Занятие математической школы Пифагореец по теме: Делители и остатки. Лекция №1 и №2
методическая разработка по математике (7 класс) на тему
Продолжительность лекции 1 час 30 минут
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 Лекция для 6-7 класса | 50.34 КБ |
 Делимость и остатки | 883.5 КБ |
Предварительный просмотр:
ЛЕКЦИЯ №1
Тема: « ДЕЛИМОСТЬ И ОСТАТКИ»
Первый год обучения (6 класс)
Составили: учителя высшей квалификационной категории
Веденеева И.В., Алекаева Н.А., Лазарян Е.С.
МБОУ «Тучковская средняя общеобразовательная школа №1»
Продолжительность лекции 1 час 30 минут
1. Простые и составные числа.
Вы, конечно, хорошо знаете, что среди натуральных чисел есть простые и составные.
Число является составным, если оно равно произведению двух меньших натуральных чисел (например, 3 • 5 = 15).
В противном случае число (если оно, кроме того, отлично от единицы) называется простым.
Единица не является ни простым, ни составным числом!
Простые числа являются «кирпичиками», из которых состоят составные числа.. В каком же смысле? Рассмотрим число 420. Оно, без сомнения, составное. Его можно разложить на множители, например, так: 420 = 42 ∙ 10. Каждое из чисел 42 и 10 также составное: 42 = 6 ∙ 7, а 10 = 2 ∙ 5. Поскольку 6 = 2 ∙ 3, то можем записать такую цепочку равенств: 420 = 42 ∙ 10 = 6 ∙ 7 ∙ 2 ∙ 5 = 2 ∙ 3 ∙ 7 ∙ 2 ∙ 5 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7. Мы получили разложение нашего числа на простые сомножители.
Вряд ли у кого-то вызывает сомнения, что, действуя таким же образом, можно представить в виде произведения простых чисел любое натуральное число (кроме 1) – надо раскладывать получающиеся сомножители в произведение меньших, пока это удается. А что, если попробовать разложить число 420 на множители по-другому? Например, начав так: 420 = 15 ∙ 28. Вы, конечно, догадываетесь, что в результате получится то же самое разложение (если в конце простые сомножители расположить в порядке возрастания). Именно этот интуитивно очевидный, но совсем не просто доказываемый факт, и носит громкое название основной теоремы арифметики.
Основная теорема арифметики:
Каждое натуральное число, за исключением единицы, раскладывается в произведение простых сомножителей, причем единственным образом.
Свойства делимости практически полностью определяются разложением числа на простые множители.
Давайте попытаемся ответить на простые вопросы:
1. Делится ли 29 • 3 на 2?
Ответ: Да, так как 2 входит в разложение этого числа на простые множители.
2. Делится ли 29 • 3 на 5?
Ответ: Нет, потому что в разложении этого числа на простые множители нет простого числа 5.
3. Делится ли 29 • 3 на 8?
Ответ: Да, поскольку 8 = 23, а в разложение данного числа на простые множители двойка входит 9 раз.
4. Делится ли 29 • 3 на 9?
Ответ: Нет, так как в разложение данного числа на простые множители тройка входит лишь один раз, а в разложение 9 — дважды.
5. Делится ли 29 • 3 на 6?
Ответ: Да, потому что 6 = 2*3, а2иЗ входят в разложение данного числа на простые.
6. Верно ли, что если натуральное число делится на 4 и 3, то оно делится на 12?
Ответ: Да, поскольку в разложение на простые множители числа, делящегося на 4, двойка входит по крайней мере 2 раза; а так как число делится и на 3, то в его разложение входит и тройка. Поэтому оно делится на 12.
7. Верно ли, что если натуральное число делится на 4 и на 6, то оно делится на 24?
Ответ: Нет, например число 12. Дело в том, что если число делится на 4, то в его разложение на простые множители по крайней мере дважды входит число 2; из делимости числа на 6 следует, что в его разложение входят 2 и 3. Таким образом, заведомо в его разложение входит две (не три!) двойки и одна тройка, и можно
утверждать лишь то, что число делится на 12.
8. Число А не делится на 3. Может ли на 3 делиться число 2А?
Ответ: Нет, поскольку тройка не входит в разложение на простые множители числа 2А.
9. Число А — четно. Верно ли, что ЗА делится на 6?
Ответ: Да, так как 2 и 3 входят в разложение числа ЗА на простые множители.
Определение 1. Два числа называются взаимно простыми, если у них нет общих делителей, отличных от единицы.
Примечание 1. Два простых числа являются взаимно простыми.
Примечание 2. Если некоторое число делится на два взаимно простых числа пит, то оно делится и на их произведение пт.
Примечание 3. Если число р • А делится на q, где р и q взаимно просты, то и А делится на q.
Определение 2. Наибольшим общим делителем (для краткости НОД) двух чисел называется наибольший из общих делителей этих чисел.
Определение 3. Наименьшим общим кратным (НОК) двух чисел называется наименьшее число, делящееся на каждое из них.
Так, например, НОД (18, 24) = 6; НОК (18, 24) = 72.
Дополним список вопросов еще двумя.
10. А = 23 • З10 • 5 • 1\ В = 25 • 3 • 11. Чему равен НОД (А, В)?
Ответ: 24 = 23 • 3. Это - общая часть разложений.
11. А = 28 • 53 • 7, В = 25 • 3 • 57. Чему равно НОК (А, В)?
Ответ: 420000000 = 28 • 3 • 57 • 7. Это объединение разложений.
Теорема. Число, имеющее нечетное число делителей - точный квадрат.
Доказательство основывается на соображении, что если число п
Делится на d, то это же число делится и на -. а
Теорема. Для любых натуральных чисел А и В верно равенство
НОД (А, В) • НОК (А, В) = АВ.
Пример . Может ли число, записываемое при помощи 100 нулей, 100 единиц и 100 двоек, быть точным квадратом?
Решение. Данное число делится на 3, но не делится на 9.
Ответ: Нет.
Мы обсудили понятие наибольшего общего делителя для натуральных чисел и выяснили, как его можно найти: достаточно выписать разложения этих чисел на простые множители и взять их общую часть. Однако для больших чисел эта процедура практически неосуществима. Попробуйте, например, таким способом найти наибольший общий делитель чисел 1381955 и 690713. К счастью, существует другой метод, позволяющий вычислить НОД двух чисел. Он называется алгоритмом Евклида.
Алгоритм Евклида основан на следующем простом соображении: любой общий делитель чисел А и В (А > В) делит также число А — В; кроме того, любой общий делитель чисел В и А — В делит число А. Тем самым, НОД (А, В) = НОД (В, А - В). Мы, по существу, изложили алгоритм Евклида.
Покажем, как он работает для конкретных чисел 451 и 287:
НОД (451, 287) = НОД (287, 164) = НОД (164, 123) = = НОД (123, 41) = НОД (82, 41) = НОД (41, 41) = 41.
Заметим, что алгоритм Евклида можно ускорить: заменять А не на А — Д а сразу на остаток от деления А на В. Продемонстрируем это на примере чисел, уже упоминавшихся ранее: НОД (1381955, 690713) = НОД (690713, 529) = НОД (529, 368) = = НОД (368, 161) = НОД (161, 46).
Пример . Найти наибольший общий делитель чисел 7 462 и 6 279.
Решение. Пользуясь алгоритмом Евклида, имеем:
НОД(7462, 6279) = 7462 = 6279 · 1 + 1183
= НОД(6279, 1183) = 6279 = 1183 · 5 + 364
= НОД(1183, 364) = 1183 = 364 · 3 + 91
= НОД(364, 91) = 364 = 91 · 4=91.
МАЛАЯ ОЛИМПИАДА.
Продолжительность олимпиады – 20 минут.
1. Число 5А делится на 3. Верно ли, что А делится на 3?
Ответ: Да, потому что в разложение числа 5А на простые множители тройка входит, а в разложение числа 5 — нет.
2.Число 15А делится на 6. Верно ли, что А делится на 6?
Ответ: Нет, например А = 2. Тройка, входящая в разложение числа 6, входит и в разложение числа 15. Поэтому можно утверждать лишь то, что в разложении числа А обязательно есть двойка.
3.Найти НОД чисел 1 381 955 и 690 713.
Ответ: НОД(1 381 955, 690 713) = НОД(690 713, 529) = НОД(529, 368) = = НОД(368, 161) = НОД(161, 46) = НОД(46, 23) = НОД(23, 0) = 23.
ЗАОЧНАЯ ОЛИМПИАДА
- Докажите, что произведение любых трех последовательных натуральных чисел делится на 6.
Ответ: Среди них есть одно, делящееся на 3 и хотя бы одно, делящееся на 2. Значит, их произведение без остатка делится на 3 · 2 = 6.
- 56а = 65b. Докажите, что а + b — число составное.
Ответ: 65(a + b) = 65a + 65b = 65a + 56a = 121a. Так как числа 65 и 121 взаимно просты, то a + b делится на 121. Поскольку 121 - составное число, то и a + b - составное.
Найти НОД чисел 78 и 14.
Ответ: 2.
ЛЕКЦИЯ №2
Тема: « ДЕЛИМОСТЬ И ОСТАТКИ»
«Остатки»
Второй год обучения (7 класс)
Составили: учителя высшей квалификационной категории
Веденеева И.В., Алекаева Н.А., Лазарян Е.С.
МБОУ «Тучковская средняя общеобразовательная школа №1»
Продолжительность лекции 1 час 30 минут
Повторить тему «Делимость, алгоритм Евклида». (Презентация).
Определение. Разделить натуральное число N нa натуральное
число m с остатком — означает представить N в виде N = km + г, где
0 < г< т. При этом число г называется остатком отделения ТУна т.
Утверждение 1. Сумма любых двух натуральных чисел и сумма их
остатков имеют одинаковые остатки при делении на натуральное n .
Утверждение 2. Произведение любых двух натуральных чисел и
произведение их остатков имеют одинаковые остатки при делении
на натуральное n.
Высказанные утверждения достаточно часто используются в решении олимпиадных задач. Их можно встретить в самых неожиданных местах, например при решении задач в целых числах.
Пример. Найдите остаток от деления 2003 • 2004 • 2005 + 20063 на 7.
Решение. Произведем действия с остатками от деления каждого из чисел на 7: 1 • 2 • 3 + 43. Обратим внимание на то, что 43 = 64 = 7 • 9 + 1, тогда 6 + 1 = 7, и остаток от деления на 7 будет равен нулю.
Свойство.
Квадрат любого натурального числа при делении на 3 и 4 будет давать в остатке 0 или единицу.
Пример . Найдите последнюю цифру числа 19891989.
Решение. Заметим, что последняя цифра числа 19891989 совпадает с последней цифрой числа 91989. Выпишем последние цифры нескольких начальных степеней числа 9: 9, 1, 9, 1, 9, 1, Ясно, что все нечетные степени девятки оканчиваются на 9. Поэтому последняя цифра числа 19891989 - девятка.
Примечание. Полезно выписать последние цифры натуральных степеней двойки, тройки, семерки. Интересно, что при этом наблюдается повторяемость цифр через каждые 4 степени (убедитесь в этом). ...5" = ...25; ...6" = ...6.
Пример: Про семь натуральных чисел известно, что сумма любых шести из них делится на 5. Докажите, что каждое из данных чисел делится на 5.
При решении задачи необходимо док-ть, что любые два числа из этих семи дают одинаковый остаток при делении на 5.Для этого нужно рассмотреть две шестёрки: одну – не содержащую первое из них, вторую – не содержит второе.
Пример. Докажите, что n3 + 2n делится на 3 для любого натурального n.
Решение: Число n может давать при делении на 3 один из трех остатков: 0; 1; 2. Рассмотрим три случая:
- Если n дает остаток 0, то n3 и 2n делятся на 3 и поэтому n3 + 3n так же делится на 3.
- Если n дает остаток 1, то n3 дает остаток 1, 2n остаток 2, а 1 + 2 делится на 3.
- Если n дает остаток 2, то n2 дает остаток 1, n3 – остаток 2, 2n – остаток 1, а 2 + 1 делится на 3.
Что и требовалось доказать.
Пример Является ли число 123321123321 квадратом какого-либо целого числа?
Решение. Предположим, что 123321123321= , где k - некоторое
целое число. Заметим, что число 123321123321 делится на 3, так
как сумма его цифр равна 24, а 24 делится на 3. Следовательно,
число делится на 3. Тогда и число k должно делится на 3.
Докажем этот факт.
Если число k при делении на 3 дает остаток 1, т.е. k = 3s + 1, то . Ясно, что выражение
. на 3 делится с остатком 1.
Если число k при делении на 3 дает остаток 2, т.е. k= 3s+ 2, то .И в этом случае получаем, что выражение
не делится на 3.
Остается единственный вариант: число k делится на 3 без остатка, т.е. k =3s . Но тогда
и число
делится на 9. Но из равенства 123321123321=
следует, что число 123321123321 должно делится на 9. Получили противоречие, т.к. сумма цифр
данного числа равна 24 и по признаку делимости на 9 (24 не делится на 9 без остатка) имеем, что число 123321123321 не делится на 9 без остатка.
Следовательно, наше предположение о существовании целого числа k , такого что 123321123321= , ошибочно.
Ответ: нет.
Пример Найти все пятизначные числа вида 517n m,(mn –цифры) которые делятся на 18.
Решение.
Из того, что 18= 9 * 2 получаем, что число 517mn должно делиться на 9 и на 2.
Из признака делимости на 2 следует, что n - четная цифра, т.е. n= 0 , 2, 4, 6, 8.
Пусть n= 0 , и числа имеют вид 517m0. Из признака делимости на 9 следует делимость суммы 5+ 1 +7 +m+ 0 на 9. Следовательно, m может быть равным только 5. Получили число 51750.
Пусть n= 2 , и числа имеют вид 517m2 . Из признака делимости на
9 следует делимость суммы 5+ 1 +7+ m+ 2 на 9. Следовательно, m может принимать только значение 3 и получается число 51732.
Рассмотрев остальные варианты, аналогично находим остальные числа: 51714, 51786, 51768.
Ответ: 51750, 51732, 51714, 51786, 51768.
МАЛАЯ ОЛИМПИАДА.
Продолжительность – 20 минут.
- Какой цифрой оканчивается число 31995.
Ответ: Решение: 34 оканчивается цифрой 1, то и любая его степень вида (34)k оканчивается цифрой 1.
1995 = 4 . 498 + 3. Значит, 31995 = (34)498 . 33. Первый множитель оканчивается цифрой 1, а второй 7. Следовательно, 31995 оканчивается цифрой 7.
- На какую цифру оканчивается 777777? Ответ: 7
ЗАОЧНАЯ ОЛИМПИАДА
1.Какой цифрой оканчивается число 32002.Ответ: цифрой 9.
2.Докажите, что произведение трех последовательных четных чисел делится на 48.
3. Выяснить, делится ли на три число 1316– 225 515.
Ответ: Число 13 при делении на 3 равноостаточно с 1, следовательно, 1316 равно осостаточно с 116 = 1. Число 2 равноостаточно с –1, следовательно 225 с (-1)25 = -1. Число 5 равноостаточно с –1, следовательно, 515 равноостаточно с (-1)15 = -1. Таким образом, число 1316 – 225 515 равноостаточно с 1 – (-1)(-1) = 0, т.е. данное число делится на 3.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
.:Делимость и Остатки :. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики. Взаимно простые числа. НОД. НОК. Алгоритм Евклида. Сумма двух натуральных чисел и сумма их остатков. Произведение двух натуральных чисел и произведение их остатков.
Простые и составные числа – Число является составным , если оно равно произведению двух меньших натуральных чисел. В противном случае число называется простым . Единица не является ни простым, ни составным числом!
Основная теорема арифметики Каждое натуральное число, за исключением единицы, раскладывается в произведение простых сомножителей, причем единственным образом. Свойства делимости полностью определяются разложением числа на простые множители
Упражнение В о п р о с О т в е т 1). Число А не делится на 3. Может ли на 3 делится число 2А? нет 2). Верно ли, что если натуральное число делится на 4 и 3, то оно делится на 12? да 3). Число А-чётно. Верно ли, что 3А делится на 6? да 4). Дано выражение: 2(в 9 степени), умноженное на 3. Делится ли оно на 2? да 5). Дано выражение: 2(в 9 степени), умноженное на 3. Делится ли оно на 9? нет А теперь расчертим данную таблицу и рассмотрим примеры:
О т в е т ы 1). Нет, поскольку тройка не входит в разложение на простые множители числа А 2). Да, поскольку в разложении на простые множители числа, делящегося на 4, двойка входит по крайней мере 2 раза; а т.к. число делится и на 3, то в его разложение входит и тройка. Поэтому оно делится на 12. 3). Верно, т.к. 2 и 3 входят в разложение числа 3А на простые множители. 4). Да, т.к. 2 входит в разложение этого числа на простые множители. 5). Нет, т.к. в разложение данного числа на простые множители тройка входит лишь один раз, а в разложение 9 – дважды.
Примечания: Два простых числа являются взаимно простыми. Если некоторое число делится на два взаимно простых числа n и m , то оно делится и на их произведение mn . Если число p*A делится на q , где p и q взаимно просты , то и A делится на q . Взаимно простые числа Два числа наз. взаимно простыми, если у них нет общих делителей Н О Д двух чисел- наибольший из общих делителей этих чисел Н О К двух чисел- наименьшее число, делящееся на каждое из них
Теоремы Число, имеющее нечётное число делителей – точный квадрат. Для любых натуральных чисел А и В верно равенство: НОД(А,В) * НОК(А,В)=АВ
Алгоритм Евклида Алгоритм Евклида основан на: Любой общий делитель чисел А и В(А > В) делит также число А-В; кроме того, любой общий делитель чисел В и А-В делит число А. Тем самым, НОД(А,В)=НОД(В,А – В)
Надеюсь, что вы все усвоили данную тему. Применяйте свои знания при решении олимпиадных задач!
О с т а т к и Определение Утверждение Свойство Разделить натуральное число N на натуральное число m с остатком – означает предста-вить N в виде N=km+ r . r - остаток от деления. 1. Сумма любых двух натуральных чисел и сумма их остатков имеют одинаковый ос-татки при деле-нии на натураль-ное n . Квадрат любого натурального числа при делении на 3 и 4 будет давать в остатке 0 или единицу. 2. Произведение любых двух нат. чисел и произве-дение их остатков имеют одинако-вые остатки при делении на нату-ральное n .
З а д а н и я Про семь натуральных чисел известно, что сумма любых шести из них делится на 5. Докажите, что каждое из данных чисел делится на 5. Докажите, что существует бесконечное множество простых чисел.
3. Является ли число 123321123321 квадратом какого-либо целого числа? 4. Найти все пятизначные числа вида 517n m,( mn –цифры) которые делятся на 18. 5. Доказать, что число делится на 10.
О Т В Е Т Ы При решении задачи необходимо док-ть, что любые два числа из этих семи дают одинаковый остаток при делении на 5.Для этого нужно рассмотреть две шестёрки: одну – не содержащую первое из них, вторую – не содерж. второе. Предположим противное. Пусть p 1, p 2 ,…p n – все простые числа. Рассмотрим число p 1 * p n +1 . Это число не делится ни на одно из чисел p 1 , p 2 ,…,p n и, следовательно, не может быть разложено в произведение простых. Противоречие.
3. Предположим, что 123321123321= , где k – некоторое целое число. Заметим, что число 123321123321 делится на 3, так как сумма его цифр равна 24, а 24 делится на 3. Следовательно, число делится на 3. Тогда и число k должно делится на 3. Докажем этот факт. Если число k при делении на 3 дает остаток 1, т.е. k = 3 s + 1, то . Ясно, что выражение на 3 делится с остатком 1. Если число k при делении на 3 дает остаток 2, т.е. k= 3 s+ 2, то И в этом случае получаем, что выражение не делится на 3.
Остается единственный вариант: число k делится на 3 без остатка, т.е. k = 3 s . Но тогда и число делится на 9. Но из равенства 123321123321= следует, что число 123321123321 должно делится на 9. Получили противоречие, т.к. сумма цифр данного числа равна 24 и по признаку делимости на 9 (24 не делится на 9 без остатка) имеем, что число 123321123321 не делится на 9 без остатка. Следовательно, наше предположение о существовании целого числа k , такого что 123321123321= , ошибочно. Ответ: нет.
4 . Из того, что 18= 9 * 2 получаем, что число 517 mn должно делиться на 9 и на 2. Из признака делимости на 2 следует, что n - четная цифра, т.е. n= 0 , 2, 4, 6, 8. Пусть n= 0 , и числа имеют вид 517 m 0. Из признака делимости на 9 следует делимость суммы 5+ 1 +7 + m+ 0 на 9. Следовательно, m может быть равным только 5. Получили число 51750. Пусть n= 2 , и числа имеют вид 517 m 2 . Из признака делимости на 9 следует делимость суммы 5+ 1 +7+ m+ 2 на 9. Следовательно, m может принимать только значение 3 и получается число 51732.
Рассмотрев остальные варианты, аналогично находим остальные числа: 51714, 51786, 51768. Ответ: 51750, 51732, 51714, 51786, 51768.
5. Рассмотрим равенство . Число имеет последней цифрой 6( ). Тогда число также заканчивается цифрой 6. В итоге получаем, что число заканчивается цифрой 2. Число представим в виде . Число заканчивается цифрой 1 ( ), тогда число также заканчивается цифрой 1. И, умножив 1 на , получаем, что последняя цифра в числе будет 9.
Найдем последнюю цифру числа . Из равенств и следует, что последняя цифра числа будет 9. Теперь очевидно, что сумма трех чисел, одно из которых заканчивается на 2, а два других заканчиваются на 9, делится на 10, так как последняя цифра равна 0.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Математический тренажер по теме: " Деление с остатком"
Интерактивный тренажер по математике « Деление с остатком». Тренажер предназначен для обучающихся 5 -6 классов, коррекционной школы 8 вида.Цель работы: обучающиеся научатся выполнять делени...
Занятие математической школы Пифагореец по теме: Степень числа с натуральным показателем"
Основная цель занятия - продолжить работу по углублению и расширению знаний учащихся по теме “Натуральные числа, степени с натуральным показателем, свойств натуральных чисел” изученных в п...
Презентация к занятию математического кружка в 5 классе. Тема занятия "Волшебный мир иллюзий".
Презентация создана с учетом возрастных особенностей и содержит познавательный материал, развивающий интерес к математике учащихся 5 классов....
Уроки по теме "Деление с остатком" 3 класс УМК Школа России
Комплект уроков по теме "Деление с остатком"...
Занятие математического кружка для учащихся 6 - 8 классов по теме "Математические софизмы"
Математические софизмы могут быть очень полезны. Разбор софизмов развивает логическое мышление, помогает сознательному усвоению обучаемого материала, воспитывает вдумчивость, наблюдательность, критиче...
Конспект учебного занятия. Качественные реакции на ионы металлов и кислотных остатков
Методическая разработка урока посвящена проблеме формирования у обучающихся практических умений и навыков по решению экспериментальных задач на распознавание неорганических веществ, определению ионов ...