аналогично рассматривается пункт б. в) 0,74 от числа - это 74% от числа x. Так как 0,74<1, то число уменьшилось на 100%-74%=26%. Аналогично рассматривается пункт г.

Замечание. Решение всех задач на проценты основано как раз на переходе от процентов к долям и обратно. Главное – все время следить, от какой именно величины берется процент или как она изменяется.

Задача 2.

В двух бочках было воды поровну. Количество воды в первой бочке вначале уменьшилось на 10%, а затем увеличилось на 10%. Количество воды во второй бочке, наоборот, вначале увеличилось на 10%, а затем уменьшилась на 10%. В какой бочке стало больше воды?

Ответ. В обеих бочках воды по-прежнему поровну.

Решение. Пусть в каждой бочке было по x литров. После уменьшения количества воды на 10% в первой бочке стало 0,9·x литров воды, а после увеличения на 10% (уже от нового объема!) в ней стало 1,1·0,9·x = 0,99·x литров воды. Аналогично, во второй бочке стало сначала 1,1·x литров воды, а затем 0,9·1,1·x = 0,99·x литров воды. Таким образом, в обеих бочках количество воды по-прежнему одинаковое (но меньше прежнего!).

Задача 3.

Петя купил две книги. Первая из них на 50% дороже второй. На сколько процентов вторая книга дешевле первой?

Ответ. На 331/3%.

Решение. Пусть первая книга стоит x рублей, а вторая y рублей, тогда x=1,5·y. Отсюда находим, что y=2/3·x, то есть y составляет 2/3·100%=662/3% от числа x. Таким образом, вторая книга дешевле первой на 100% − 662/3%=331/3%.

Задача 4.

В 100 г раствора имеется 1% соли. После испарения стало 2% соли. Сколько весит этот 2-процентный раствор соли?

Ответ. 50 г.

Решение. Изначально соль составляет 1%, или 1/100, от 100 г раствора, то есть 1 г. После испарения этот же 1 г составляет 2%, или 1/50, уже от нового количества раствора. Это количество мы найдем, умножив 1 г на 50.

Задача 5.

У Буратино было некоторое число монет, на которые он мог купить либо букварь, либо курточку. Вместо этого он закопал их на поле чудес, которое ежемесячно приносило 25% дохода. Через сколько месяцев Буратино сможет купить и букварь, и курточку?

Ответ. Через 4 месяца.

Решение. Пусть у Буратино n монет. Каждый месяц число монет увеличивается на 25%, то есть в 1,25, или 5/4 раза (по сравнению с предыдущим месяцем, а не с самым началом!). Через месяц у него будет 5/4x монет, еще через месяц – уже (5/4)²·x = 25/16·x монет, потом 5/4·25/16·x = 125/64·x, и наконец, через 4 месяца 5/4·125/64·x = 625/256·x > 2x. Теперь у Буратино более чем в два раза больше денег, чем было изначально, и он наконец-то может купить и букварь, и курточку.

Задача 6.

Собаки Отгадай и Угадай соревновались в беге. Прыжок Угадая на 30% короче, чем прыжок Отгадая, но зато он успевал за то же время делать на 30% прыжков больше, чем Отгадай. Кто из них победит в соревновании?

Ответ. Отгадай победит.

Решение. Пусть Отгадай прыгает за один прыжок на S, тогда Угадай за один прыжок прыгает на 0,7S. Если Отгадай за отведенное время делает n прыжков, то Угадай за это же время делает 1,3n прыжков. Поэтому за отведенное время Отгадай преодолеет расстояние S·n, а Угадай 0,7S·1,3n = 0,91S·n < S·n. Поэтому Отгадай победит.

Задача 7.

Семиклассники решили пойти в поход. Первоначально девочек было 25% от числа всех участников. Но одна девочка не пришла, а вместо неё пришёл один мальчик, и тогда уже число девочек составило только 20% от числа всех участников. Сколько девочек и сколько мальчиков участвовало в походе?

Ответ. 4 девочки и 16 мальчиков.

Решение. Пусть изначально девочек было x человек, значит, всего в поход собиралось 4x человек. А на самом деле в поход пошло x − 1 девочек, а всего было 5·(x − 1) человек. Но общее количество участников похода не изменилось, значит, 4x=5·(x − 1). Отсюда найдем, что x=5. В походе же участвовало x − 1=4 девочки, а всего участников было 5·(x − 1)=20 человек. Тем самым мальчиков было 20 − 4=16 человек.

Задача 8.

Буратино предложил купить ириски. На что практичная Мальвина ответила: «Давай лучше купим леденцов. Купить их можно на 50% больше, а заплатить за них придётся больше только на 25%». Во сколько раз леденцы дешевле ирисок?

Ответ. В 6/5 раза.

Решение. Пусть куплено m ирисок или n леденцов. На ириски потрачено p рублей, а на леденцы q рублей. Значит, одна ириска стоит p/m рублей, а один леденец стоит q/n рублей. При этом по условию n=1,5m и 1,25p=q. Перемножая эти два уравнения, получим 1,25pn=1,5mq, откуда qm/pn=1,25:1,5=5/6. Чтобы узнать, во сколько раз леденцы дешевле ирисок, найдем отношение их цен. Это отношение равно q/n:p/m=qm/pn=5/6. Это означает, что цена леденца составляет 5/6 от цены ириски. Ириски, соответственно, стоят в 6/5 раза дороже леденцов, а леденцы во столько же раз дешевле ирисок.

Задача 9.

Известно, что среди шестиклассников каждый седьмой — любитель кино, а среди любителей кино каждый пятый — шестиклассник. Кого больше: шестиклассников или любителей кино?

Ответ. Шестиклассников больше.

Решение. На одного шестиклассника-любителя кино приходится 4 «просто любителя кино» и 6 «просто шестиклассников». Значит, шестиклассников больше, чем любителей кино.

Задача 10.

Буратино, спасаясь от преследования Дуремара, пробежал уже 1/5 км. Если ему удастся пробежать 40% этого, то до укрытия под мостом останется всего 3/7 того, что он пробежал. Сколько осталось пробежать Буратино?

Ответ. Еще 200 м.

Решение. 40% от 200 м – это 80 м. То есть если Буратино удастся пробежать еще 280 м, то до укрытия останется всего 3/7 от этих 280 метров, то есть 120 м. Значит, Буратино еще предстоит пробежать 80+120=200 м.

Задача 11*  

В трёх классах выполнялась контрольная работа. Оценки «5», «4», «3», «2» получили соответственно 28%, 35%, 25%, 12% учащихся. Сколько учащихся писали контрольную работу?

Ответ. Скорее всего, 100 (а вообще могло быть и 200, и 5000, и 3000000 – главное, чтобы число делилось на 100).

Решение. Пусть работу писали x учеников. Тогда пятерки получили 7/25·x ребят, четверки 7/20·x, тройки 1/4·x и двойки 3/25·x (см. задачу 1). Чтобы все эти числа были целыми, необходимо, чтобы число x делилось на 25, 20 и 4. Это условие выполняется, когда x делится на 100. Таким образом, ответом к задаче может служить любое число, кратное 100 (0, кстати, тоже). Но в трех классах навряд ли будет намного больше, чем 100 учеников, поэтому наиболее логичный ответ все-таки именно 100, а не 3000 и не 1024000000.

Задача 12*

Числитель дроби увеличили на 20%. На сколько процентов надо уменьшить её знаменатель, чтобы в итоге дробь возросла вдвое?

Ответ. На 40%.

Решение. Пусть наша дробь имеет вид m/n. Ее числитель увеличили на 20%, то есть в 1,2 раза. Пусть знаменатель уменьшился в x раз. Тогда 1,2m/x·n=2·m/n, откуда 1,2/x=2, x=0,6. Таким образом, знаменатель надо умножить на 0,6, то есть уменьшить на 40%.

Задача 13.

В растворе содержится 40% соли. Если добавить 120 г соли, то в растворе будет содержаться 70% соли. Сколько граммов соли было в растворе первоначально?

 Решение: Пусть x г весь первоначальный раствор, тогда

0.4x г – соли в первоначальном растворе,

(x + 120) г – стало раствора,

(0,4x + 120) г – стало соли в растворе, которая теперь составляет 70% раствора, т.е. 0,7 от всего раствора, составляем уравнение:

0,4x +120 = 0,7(x + 120), решив которое получим

x = 120

120 · 0,4 = 48 (г)

Ответ: 48 г.

Задача 14.

Процесс очищения воды в водохранилище от содержания в ней тяжелых металлов состоит из четырех этапов. На каждом этапе содержание уменьшается на определенное количество процентов к их количеству на предыдущем этапе:

на 1-ом – на 25%

на 2-ом – на 20%

на 3-ем – на 15%

на 4-ом – на 10%

На сколько процентов в результате уменьшается их количество?

 Решение:

Пусть x – количество воды, тогда оставшееся количество тяжелых металлов после очистки:

На 1-ом этапе – 0,75x

На 2-ом этапе – 0,8 · (0,75x) = 0,6x

На 3-ем этапе – 0,85 · (0,6x) = 0,51x

На 4-ом этапе – 0,9 · (0,51x) = 0,459x.

Таким образом всего ушло x - 0,459x = 0,541x, т.е. 54,1% тяжелых металлов.

Ответ: 54,1%

 Задача 15.

В январе завод выполнил 105% месячного плана выпуска готовой продукции, а в феврале дал продукции на 4% больше, чем в январе. На сколько процентов завод перевыполнил двухмесячный план выпуска продукции?

 Решение:

Пусть x – месячный план, тогда

1,05x – выпущено в январе,

1,04 · (1,05x) = 1,092x – выпущено в феврале, а всего за два месяца выпущено

1,05x + 1,092x = 2,142x.

Таким образом двухмесячный план 2x, а фактически выполнено 2,142x, т.е.

2x – 100%

2,142x – y%

 y = (2,142x · 100) : (2x) = 107,1%, т.е. план перевыполнен на 7,1%.

 Ответ: 7,1%

Задача 16.

 Сколько кг белых грибов надо собрать для получения 1 кг сушеных, если при обработке свежих грибов остается 50% их массы, а при сушке остается 10% массы обработанных грибов?

Решение. 1кг сушеных грибов – это 10% или 0, 01 часть обработанных, т.е. 1 кг : 0,1=10 кг обработанных грибов, что составляет 50% или 0,5 собранных грибов, т.е. 10 кг : 0,05=20 кг

Ответ: 20 кг

Задача 17.

 Свежие грибы содержали по массе 90% воды, а сухие 12%. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?

Решение:  1) 22 . 0,1 = 2,2 (кг) - грибов по массе в свежих грибах; (0,1 это 10% сухого вещества)

2) 2,2 : 0,88 = 2,5 (кг) - сухих грибов, получаемых из свежих (количество сухого вещества не изменилось, но изменилось его процентное содержание в грибах и теперь 2,2 кг это 88% или 0,88 сухих грибов).

Ответ: 2,5 кг. 

Процентное содержание вещества в растворе (например, 15%), иногда называют %-м раствором, например, 15%-й раствор соли. 

Задача 18.

 Сплав содержит 10 кг олова и 15 кг цинка. Каково процентное содержание олова и цинка в сплаве? 

Решение: Процентное содержание вещества в сплаве - это часть, которую составляет вес данного вещества от веса всего сплава. 

1) 10 + 15 = 25 (кг) - сплав;

2) 10/25 . 100% = 40% - процентное содержание олова в сплаве;

3) 15/25 . 100% = 60% - процентное содержание цинка в сплаве;

Ответ: 40%, 60%.

Концентрация.

Если концентрация вещества в соединении по массе составляет р%, то это означает, что масса этого вещества составляет р% от массы всего соединения. 

Пример Концентрация серебра в сплаве 300 г составляет 87%. Это означает, что чистого серебра в сплаве 261 г. 

Решение. 300 . 0,87 = 261 (г). 

В этом примере концентрация вещества выражена в процентах. 

Отношения объема чистой компоненты в растворе ко всему объему смеси называется объемной концентрацией этой компоненты. 

Сумма концентраций всех компонент, составляющих смесь, равна 1. 

Если известно процентное содержание вещества, то его концентрация находится по формуле: К=р/100% к - концентрация вещества; р - процентное содержание вещества (в процентах). 

Задача 19

Имеется 2 сплава, в одном из которых, содержится 40%, а в другом 20% серебра. Сколько кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы после сплавления вместе получить сплав, содержащий 32% серебра? 

Решение: Пусть к 20 кг первого сплава нужно добавить х кг второго сплава. Тогда получим (20 + х) кг нового сплава. В 20 кг первого сплава содержится 0,4 . 20 = 8 (кг) серебра, в х кг второго сплава содержится 0,2х кг серебра, а в (20+х) кг нового сплава содержится 0,32 . (20+х) кг серебра. Составим уравнение: 

8 + 0,2х = 0,32 . (20 +х); х = 13 1/3. 

Ответ: 13 1/3 кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы получить сплав, содержащий 32% серебра. 

Задача 20.

 К 15 л 10%-ного раствора соли добавили 5%-ный раствор соли и получили 8%-ный раствор. Какое количество литров 5%-ного раствора добавили? 

Решение. Пусть добавили х л 5%-ного раствора соли. Тогда нового раствора стало (15 + х) л, в котором содержаться 0,8 . (15 + х) л соли. В 15 л 10%-ного раствора содержится 15 . 0,1 = 1,5 (л) соли, в х л 5%-ного раствора содержится 0,05х (л) соли.

Составим уравнение.

1,5 + 0,05х = 0,08 . (15 + х);

х = 10.

Ответ: добавили 10 л 5%-ного раствора

Задача 21.

В бассейн проведена труба. Вследствие засорения её приток воды уменьшился на 60%. На сколько процентов вследствие этого увеличится время, необходимое для заполнения бассейна

Решение. Пусть Х – объем воды, который должен поступить за время Т при притоке А в ед времени., т.е. Х=АТ. Так как приток уменьшился на 60%, т.е. стал составлять 0,4А, тогда время стало ТК. Получим АТ=0,4А*КТ, откуда К = 2,5, что составляет 250% от времени, необходимого на заполнение бассейна до засорения, т.е. время увеличилось на 150%

Ответ. 150%

Задача 22.

5 литров сливок с содержанием жира 35% смешали с 4 литрами 20%-ных сливок и к смеси добавили 1 литр чистой воды. Какой жирности получилась смесь?

Решение. 0,35*5+0,2*4=р*(5+4+1), откуда р=0,255, что составляет 25,5%

Ответ. 25,5%

Задача 23.

Предварительно в двух бочках было воды поровну. Количество воды в первой бочке сначала уменьшилось на 10%, а затем увеличилось на 10%. Количество воды во второй бочке сначала увеличилось на 10%, а затем уменьшилось на 10%. В какой бочке стало больше воды?
Решение. Пусть а – первоначальное количество воды в каждой из двух бочек. В первой бочке после уменьшения количества воды на 10% ее стало 0,9а; после увеличения на 10% воды стало 0,9а+0,09а=0,99а. Во второй бочке после увеличения количества воды на 10% ее стало а+0,1а=1,1а; после уменьшения на 10% воды стало 1,1а-0,11а=0,99.

0,99а=0,99а, следовательно, воды в бочках осталось поровну.

Ответ: воды в бочках осталось поровну.

Задача 24.

На сколько процентов увеличится площадь прямоугольника, если его длину увеличить на 20%, а ширину – на 10%.

Решение.  Пусть а – длина прямоугольника, а в – его ширина, тогда площадь равна а*в. После увеличения длины и ширины прямоугольника соответственно на 20% и на 10% его площадь стала равна 1,2а*1,1в=1,32ав, значит площадь прямоугольника увеличилась на 0,32ав, что составляет 32% от ав.

Ответ: площадь прямоугольника увеличилась на 32%.

Задача 25.

Три ящика наполнены орехами. Во втором ящике на 10% орехов больше, чем в первом, и на 30% больше, чем в третьем. Сколько орехов в каждом ящике, если в первом на 80 орехов больше, чем в третьем?
 Решение.
Пусть х орехов было в первом ящике, тогда в третьем (х-80) орехов, во втором ящике 1,1х или 1,3(х-80) орехов. Составим уравнение:

1) 1,3(х-80)=1,1х

1,3х-1,3*80=1,1х
1,3х-104=1,1х
1,3х-1,1х=104
0,2х=104
х=52
2) 520-80=440 (ор.) – было в третьем ящике;

3) 520*1,1=572 (ор.) – было во втором ящике.

 Ответ: 520 орехов было в первом ящике, 572 – во втором и 440 орехов – в третьем.

Задача 26.

 Число а составляет 80% числа в, а число с составляет 140% числа в. Найдите числа а, в, с, если известно, что с больше а на 72. 

 Решение.

По условию задачи имеем а=0,8в, с=1,4в, с-а=72. 

с-а=1,4в-0,8в=0,6в

0,6в=72

в=72/0,6

в=120

Найдем число а

а=0,8в
а=0,8*120
а=96
Найдем число с

с=1,4в
с=1,4*72
с=168
 Ответ: а=96, в=120, с=168.

Задача 27.

Число а составляет 75% числа в и 40% числа с. Число с на 42 больше, чем в. Найдите числа а и в.

 Решение. По условию задачи имеем а=0,75в, а=0,4с; с-в=42. Выразим в и с через а, получим в=4а/3, с=5а/2

с-в=42
5а/2 – 4а/3 = 42

15а/6 – 8а/6 = 42

7а/6=42
а=42*6/7
а=36
Найдем число в

в=4а/3=(4/3)*36=48
 Ответ: а=36; в=48.

Задача 28.

Собрали 100кг грибов. Оказалось, что их влажность составляет 99%. Когда грибы подсушили, влажность снизилась до 98%. Какой стала масса грибов после подсушивания?

 Решение.  По условию в 100кг грибов содержится 1 кг сухого вещества (100-0,99*100=1). Масса сухого вещества в общей массе грибов постоянна (1кг) и стала после подсушивания составлять 2%: (100-98=2), следовательно масса грибов после подсушивания стала равной 50кг (т. к. 2% - 1кг, то 100% - 50кг).

 Ответ: 50кг.

Задача 29.

В колбе было 200г 80%-го спирта. Провизор отлил из колбы некоторое количество этого спирта и затем добавил в нее столько же воды, чтобы получить 60%-ый спирт. Сколько граммов воды добавил провизор?

 Решение.  Пусть х граммов 80%-го спирта было взято из колбы, а затем добавлено такое же количество воды. Тогда «чистого» спирта в этих х граммов было 0,8х. Поэтому в колбе осталось 0,8(200-х) граммов «чистого» спирта. Отсюда процентная концентрация спирта, после добавления х граммов воды, стала равна (200*0,8-0,8х)*100/200, что по условию задачи составляет 60%. Получим уравнение:

(200*0,8-0,8х)*100/200=60
0,8(200-х)*100/200=60
0,4(200-х)=60
200-х=60/0,4
200-х=150
х=50
По условию задачи масса х взятого 80%-го спирта была равна массе добавленной воды, следовательно, провизор добавил 50 граммов воды.

 Ответ: 50 граммов.

Задача 30.

За первый год население некоторой деревни возросло на n человек, а за второй — на 300 человек. При этом за первый год население увеличилось на 300%, а за второй — на n%. Сколько жителей стало в деревне?

Ответ. 500.

Решение 1. Пусть изначально жителей в деревне было х, тогда за год число жителей в деревне стало х+n, а после второго х+n+300 человек. Известно, что за первый год число жителей увеличилось на 300%, т.е., так как 300% от х – это 3x, то  n=3x. Так же известно, что за второй год число жителей увеличилось на n%, т.е. на . Т.к. население увеличилось на 300 человек, то =300, зная, что n=3x, получим: 10000 = 4х2, значит х=50. После второго года число жителей в деревне стало х+n+300=4x+300=200+300=500.

Решение 2. Пусть изначально жителей в деревне было х, возросло на 300%, т.е. на 3x, значит, стало равно x+3x=4x. За второй год количество жителей выросло еще на n%, так как n% от 4x это , то жителей стало 4x+.

По условию за первый год количество людей увеличилось на n человек, значит, n=3x. Во второй год количество людей увеличилось на 300 человек, значит 300=. Подставляя n=3x во второе равенство получаем 300=. Преобразуем: 1002=4x2 т.е. 1002=(2x)2. Откуда x=50.

Задача 31.

Лёша, Тоша и Гоша кушали пряники. Лёша съел на 10% больше пряников, чем Тоша. А Гоша на 20% больше, чем Лёша. Во сколько раз Гоша скушал больше пряников, чем Тоша? 

Ответ. В 1,32 раза. 

Решение. Пусть Тоша съел х пряников, тогда Леша съел 1,1х пряников и Гоша съел 1,2×1,1х=1,32х пряников. Таким образом, Гоша съел в 1,32 больше пряников, чем Тоша. 

Задача 32.

Хомяк сидит на диете. Каждый день он съедает 20% имеющихся к этому дню защёчных запасов. Изначально за обеими щеками у него спрятано поровну запасов. Через сколько дней все запасы поместятся за одну щёку? 

Ответ. Через 4 дня. 

Решение. Пусть изначально у хомяка всего х запасов, за одну щеку помещается  х/2 запасов. Выясним, когда количество защёчных запасов хомяка окажется меньше х/2 (или равно х/2). После первого дня у хомяка останется 0,8х запасов, что больше х/2. После второго 0,8×0,8х=0,64х запасов, что тоже больше х/2. После третьего дня, количество запасов у хомяка станет 0,8×0,64х=0,512х, т.е. по-прежнему больше х/2. После четвертого дня количество запасов станет 0,8×0,512х=0,4096<х/2, значит, после четвертого дня хомяк сможет поместить остатки своих защечных запасов за одну щеку.

Задача 33.

Посевной участок под бурьян имеет прямоугольную форму. В рамках реструктуризации одну сторону участка увеличили на 20%, а другую уменьшили на 20%. Изменится ли в результате урожай бурьяна, и если изменится, то как? 

Ответ. Урожай уменьшится на 4%. 

Решение. Пусть длина одной стороны участка – a, другой – b. Тогда площадь S=ab. Пусть сторона a увеличилась на 20%. Тогда она увеличилась на 0,2a то есть стала равно 1,2a. Сторона b уменьшилась на 20%. Значит она уменьшилась на 0,2b и стала равной 0,8b. Площадь нового участка будет равна: Sн=1,2a×0,8b=0,96ab, т.е. 96% от первоначальной площади. 

Задача 34.

Цены на плюшевых мишек в октябре выросли на 50%, а перед Новым годом на них объявили 50% скидку. Когда мишка стоил дороже – 1 сентября или 31 декабря?

Ответ. 1 сентября.

Решение. Пусть 1 сентября мишка стоил х, в октябре стоимость мишки увеличилась на 50%, и стала х+0,5х=1,5х. Перед Новым годом цена на мишек уменьшилась на 50% и стала 1,5х-0,5×1,5х=1,5х-0,75х=0,75х, что составляет 75% от цены сентября. 

Задача 35.

Мама купила ирисок в три раза больше, чем леденцов. Федя накинулся на ириски и съел 20% ирисок, а Маша – на леденцы – и съела 10% леденцов. Какой процент конфет съели дети?

Ответ. 17,5% от всех конфет.

Решение. Пусть леденцов было х, тогда ирисок 3х, т.е. всего конфет 4х. Федя съел 20% ирисок, т.е. съел 0,2×3х=0,6х конфет. Маша съела 0,1х конфет, т.е. всего было съедено 0,7х конфет. Так как всего конфет 4х, то дети съели 0,7х÷4x=0,175 от всех конфет или 17,5% всех конфет.

Задача 36.

В семье 4 человека. Если Маше удвоят стипендию, общий доход всей семьи возрастет на 5%, если вместо этого маме удвоят зарплату - на 15%, если же зарплату удвоят папе - на 25%. На сколько процентов возрастет доход всей семьи, если дедушке удвоят пенсию?

Ответ. 55%.

Решение. Если Маше удвоят стипендию, семейный доход возрастёт на размер этой стипендии. Следовательно, Машина стипендия составляет 5% общего дохода. Аналогично, мамина зарплата составляет 15%, а папина – 25%. Оставшаяся доля 100%-5%-15%-25%=55% приходится на дедушкину пенсию. Значит, если ему удвоят пенсию, доход всей семьи возрастёт на 55%.

Задача 37.

Это же решение можно сформулировать по-другому. Если бы всем членам семьи вдруг стали платить вдвое больше, общий доход увеличился бы на 100%. Из этих 100 процентов 5 приходится на Машу, 15 – на маму, 25 – на папу, а остальные 55 – на дедушку.

В 7 "Г" классе хватает двоечников, но Вовочка учится хуже всех. Педсовет решил, что либо Вовочка должен к концу четверти исправить двойки, либо его исключат. Если Вовочка исправит двойки, то в классе будет 24% двоечников, а если его выгонят, то двоечников станет 25% . Какой процент двоечников в 7 "Г" сейчас? 

Ответ. 28% 

Решение. Пусть в классе n человек, из них k двоечников (считая Вовочку). Если Вовочка исправит двойки, то в классе останется k-1 двоечник – по условию это 24%, т.е.

0,24n=k-1                                 (1).

Если Вовочку выгонят, то в классе останется n-1 человек и из них k-1 двоечник – по условию это 25%, т.е.

0,25(n-1)=k-1                                 (2).

В равенствах (1) и (2) правые части равны, значит можно приравнять левые части: 0,24n=0,25(n-1), откуда 0.01n=0.25, то есть n=25. Подставим это значение в равенство (1) и найдем k: k=7. Значит сейчас в классе k/n * 100% = 28% двоечников.

Задача 38.

Крокодил Гена погружался на дно. Вначале он погрузился на 1 метр и испугался. Потом он набрался храбрости и преодолел еще половину оставшейся глубины. Затем, после небольшой передышки, он погрузился еще на 1 метр. До дна уже оставалось 30% всей глубины. На какую глубину погружался Гена?

Ответ. 7,5 метров.

Решение. Пусть вся глубина x, тогда Сначала Гена погрузился на 1 метр, а потом на половину оставшегося пути, т.е. на (х-1)/2, затем Гена погрузился еще на 1 метр и осталось до дна 30% т.е. 0,3х. Составим уравнение: 1+(х-1)/2+1+0,3х=х, откуда х=7,5. 

Задача 38.

Все акции компаний «Карабас» и «Барабас» вместе стоят 90 золотых монет. У Буратино есть 25% акций компании «Карабас» и 75% акций компании «Барабас» общей стоимостью 30 золотых монет. Найдите стоимость всех акций каждой компании.

Ответ. Все акции компании «Карабас» стоят 75 монет, а все акции компании «Барабас» стоят 90-75=15 монет.

Решение. Пусть все акции компании «Карабас» стоят х монет, тогда все акции компании «Барабас» стоят 90-х монет, так как вместе акции компаний «Карабас» и «Барабас» стоят 90 монет. У Буратино есть 25% акции «Карабас», стоимостью 0,25х, и 75% акций компании «Барабас», стоимостью 0,75(90-х). Всего у Буратино акций на 30 монет, значит 0,25х+0,75(90-х)=30. Решив это уравнение, получим х=75, значит все акции компании

Задача 39.

 «Карабас» стоят 75 монет, а все акции компании «Барабас» стоят 90-75=15 монет.

Курс акций компании "Рога и копыта" каждый день в полдень повышается или понижается на 17 процентов (курс не округляется). Может ли курс акций дважды принять одно и то же значение?

Ответ. Не может.

Решение. Заметим, что при повышении курса акций он умножается на , а при понижении -- на . То есть если курс акций был равен x, то после k повышений и l понижений курс акций станет равным . Если , то . Но в правой части этого равенства стоит четное число, а в левой -- нечетное. Противоречие.

Литература и интернет - источники

http://mmmf.msu.ru/archive/20092010/z7/6.html

http://www.seznaika.ru/matematika/zadachi/2333-2010-08-31-16-04-01

http://uclg.ru/education/matematika/7_klass/drobi_i_protsentyi/lecture_lec_reshenie_zadach_na_protsentyi.html