УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ по учебной дисциплине Математика для обучающихся 1 курса
учебно-методическое пособие по математике (10, 11 класс) на тему

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ

Государственное бюджетное профессиональное

образовательное учреждение города Москвы

«ЮРИДИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

(ГБПОУ Юридический колледж)

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

по учебной дисциплине Математика

для обучающихся 1 курса

специальности  40.02.01 "Право и организация социального обеспечения"    

      40.02.02 "Правоохранительная деятельность"

преподаватель Н.В.Васильева

Москва, 2016г.

Содержание:

ВВЕДЕНИЕ ………………………………………………………………… 3

РАЗДЕЛ 1. АЛГЕБРА ………………………………………………………3

Тема 1.1. Развитие понятия о числе …………………………………………3

РАЗДЕЛ 2. ГЕОМЕТРИЯ………………………………………………….78

Тема 2.1. Многогранники …………………………………………………...87

Тема 2.2. Тела и поверхности вращения ……………………………… 122

РАЗДЕЛ 3. КОМБИНАТОРИКА, СТАТИСТИКА И ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ …………………………………………………………...140

Тема 3.1. Элементы комбинаторики ……………………………………….140

ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………..147

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ И ИСТОЧНИКОВ………………………… 148

ВВЕДЕНИЕ

         Настоящее пособие предназначено для студентов I курса колледжа специальностей 40.02.01"Право и организация социального обеспечения" и    

40.02.02 "Правоохранительная деятельность".

Данное пособие содержит необходимый материал по четырём темам трёх разделов курса математики, изложение теоретического материала по всем темам сопровождается рассмотрением большого количества примеров и задач, ведется на доступном языке.

        Пособие может быть использовано студентами для самостоятельного изучения соответствующего материала, является базой для подготовки к экзаменам. Кроме того, пособие может помочь студенту и в тех случаях, когда он что-то не успел записать на занятии, какие-то занятия были пропущены, в чем-то трудно (или нет времени) разобраться по другим пособиям, учебникам, когда некоторые вопросы «слишком длинны» в его конспектах или много фактического материала, который следует изучить за ограниченное количество времени.

Данное пособие будет способствовать более глубокому изучению материала студентами колледжа.

ТЕМА 1.1. РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ О ЧИСЛЕ

В математике важную роль играет понятие Числа. Первоначально все вычисления производились только над целыми числами. Однако дальнейшее развитие математики, механики, физики и астрономии привело к необходимости расширения совокупности чисел. Так возникли понятие рационального, отрицательного т других чисел.

Возьмем какое-нибудь натуральное число, например, 15. Противоположное ему будет число -15. На координатной прямой, оно находится на том же расстоянии от начала отсчета, что и число 15, только 15 находится справа, а -15 - слева. Числа 15 и -15 называются противоположными.

      Противоположные числа – это числа, отличающиеся только знаком. Понятно, что 0 = - 0. Поэтому, число 0 противоположно самому себе.

Целые числа – это натуральные числа, противоположные им числа и 0.
Примеры целых чисел: -7, 115, 0, 1185642, -20151 и т. д.
      Рациональные числа – это числа, которые можно представить в виде дроби , где m и n – целые числа, n ≠0. Пример: ;  ;  ; 1,01; 12 и т.д.

Все целые числа являются рациональными.

Действительно, любое целое число n можно представить в виде дроби .     Например, целое число    18 – это .

Две дроби  считаются равными, если m1 ∙ n2 = m2 ∙ n1.

Пример:  = равны, так как 3 ∙ 2 = 6 ∙ 1.

Очевидно, что дроби  равны. На этом свойстве основано сокращение дробей. Для того чтобы сократить дробь, находим общий делитель числителя и знаменателя и на этот делитель делим числитель и знаменатель - полученная дробь будет равна исходной.

Пример: Сократить дробь   =  =  =

Над рациональными числами операции сложения, умножения и деления определены следующим образом:

1.Операция сложения:

Пример:    =  = ;

2. Операция умножения: .

Пример:    ·  =   = ;

3. Операция деления:, то есть, делитель «переворачиваем»

Пример:     =  =  =  = 1;

         При сравнении рациональных чисел применяют следующие правила:
1. Всякое положительное рациональное число всегда больше всякого отрицательного рационального числа
2. Если два числа положительны, то число больше , если , для отрицательных - наоборот.

Пример: > , так как 3 • 6 > 5 • 2.

Задания для закрепления Темы 1.1

Вычислить:

1. (+6) + (+10) =
2. (-56) + (-3) =
3. (+28) + (-7) =
4. (+15) + (-4) + (-11) + (+9) + (-1) =
5. (-3) · (-4) =
6. (-2) · (+3) · (-4) =

РАЗДЕЛ 2. ГЕОМЕТРИЯ

ТЕМА 2.1.  МНОГОГРАННИКИ

 рисунок 2.1. Многогранники                          рисунок 2.2. Трёхмерный крест

Задача 1: Определите, какие из многогранников, изображенных на рисунке, являются выпуклыми и какие невыпуклыми? (рисунок 2.1)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ:  Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон, в каждой вершине многогранника сходится одно и тоже число ребер.

Задача 2: Данная пространственная фигура называется трехмерной крест. Она состоит из 7 кубов. Почему такая фигура не может быть названа правильной? Сколько квадратов ограничивает ее поверхность? Сколько ребер, вершин и граней у этой фигуры (рисунок 2.2)?

Определение: Число В – Р + Г называется эйлеровой характеристикой многогранника. Эйлерова характеристика выпуклого многогранника равна 2, а для других многогранников она может принимать значения 0; -2; -4; -6.

Задача 3. Нарисуйте многогранник в тетрадь. Подсчитайте эйлерову характеристику данного многогранника.

Задача 4. Заполните таблицу

Таблица – 2.1

Задача 5.  Футбольный мяч шьется из кусков кожи двух типов: пятиугольных и шестиугольных (которые, кроме формы, отличаются еще и цветом). Можно ли сшить мяч из одних только шестиугольных кусков?

эдрон – грань окто - восемь

тетра - четыре додека - двенадцать

гекса - шесть икоси – двадцать

Таблица - 2.2

Призма. Прямая и наклонная призма. Правильная призма. Параллелепипед. Куб

Если через каждую точку плоской ломанной провести  прямые, параллельные данному направлению, не параллельную плоскости ломанной, то получим бесконечную призматическую поверхность.

        Если провести через каждую точку многоугольника прямые, параллельные данному направлению, не параллельному плоскости, то получим бесконечную призму.

        Любые две параллельные плоскости, отсекают от неё многогранник, называемый призмой.

        Части параллельных плоскостей называются основаниями призмы.

        Боковые грани представляют собой параллелограммы, а их объединение – боковую поверхность.

        Общие стороны параллелограммов называют боковыми ребрами призмы, а стороны основания  называют ребрами основания.

        Призмы называются треугольными, четырехугольными, пятиугольными, n- угольными в зависимости от числа вершин многоугольника, лежащего в основании.

        Отрезок соединяющий две вершины не лежащие в одной грани, называется диагональю призмы.

        Число диагоналей призмы n(n-3).

        Плоскость, проходящая через два боковых ребра призмы, не лежащих на одной грани, называется диагональной плоскостью.

        Отрезок перпендикуляра, проведенный из любой точки верхнего основания на плоскость нижнего основания, называется высотой призмы.

        Призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскости оснований, называется прямой.

        Если боковые ребра призмы не перпендикулярны плоскостям оснований, то призма называется наклонной.

        Прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник, называется правильной.

        Проекция оснований призмы на плоскость, перпендикулярную ребрам, называется перпендикулярным сечением  призмы.

        Теорема: Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на длину бокового ребра призма, т.е.

        Призму, в основании которой находится параллелограмм, называют параллелепипедом.

        Параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны плоскости основания, называют прямым. У прямого параллелепипеда боковые грани прямоугольники.

        Прямой параллелепипед, у которого основания – прямоугольники, называют прямоугольным параллелепипедом. У прямого параллелепипеда все грани – прямоугольники.

        Прямоугольный параллелепипед, у которого три ребра, выходящие из одной точки равны, называется кубом.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ:

Куб и прямоугольный параллелепипед

1.   Поверхность куба равна 24 м2. Найти его ребро.

2.  Определить боковую поверхность прямоугольного параллелепипеда по трём его измерениям: а =10 см, b = 22 см и с = 16 см.

Прямой параллелепипед

3. B прямом параллелепипеде стороны основания равны 6 м и 8 м и образуют угол в 30°; боковое ребро равно 5 м. Определить полную поверхность этого параллелепипеда.

Правильная призма

4.   В прямой треугольной призме все рёбра равны. Боковая поверхность равна 12 м2. Найти высоту.'

5.   Боковая поверхность правильной  четырёхугольной призмы равна 32 м2, а полная поверхность 40 м2. Найти высоту.

Прямая призма

6.  Определить полную поверхность прямой треугольной призмы, если ее высота равна 50 см, а стороны основания 40 см, 19 см, 37 см. 

Пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида. Тетраэдр

Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника – основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания, - вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину с точками основания.

             Высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды, называется апофемой.

        Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Задача 1.   Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 5 см., а высота – 3 см. Найдите площадь полной поверхности.

Задача  2.  Апофема правильной шестиугольной пирамиды равна 5 см, а высота – 4 см. Найдите площадь боковой поверхности.

Задача  3.  В правильной треугольной пирамиде боковые грани наклонены к основанию под углом 600. Расстояние от вершины основания до боковой грани равно 3. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Задача 4.    В правильной четырехугольной пирамиде боковые грани наклонены к основанию под углом 600, а расстояние от середины стороны основания до противоположной боковой грани равно 4.

Найдите площадь боковой поверхности.

S =  ∙ R2      -     площадь правильного шестиугольника

 Особенность правильного шестиугольника — равенство его стороны и радиуса описанной окружности

Симметрии в кубе, в параллелепипеде, в призме и пирамиде

Определение. Точки М и М1 называются симметричными относительно точки О, если О является серединой отрезка MM1.

ЗАДАЧИ:

1. Какие из букв русского алфавита имеют центр симметрии:

А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ь Ы Ъ Э Ю Я?

2. Какие две цифры переходят друг в друга при центральной симметрии?

Ответы и решение задач:

1. Ж, О, Х, Ф
2. 6 и 9

ЗАДАЧИ:

1. Какие из букв русского алфавита имеют: а) одну ось симметрии; б) две оси симметрии; в) много осей симметрии:

А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я?

2. Постройте слово, симметричное относительно прямой а.

Ответы и решение заданий:

1. а) А, В, Е, З, К, Л, М, П, С, Т, Ш, Э, Ю

б) Ж, Н, Х  в) О

Определение. Точки М и М1, называются симметричными относительно плоскости а, если плоскость а проходит через середину отрезка ММ1, и перпендикулярна этому отрезку.

Определение. Точка О (прямая l, плоскость а) называется центром (осью, плоскостью) симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно точки О (прямой l, плоскости а) некоторой точке этой же фигуры.

Центр, оси и плоскости симметрии многогранника называются элементами симметрии многогранника.

СИММЕТРИЯ КУБА

1. Центр симметрии — центр куба (рисунок 2.3) (точка пересечения диагоналей куба)

                                        рисунок 2.3. Центр куба

2. Плоскости симметрии: три плоскости симметрии, проходящие через середины параллельных ребер; шесть плоскостей симметрии, проходящие через противолежащие ребра (рисунок 2.4)

рисунок 2.4. Плоскости симметрии

       3. Оси симметрии: три оси симметрии, проходящие через центры противолежащих граней; четыре оси симметрии, проходящие через противолежащие вершины; шесть осей симметрии, проходящие через середины противолежащих ребер (рисунок 2.5).

рисунок 2.5. Оси симметрии

СИММЕТРИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА

       1. Центр симметрии — точка пересечения диагоналей прямоугольного параллелепипеда (рисунок 2.6).

рисунок 2.6. Центр симметрии

       2. Плоскости симметрии: три плоскости симметрии, проходящие через середины параллельных ребер (рисунок 2.7).

рисунок  2.7. Плоскости симметрии

       3. Оси симметрии: три оси симметрии, проходящие через точки пересечения диагоналей противолежащих граней (рисунок 2.8).

рисунок 2.8. Оси симметрии

СИММЕТРИЯ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА

Центр симметрии — точка пересечения диагоналей параллелепипеда.

рисунок 2.9. Центр симметрии

СИММЕТРИЯ ПРЯМОЙ ПРИЗМЫ

Плоскость симметрии, проходящая через середины боковых ребер (рисунок 2.10).

рисунок 2.10. Плоскость симметрии

СИММЕТРИЯ ПРАВИЛЬНОЙ ПРИЗМЫ

       1. Центр симметрии при четном числе сторон основания — точка пересечения диагоналей правильной призмы  (рисунок  2.11).

                         рисунок 2.11. Центр симметрии

      2. Плоскости симметрии: плоскость, проходящая через середины боковых ребер; при четном числе сторон основания — плоскости, проходящие через противолежащие ребра (рисунок 2.12).

                     рисунок  2.12. Плоскости симметрии

3. Оси симметрии: при четном числе сторон основания — ось симметрии, проходящая через центры оснований, и оси симметрии, проходящие через точки пересечения диагоналей противолежащих боковых граней (рисунок 2.13).

                                       рисунок 2.13. Оси симметрии

СИММЕТРИЯ ПРАВИЛЬНОЙ ПИРАМИДЫ

1. Плоскости симметрии: при четном числе сторон основания -плоскости, проходящие через противолежащие боковые ребра; и плоскости, проходящие через медианы, проведенные к основанию противолежащих боковых граней (рисунок 2.14) .

                   рисунок 2.14. Плоскости симметрии

2. Ось симметрии: при четном числе сторон основания — ось симметрии, проходящая через вершину правильной пирамиды и центр основания (рисунок 2.15).

                             рисунок 2.15. Ось симметрии

ЗАДАЧА 1

Найти центр, оси и плоскости симметрии фигуры, состоящей из плоскости и пересекающей её прямой не перпендикулярной к этой плоскости.

Ответ: центр симметрии—точка пересечения прямой с плоскостью: плоскость симметрии - плоскость, перпендикулярная данной, проходящая через данную прямую; осью симметрии служит прямая, лежащая в данной плоскости и перпендикулярная к данной прямой.

ЗАДАЧА 2

Найти центр, оси и плоскости симметрии фигуры, состоящей из двух пересекающихся прямых.

Ответ: фигура имеет две плоскости симметрии и три оси симметрии (указать какие).

Сечения куба, призмы и пирамиды

Сечением многогранника называется многоугольник, сторонами которого являются отрезки, принадлежащие граням многогранника, с концами на ребрах многогранника, полученный в результате пересечения многогранника произвольной секущей плоскостью.

Сечения куба: трех – шести - угольники. Сечения тетраэдра: треугольники, четырехугольники. Сечения четырехугольной пирамиды и треугольной призмы: трех – пяти - угольники.

а) Метод следов заключается в построении следов секущей плоскости на плоскость каждой грани многогранника. Построение сечения многогранника методом следов обычно начинают с построения так называемого основного следа секущей плоскости, т.е. следа секущей плоскости на плоскости основания многогранника.

б) Метод вспомогательных сечений построения сечений многогранников является в достаточной мере универсальным. В тех случаях, когда нужный след (или следы) секущей плоскости оказывается за пределами чертежа, этот метод имеет даже определенные преимущества. Вместе с тем следует иметь ввиду, что построения, выполняемые при использовании этого метода, зачастую получаются “скученными”. Тем не менее в некоторых случаях метод вспомогательных сечений оказывается наиболее рациональным.

Метод следов и метод вспомогательных сечений являются разновидностями аксиоматического метода построения сечений многогранников плоскостью.

в) Суть комбинированного метода построения сечений многогранников состоит в применении теорем о параллельности прямых и плоскостей в пространстве в сочетании с аксиоматическим методом.

Задача 1

Построить сечение призмы ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки P, Q, R (точки указаны на чертеже (рисунок 2.16)).

                                         рисунок 2.16. Сечение призмы

Решение

1. Построим след секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы. Рассмотрим грань АА1В1В. В этой грани лежат точки сечения P и Q. Проведем прямую PQ.
2. Продолжим прямую PQ, которая принадлежит сечению, до пересечения с прямой АВ. Получим точку S1, принадлежащую следу.
3. Аналогично получаем точку S2 пересечением прямых QR и BC.
4. Прямая S1S2 - след секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы.
5. Прямая S1S2 пересекает сторону AD в точке U, сторону CD в точке Т. Соединим точки P и U, так как они лежат в одной плоскости грани АА1D1D. Аналогично получаем TU и RT.
6. PQRTU – искомое сечение.

Задача 2

Построить сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки M, N, P (точки указаны на чертеже (рисунок 2.17)).

                рисунок 2.17. Сечение параллелепипеда

Решение

1. Точки N и P лежат в плоскости сечения и в плоскости нижнего основания параллелепипеда. Построим прямую, проходящую через эти точки. Эта прямая является следом секущей плоскости на плоскость основания параллелепипеда.
2. Продолжим прямую, на которой лежит сторона AB параллелепипеда. Прямые AB и NP пересекутся в некоторой точке S. Эта точка принадлежит плоскости сечения.
3. Так как точка M также принадлежит плоскости сечения и пересекает прямую АА1 в некоторой точке Х.
4. Точки X и N лежат в одной плоскости грани АА1D1D, соединим их и получим прямую XN.
5. Так как плоскости граней параллелепипеда параллельны, то через точку M можно провести прямую в грани A1B1C1D1, параллельную прямой NP. Эта прямая пересечет сторону В1С1 в точке Y.
6. Аналогично проводим прямую YZ, параллельно прямой XN. Соединяем Z с P и получаем искомое сечение – MYZPNX.

Постройте сечения:

   рисунок 2.18. Сечение    рисунок 2.19. Сечение       рисунок 2.20. Сечение

           рисунок  2.21. Сечение        рисунок 2.22. Сечение

Представление о правильных многогранниках

(тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр)

Тетраэдр-четырехгранник, все грани которого треугольники, т.е. треугольная пирамида; правильный тетраэдр ограничен четырьмя равносторонними треугольниками; один из пяти правильных многоугольников.

Куб или правильный гексаэдр - правильная четырехугольная призма с равными ребрами, ограниченная шестью квадратами.

Октаэдр-восьмигранник - тело, ограниченное восемью треугольниками; правильный октаэдр ограничен восемью равносторонними треугольниками; один из пяти правильных многогранников.

Додекаэдр-двенадцатигранник-  тело, ограниченное двенадцатью многоугольниками; правильный пятиугольник; один из пяти правильных многогранников.

Икосаэдр-двадцатигранник - тело, ограниченное двадцатью многоугольниками; правильный икосаэдр ограничен двадцатью равносторонними треугольниками; один из пяти правильных многогранников.

Таблица 2.3

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ В ФИЛОСОФСКОЙ КАРТИНЕ МИРА ПЛАТОНА

       Правильные многогранники иногда называют Платоновыми телами, поскольку они занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном (ок. 428 – ок. 348 до н.э.).

       Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» – огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников.

       Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени.

       Икосаэдр – как самый обтекаемый – воду.

       Куб – самая устойчивая из фигур – землю.

       Октаэдр – воздух.

       В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества – твёрдым, жидким, газообразным и пламенным.

       Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим.

       Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации.

«КОСМИЧЕСКИЙ КУБОК» КЕПЛЕРА

       Кеплер предположил, что существует связь между пятью правильными многогранниками и шестью открытыми к  тому времени планетами Солнечной системы.

       Согласно этому предположению, в сферу орбиты Сатурна можно вписать куб, в который вписывается сфера орбиты Юпитера. В неё, в свою очередь, вписывается тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марса. В сферу орбиты Марса вписывается додекаэдр, к который вписывается сфера орбиты Земли. А она описана около икосаэдра, в который вписана сфера орбиты Венеры. Сфера этой планеты описана около октаэдра, в который вписывается сфера Меркурия.

       Такая модель Солнечной системы (рисунок 2.23) получила название  «Космического кубка» Кеплера. Результаты своих вычислений учёный опубликовал в книге «Тайна мироздания». Он считал, что тайна Вселенной раскрыта.

        рисунок 2.23. Модель солнечной системы

Год за годом учёный уточнял свои наблюдения, перепроверял данные коллег, но, наконец, нашёл в себе силы отказаться от заманчивой гипотезы. Однако её следы просматриваются в третьем законе Кеплера, где говориться о кубах средних расстояний от Солнца.

ИКОСАЭДРО-ДОДЕКАЭДРОВАЯ СТРУКТУРА ЗЕМЛИ

       Идеи Платона и Кеплера о связи правильных многогранников с гармоничным устройством мира и в наше время нашли своё продолжение в интересной научной гипотезе, которую в начале 80-х гг. высказали московские инженеры В. Макаров и В. Морозов. Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обуславливают икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли (рисунок 2.24).  Она проявляется в том, что в земной коре как бы  проступают проекции вписанных в земной шар правильных  многогранников: икосаэдра и додекаэдра.

                  рисунок 2.24. Икосаэдрододекаэдровая структура Земли

       Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдро-додекаэдровой сетки; 62 вершины и середины рёбер многогранников, называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые непонятные явления. Здесь располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана. В этих узлах находятся озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник.

       Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место.

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ И ПРИРОДА

Правильные многогранники встречаются в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр (рисунок 2.25).

                                          рисунок 2.25. Феодария

Чем же вызвана такая природная геометризация феодарий? По-видимому, тем, что из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи.

       Правильные многогранники – самые «выгодные» фигуры.  И  природа этим широко пользуется. Подтверждением  тому  служит  форма  некоторых кристаллов.

       Взять хотя бы поваренную соль, без которой мы  не  можем обойтись. Известно, что она растворима в воде, служит проводником электрического тока. А кристаллы поваренной соли (NaCl) имеют форму куба.

       При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами  (K[Al(SO4)2] ⋅ 12H2O), монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра.

       Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана (FeS). Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра.

       В разных химических реакциях применяется сурьменистый  сернокислый натрий (Na5(SbO4(SO4)) – вещество, синтезированное учёными. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра.

       Последний правильный многогранник  –  икосаэдр  передаёт  форму  кристаллов  бора (В). В своё время бор использовался для создания полупроводников первого поколения.

МНОГОГРАННИКИ В ИССКУСТВЕ

В эпоху Возрождения большой интерес к формам правильных многогранников проявили скульпторы, архитекторы, художники.

Леонардо да Винчи (1452-1519) например, увлекался теорией многогранников  и часто изображал их на своих полотнах. Он проиллюстрировал правильными и полуправильными многогранниками книгу Монаха Луки Пачоли  “О божественной пропорции”.

Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией Альбрехт Дюрер (1471-1528), в известной гравюре ''Меланхолия''. На переднем плане изобразил додекаэдр.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

Формулы:

Площадь параллелограмма S = a • h, S=absina, S=1/2d1*d2*sina

Площадь ромба S=1/2d1*d2

Площадь треугольника ,

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ:

1. Рёбра   прямоугольного   параллелепипеда   относятся   как 3:7:8,   а   поверхность   содержит   808 см2.  Определить рёбра.

2. В   прямоугольном   параллелепипеде   стороны   основания относятся как   7: 24, а площадь диагонального   сечения  равна 50 дм2. Определить боковую поверхность.

3.    В   прямом   параллелепипеде   стороны   основания   равны 10 см и 17 см;   одна   из  диагоналей   основания   равна 21 см; большая диагональ параллелепипеда равна 29 см. Определить полную поверхность параллелепипеда.

4.   В   прямом   параллелепипеде   стороны   основания   3 см и 8 см; угол   между   ними   содержит   60°.   Боковая  поверхность параллелепипеда равна 220 см2. Определить полную поверхность и площадь меньшего диагонального сечения.

5.   Основанием прямого параллелепипеда служит ромб с диагоналями в 6 см и 8 см; диагональ боковой грани равна 13 см. Определить полную поверхность этого параллелепипеда.

6.   Определить   полную   поверхность правильной   четырёхугольной призмы, если её диагональ равна 14 см, а диагональ боковой грани равна  10 см.

7.   Диагональ   правильной   четырёхугольной призмы   равна 9 см,   а   полная   поверхность   её   равна   144 см2.   Определить сторону основания и боковое ребро.

8.  Определить полную поверхность прямой треугольной призмы, если ее высота равна 50 см, а стороны основания 40 см, 19 см, 37 см.

9.  Основанием прямой призмы служит равнобедренная трапеция  ABCD  со  сторонами  АВ = CD = 13 см,  ВС = 11 см  и АD = 21 см; площадь её диагонального сечения равна 180 см2. Определить полную поверхность этой призмы и площадь сечения AB1C1D.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

Задача 1. Основание пирамиды (рисунок 2.26) – прямоугольник ABCD. АВ=18 см, ВС=10см, высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 12 м. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

РЕШЕНИЕ: Площадь полной поверхности вычисляется по формуле:

В основании прямоугольник ABCD. Его площадь вычисляется по формуле:……………..

Боковая поверхность вычисляется по формуле:

Периметр основания (прямоугольника ABCD)

- апофема MN. Рассмотрим  

По теореме Пифагора

                                            рисунок 2.26. Пирамида

Задача 2. Основание пирамиды – параллелограмм со сторонами 6 см и 8 см, высота пирамиды равна 12 см, а все боковые ребра равны между собой. Найдите длину бокового ребра.

РЕШЕНИЕ: Так как все ребра равны между собой, то в основании прямоугольник.

Рассмотрим , АВ=….см, ВС=….см. По теореме Пифагора

Рассмотрим , МО=….см,  По теореме Пифагора

Задача 3. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а боковое ребро – 4 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды и высоту пирамиды (рисунок 2.27).

                            рисунок 2.27. Правильная пирамида

РЕШЕНИЕ:  Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется по формуле:

- апофема MН.

Рассмотрим , MC=….см,  По теореме Пифагора    В основании правильный треугольник и его периметр равен:    Тогда площадь боковой поверхности

Чтобы найти высоту пирамиды, рассмотрим , MН=….см,

По теореме Пифагора

Задача 4.  Боковое ребро правильной шестиугольной пирамиды равно 5 см, а стороны основания – 6 см. найдите площади её боковой и полной поверхности (рисунок 2.28).

          рисунок 2.28. Правильная шестиугольная пирамида

РЕШЕНИЕ: Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется по формуле:       , - апофема MК.

Рассмотрим , MC=….см,  По теореме Пифагора MK =                       Тогда площадь боковой поверхности  Площадь полной поверхности вычисляется по формуле: ,       

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

Задача 1. У четырехугольной усечённой пирамиды стороны одного основания равны 6, 7, 8, 9 см, а меньшая сторона другого основания равна 5 см. Найдите остальные стороны этого основания.

2. Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 12 дм и 6 дм, а ее высота 1 дм. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.

3. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде высота равна 2 см, а стороны оснований 3 см и 5 см. Найдите диагональ этой пирамиды.

4. Высота усечённой пирамиды с квадратным основанием равна 12, сторона нижнего основания 6, а верхнего 2. Найти полную поверхность усечённой пирамиды.

5. Высота усечённой пирамиды равна 6, а площади оснований 18 и 8. Пирамида рассечена плоскостью, параллельной основаниям и делящей высоту пополам. Вычислить площадь сечения.

6.  Определить стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды, если её высота равна 7 см, боковое ребро 9 см и диагональ 11  см.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

ЗАДАЧА 1. Найдите диагональное сечение куба, ребро которого 8 см.

ЗАДАЧА 2. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 3 см и 4 см, а высота 8 см. Найдите площадь диагонального сечения.

ЗАДАЧА 3. Основанием прямой призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник BC с прямым углом С. Через ребро СС1 проведено сечение CC1D1D,перпендикулярное к плоскости AA1B. Найдите площадь сечения, если объем призмы равен 10,2, AD=0,9, BD=2,5.

ЗАДАЧА 4. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 проведено сечение плоскостью, проходящей через середину M ребра AB , точку B1 и точку K , лежащую на ребре AC и делящую его в отношении AK:KC = 1:3 . Найдите площадь сечения, если известно, что сторона основания призмы равна a , а высота призмы равна 2a .

ЗАДАЧА 5. Правильная треугольная пирамида рассечена плоскостью, перпендикулярной основанию и делящей две стороны основания пополам. Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью, если известно, что сторона основания равна 2, а высота пирамиды равна 4.

ЗАДАЧА 6. Основание пирамиды PABCD – параллелограмм ABCD . Точка K – середина ребра AP , точка N расположена на ребре CP , причём CN:NP = 1:3 , точка M расположена на продолжении ребра BC за точку B , причём BM = 2BC . Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки K , M , N .

ЗАДАЧА 7.  Высота правильной треугольной призмы равна. Секущая плоскость проходит через среднюю линию нижнего основания и параллельную ей сторону верхнего основания и составляет с плоскостью нижнего основания двугранный угол величиной 60ↄ. Найдите площадь сечения призмы данной плоскостью.

ЗАДАЧА 8. В правильной треугольной призме ABCА1В1С1 проведено сечение через вершину С1 и ребро AB. Найдите периметр сечения, если сторона основания равна 24 см, а боковое ребро – 10 см.

ЗАДАЧА 9. В правильной треугольной пирамиде, сторона основания которой равна a, а боковое ребро – 3a, проведено сечение параллельно боковому ребру. Найдите площадь этого сечения, если оно является ромбом;

ЗАДАЧА 10. Постройте сечение куба ABCDA1B1C1D1, проходящее через точку пересечения диагоналей грани ABCD, параллельно прямым AB1 и BK (K – середина CC1). Найдите площадь сечения, если ребро куба равно a.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

Задание 1. Постройте развертки правильных многогранников и найдите площадь боковой поверхности каждой фигуры (рисунок 2.29).

А)Б)

В)г)

Д)Е)

                               рисунок 2.29. Развертки многогранников

№2.  Задача о пчелиной ячейке

Пчелы - удивительные творения природы. Если разрезать пчелиные соты плоскостью, то станет видна сеть равных друг другу правильных шестиугольников. Почему пчелы строят соты именно так?

РЕШЕНИЕ: Площадь поверхности многогранника-ячейки меньше площади поверхности призмы. При такой «математической» работе пчелы экономят 2% воска. Количество воска, сэкономленного при постройке 54 ячеек, может быть использовано для одной такой же ячейки. Пчелиные соты представляют собой пространственный паркет, заполняют пространство так, что не остается просветов. Как не согласиться с мнением Пчелы из сказки "Тысяча и одна ночь": "Мой дом построен по законам самой строгой архитектуры. Сам Евклид мог бы поучиться, познавая геометрию моих сот".

Задача 3. Определите количество граней, вершин и рёбер многогранника, изображённого на рисунке 2.30. Проверьте выполнимость формулы Эйлера для данного многогранника.

                                         рисунок 2.30. Многогранник

ТЕМА 2.2. ТЕЛА И ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ

Цилиндр и конус. Усеченный конус

Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка.

Цилиндром называется тело, которое состоит из двух кругов, совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов.

Конусом называется тело, которое состоит из круга- основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга, - вершин конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания.

УПРАЖНЕНИЯ

Цилиндр

1.  Радиус  основания   цилиндра   2 м,   высота 8 м. Найти диагональ осевого сечения.

2. Высота цилиндра 6 см, радиус основания 5 см. Найти площадь сечения, проведённого параллельно оси цилиндра на  расстоянии 4 см от неё.

Конус.

3.   Радиус   основания   конуса   3 м,   высота   4 м. Найти образующую.

4.  Высота конуса 20, радиус его основания 25. Найти площадь сечения, проведённого через вершину, если его расстояние от центра основания конуса равно 12.

Усечённый  конус.

5.   Радиусы оснований усечённого конуса 3 м и 6 м; высота 4 м. Найти образующую.

6.  Радиусы   оснований   усечённого  конуса   11 см и 16 см; образующая  13 см. Найти расстояние от центра меньшего основания до окружности большего.

Поверхность  цилиндра.

7.   Высота цилиндра на 10 см больше радиуса основания, а полная поверхность равна 144π см2. Определить  радиус основания и высоту.

8.   В  цилиндре   радиуc основания r = 2 см,   а   высота h = 7 см.   Определить   радиус   круга,   равновеликого   полной поверхности этого цилиндра.

Поверхность конуса.

9.  Высота конуса  h = 6, радиус основания r = 8. Найти боковую поверхность.

10.  Высота конуса  h = 4, образующая а = 5. Найти полную  поверхность.

Поверхность усечённого конуса.

11.  Высота усечённого конуса 4 дм; радиусы его оснований 2 дм и 5 дм. Найти Sбок. 

12.   Радиусы оснований усечённого конуса и его образующая относятся как  1:4:5; высота равна 8 см. Найти Sбок.

Шар и сфера, их сечения. Касательная плоскость к сфере

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.

Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Сечение шара плоскостью

Любое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга – основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

• Сечение, проходящее через центр шара, - большой круг  (диаметральное сечение).

Касательная плоскость к сфере

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.

Теорема 1.

Через любую точку A сферы проходит единственная касательная плоскость. Эта плоскость перпендикулярна радиусу OA сферы, где O – центр сферы.

Теорема 2.

Если из одной точки, лежащей вне окружности, провести к ней две касательные, то:

а) длины отрезков от данной точки до точек касания равны:

б) углы между каждой касательной и секущей, проходящей через центр круга, равны.

Теорема 3.

Если из одной точки, лежащей вне окружности, провести к ней касательную и секущую, то квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

Шар (рисунок 2.31).

1.  Площадь большого круга равна 1 м2. Найти поверхность шара.

2.  Радиус шара равен 5 см. Определить его поверхность (π =3,1416).

3.  Как   изменятся   поверхность шара, если радиус увеличить в 4 раза? в 5 раз?

4.   В шаре проведены по одну сторону от центра два параллельных сечения; площади их равны 49 π дм2 и 4π м2, а расстояние между ними 9 дм. Определить поверхность шара.

5. Полная поверхность равностороннего конуса равновелика   поверхности   шара,   построенного   на   его высоте как на диаметре. Доказать.

Шаровой пояс.

6. Радиусы оснований шарового пояса 20 м и 24 м, а радиус шара 25 м. Определить поверхность шарового  пояса.

7.  По  радиусу   шара R определить   высоту сферического слоя, одно из основании которого —большой круг шара и боковая поверхность которого равновелика сумме оснований.

8.   Высота шарового пояса 7 см, а радиусы оснований 16 см и 33 см. Определить поверхность шарового пояса.

Сегмент и сектор.

9.  По данному радиусу шара R определить высоту сферического сегмента, у которого боковая поверхность в т раз более площади основания (т = 4).

10.    Радиус   шара   равен   15 см.   Определить  часть его поверхности, видимою из точки, удалённой от центра на 25 см.

11.   Шар радиуса  R = 10 см цилиндрически просверлён по оси. Диаметр отверстия 12 см.  Найти полную поверхность тела.

12. Отрезок, соединяющий центр шара с точкой А касательной плоскости, равен 17 см. Радиус шара 8 см. Найдите расстояние от точки А до точки касания шара с плоскостью и от точки А до ближайшей к ней точки шара.

13. На поверхности шара даны три точки. Прямолинейные расстояния между ними 6 см, 8 см, 10 см. Радиус шара 13 см. Найдите расстояние от центра до плоскости, проходящей через эти точки. (1.7 см, 2.15 см, 3.12 см, 4.20 см)

                                          рисунок 2.31. Сечения шара

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

1. Плоскость находится на расстоянии 6 см  от центра шара, радиус которого равен 10 см. Найти радиус круга, полученного  в сечении.
2. В шаре радиусом 6 см найдите площадь сечения, проходящего через середину радиуса.
3. В шаре радиусом 10 см проведено сечение, диаметр которого 12 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости сечения.
4. Сечение шара плоскостью, удалённой от его центра на 12 см, имеет площадь  25π см2. Найти площадь поверхности шара.
5. Найти расстояние между двумя параллельными плоскостями сечения шара, радиусом 13 см. Радиусы сечений 5 см  и 12 см.
6. Вершины прямоугольного треугольника АВС лежат на шаровой поверхности, радиус которой 13 см. Найти расстояние от центра шара до плоскости АВС, если АВ = 6 см, ВС = 8 см, угол В = 900.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

Определения.1. Шар называется вписанным в многогранник, а многогранник описанным около шара, если поверхность шара касается всех граней многогранника.

2. Шар называется описанным около многогранника, а многогранник вписанным в шар, если поверхность шара проходит через все вершины многогранника.

3. Шар называется вписанным в цилиндр, усеченный конус (конус), а цилиндр, усеченный конус (конус) – описанным около шара, если поверхность шара касается оснований (основания) и всех образующих цилиндра, усеченного конуса (конуса).

4. Шар называется описанным около цилиндра, усеченного конуса (конуса), если окружности оснований (окружность основания и вершина) принадлежат поверхности шара.

Комбинация шара с призмой

Теорема 1. Шар можно вписать в прямую призму, если в основание призмы можно вписать окружность, а высота призмы равна диаметру этой окружности.

Теорема 2. Шар можно описать около призмы, если призма прямая и около ее основания можно описать окружность.

Комбинация шара с пирамидой.

Теорема 3. Около пирамиды можно описать шар, если около ее основания можно описать окружность.

Теорема 4. Если боковые грани пирамиды одинаково наклонены к основанию, то в такую пирамиду можно вписать шар.

Комбинация шара с усеченной пирамидой.

Теорема 5. Около любой правильной усеченной пирамиды можно описать шар.

Теорема 6. В правильную усеченную пирамиду можно вписать шар, если апофема пирамиды равна сумме апофем оснований.

Комбинация шара с круглыми телами

Теорема 7. Около цилиндра, усеченного конуса, конуса можно описать шар.

Теорема 8. В цилиндр можно вписать шар в том и только в том случае, если цилиндр равносторонний.

Теорема 9. В любой конус можно вписать шар.

Теорема 10. В усеченный конус  можно вписать шар в том и только в том случае, если его образующая равна сумме радиусов оснований.

ОТВЕТЬТЕ НА ВОПРОСЫ:

1. Можно ли описать сферу (шар) около: а) куба; б) прямоугольного параллелепипеда; в) наклонного параллелепипеда, в основании которого лежит прямоугольник; г) прямого параллелепипеда; д) наклонного параллелепипеда? (а) да; б) да; в) нет; г) нет; д) нет)

2. Справедливо ли утверждение, что около любой треугольной пирамиды можно описать сферу? (Да)

3. Можно ли описать сферу около любой четырехугольной пирамиды? (Нет, не около любой четырёхугольной пирамиды)

4. Можно ли описать сферу около наклонной призмы? (Нет, нельзя)

5. Можно ли описать сферу около цилиндра (прямого кругового)? (Да, можно)

6. Можно ли описать сферу около конуса, усеченного конуса (прямых круговых)? (Да, можно, в обоих случаях)

7. Во всякий ли цилиндр можно вписать сферу? Какими свойствами должен обладать цилиндр, чтобы в него можно было вписать сферу? (Нет, не во всякий: осевое сечение цилиндра должно быть квадратом)

8. Во всякий ли конус можно вписать сферу? Как определить положение центра сферы, вписанной в конус? (Да, во всякий центр вписанной сферы находится на пересечении высоты конуса и биссектрисы угла наклона образующей к плоскости основания)

РЕШИТЕ ЗАДАЧИ:

1. Около прямоугольного параллелепипеда, ребра которого равны 1 дм, 2 дм и 2 дм, описана сфера. Вычислите радиус сферы. (1,5 дм)

2. В шар радиуса 2  вписан конус, образующая которого наклонена под углом 45o к плоскости основания. Вычислить длину образующей конуса.

                         рисунок 2.32.  Шар, вписанный в куб

3. В куб вписан шар радиуса 2 (рисунок 2.32). Вычислить площадь поверхности куба.

4. В куб с площадью поверхности 24 вписан шар. Определить радиус шара.

РАЗДЕЛ 3. КОМБИНАТОРИКА, СТАТИСТИКА И ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ

Тема 3.1. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

В математике и ее приложениях часто приходится иметь дело с различного рода множествами и подмножествами: устанавливать их связь между элементами каждого, определять число множеств или их подмножеств, обладающих заданным свойством. Такие задачи приходится рассматривать при определении наиболее выгодных коммуникаций внутри города, при организации автоматической телефонной связи, работы морских портов, при выявлении связей внутри сложных молекул, генетического кода, а также в лингвистике, в автоматической системе управления, значит и в теории вероятностей, и в математической статистике со всеми их многочисленными приложениями.

Поговорим об одном из разделов теории вероятности – комбинаторике.

Комбинаторика - ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки предметов. Еще комбинаторику можно понимать как перебор возможных вариантов. Комбинаторика возникла в 17 веке. Долгое время она лежала вне основного русла развития математики.
С задачами, в которых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать их в определенном порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшие, люди столкнулись еще в доисторическую эпоху, выбирая наилучшее положение охотников во время охоты, воинов – во время битвы, инструментов - во время работы.
Комбинаторные навыки оказались полезными и в часы досуга. Нельзя точно сказать, когда наряду с состязаниями в беге, метании диска, прыжках появились игры, требовавшие, в первую очередь, умения рассчитывать, составлять планы и опровергать планы противника.
Со временем появились различные игры (нарды, карты, шашки, шахматы и т.д.). В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучил, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных. Не только азартные игры давали пищу для комбинаторных размышлений математиков. Еще с давних пор дипломаты, стремясь к тайне переписки, изобретали сложные шифры, а секретные службы других государств пытались эти шифры разгадать. Стали применять шифры, основанные на комбинаторных принципах, например, на различных перестановках букв, заменах букв с использованием ключевых слов и т.д.
Комбинаторика как наука стала развиваться в 18 веке параллельно с возникновением теории вероятностей, так как для решения вероятностных задач необходимо было подсчитать число различных комбинаций элементов. Первые научные исследования по комбинаторике принадлежат итальянским ученым Дж.Кардано, Н.Тарталье (1499-1557), Г.Галилею (1564-1642) и французским ученым Б.Паскалю (1623-1662) и П.Ферма.
Комбинаторику как самостоятельный раздел математики первым стал рассматривать немецкий ученый Г.Лейбниц в своей работе “ Об искусстве комбинаторики ”, опубликованной в 1666 году. Он также впервые ввел термин “комбинаторика”. Значительный вклад в развитие комбинаторики внес Л.Эйлер. В современном обществе с развитием вычислительной техники комбинаторика “добилась” новых успехов. В настоящее время в образовательный стандарт по математике включены основы комбинаторики, решение комбинаторных задач методом перебора, составлением дерева вариантов (еще его называют “дерево возможностей”) с применением правила умножения. Так, например, “дерево возможностей” помогает решать разнообразные задачи, касающиеся перебора вариантов происходящих событий. Каждый путь по этому “дереву” соответствует одному из способов выбора, число способов выбора равно числу точек в нижнем ряду “дерева”. Правило умножения заключается в том, что для того, чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В. В задачах по комбинаторике часто применяется такое понятие как факториал (в переводе с английского “factor” - “множитель”).
Итак, произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут: n!=1 2 3 … (n-1) n
В комбинаторике решаются задачи, связанные с рассмотрением множеств и составлением различных комбинаций из элементов этих множеств. В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций: перестановки, размещения, сочетания.

1. В школьной столовой на первое можно заказать борщ, солянку, грибной суп, на второе - мясо с макаронами, рыбу с картошкой, курицу с рисом, а на третье - чай и компот. Сколько различных обедов можно составить из указанных блюд?

Рассмотрим 3 способа решения задачи

1 способ.  Перечислим возможные варианты

Таблица 3.1

18 вариантов.
2 способ. Дерево возможностей.

рисунок 3.1. Дерево возможностей

3 способ. Используя правило умножения, получаем: 3х3х2=1

2. Свете на день рождения подарили 4 плюшевых игрушки, 2 мяча и 5 кукол. Мама положила все игрушки в большую коробку. Сколькими способами Света сможет достать из коробки 1 плюшевую игрушку, 1 мяч и 1 куклу?

1 способ. Обозначим мячи - М1, М2, игрушки- И1,И2,И3, И4, куклы- К1,К2, К3, К4, К5.
Перечислим возможные варианты:

М1-И1-К1, М1-И1-К2, М1-И1-К3, М1-И1-К4, М1-И1-К5,
М1-И2-К1, М1-И2-К2, М1-И2-К3, М1-И2-К4, М1-И2-К5,
М1-И3-К1, М1-И3-К2, М1-И3-К3, М1-И3-К4, М1-И3-К5,
М1-И4-К1, М1-И4-К2, М1-И4-К3, М1-И4-К4, М1-И4-К5
М2-И1-К1, М2-И1-К2, М2-И1-К3, М2-И1-К4, М2-И1-К5,
М2-И2-К1, М2-И2-К2, М2-И2-К3, М2-И2-К4, М2-И2-К5,
М2-И3-К1, М2-И3-К2, М2-И3-К3, М2-И3-К4, М2-И3-К5,
М2-И4-К1, М2-И4-К2, М2-И4-К3, М2-И4-К4, М2-И4-К5

Ответ: 40 вариантов.

2 способ. Используя правило умножения, получаем: 2х4х5= 40

3. Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 6, 7, 9?

1 способ.

Перечислим возможные варианты.

                                             Таблица 3.2

2 способ. Дерево возможностей.

рисунок 3.2. Дерево возможностей

3 способ. Используя правило умножения, получаем: 5х3=15 .

4. Мисс Марпл, расследуя убийство, заметила отъезжающее от дома мистера Дэвидсона такси. Она запомнила первую цифру “2”. В городке номера машин были трехзначные и состояли из цифр 1,2,3,4 и 5. Скольких водителей, в худшем случае, ей придется опросить, чтобы найти настоящего убийцу?

1 способ. Перечислим возможные варианты номеров такси:

                                  Таблица 3.3

Ответ: 25 человек.

2 способ. Используя правило умножения, получаем: 5х5=25

5. Саша, Петя, Денис, Оля, Настя часто ходят в кафе. Каждый раз, обедая там, они рассаживаются по-разному. Сколько дней друзья смогут это сделать без повторения?

1 способ. Пронумеруем стулья, на которых должен сесть каждый, и будем считать, что они рассаживаются поочередно:

№1 - Саша - есть возможность выбрать из 5 вариантов (стульев)
№2 - Петя - 4 варианта
№3- Денис - 3 варианта
№4- Оля - 2 варианта
№5 - Настя- 1 вариант

Используя правило умножения, получаем: 5х4х3х2х1=120

2 способ. Решаем, используя понятие факториала: 5!=120

6. Из учащихся пяти 11 классов нужно выбрать двоих дежурных. Сколько пар дежурных можно составить (ученики в паре не должны быть из одного класса)?

1 способ. Перечислим возможные варианты состава пары:

11А-11Б, 11А-11В, 11А-11Г, 11А-11Д,
11Б-11В, 11Б-11Г, 11Б-11Д, 11В-11Г, 11В-11Д, 11Г-11Д

Ответ: 10 пар.

2 способ. Из пяти классов нужно выбрать 2 дежурных.
Число элементарных событий = = 10

7. В 8 “а” классе лучше всех математику знают 5 учеников: Вася, Дима, Олег, Катя и Аня. На олимпиаду по математике нужно отправить пару, состоящую из 1 мальчика и 1 девочки. Сколькими способами учительница может эту пару выбрать?

1 способ. Обозначим имена детей первыми заглавными буквами.
Получаем следующие пары:
В-К, В-А, Д-К, Д-А, О-К, О-А.

Ответ: 6 пар.

2 способ. Мальчиков 3, из них 1 можно выбрать , девочек 2, из них можно 1 выбрать , используя правило умножения, получаем:
х = 6

8. В соревнованиях по фигурному катанию принимали участие россияне, итальянцы, украинцы, немцы, китайцы и французы.

Сколькими способами могут распределится места по окончании соревнований?
Обозначим участников по первой заглавной букве страны и пронумеруем: Р1, И2, У3, Н4,К5, Ф6
Р1 - имеют возможность занять с1-6 места, т.е. 6 вариантов
И2 - 5 вариантов
У3- 4 варианта
Н4- 3 варианта
К5- 2 варианта
Ф6- 1 вариант
Используя правило умножения, получаем: 6х5х4х3х2х1= 720

2 способ. Используя понятие факториала, получаем: 6!=720

9. В 9 “б” классе 6 человек (Галя, Света, Катя, Оля, Максим, Витя) учатся на все пятерки. Департамент образования премировал лучших учащихся путевками в Анапу. Но, к сожалению, путевок всего четыре. Сколько возможно вариантов выбора учеников на отдых?

Обозначим первыми заглавными буквами имен учащихся.
Возможны следующие тройки:
Г-С-К-О, Г-С-К-М, Г-С-К-В,
Г-С-О-М, Г-С-О-В, Г-С-М-В
С-К-О-М, С-К-О-В, С-К-М-В,
К-О-М-В, С-О-М-В, Г-К-О-В,
Г-К-О-В, Г-О-М-В, Г-К-М-В

2 способ. Из 6 человек нужно выбрать 4, число элементарных событий равно = 15

10. Пете на день рождения подарили 7 новых дисков с играми, а Вале папа привез 9 дисков из командировки. Сколькими способами они могут обменять 4 любых диска одного на 4 диска другого?

Вычислим, сколько четверок из 7 дисков можно составить у Пети:
=35, число четверок у Вали из 9 дисков -= 126
По правилу умножения находим число обменов 35х126=4410

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОКОТРОЛЯ ТЕМЫ 3.1

1. Войсковое подразделение состоит из 5 офицеров, 8 сержантов и 70 рядовых. Сколькими способами можно выделить отряд из 2 офицеров, 4 сержантов и 15 рядовых?

2. В ювелирную мастерскую привезли 6 изумрудов, 9 алмазов и 7 сапфиров. Ювелиру заказали браслет, в котором 3 изумруда, 5 алмазов и 2 сапфиров. Сколькими способами он может выбрать камни на браслет?

Из 6 изумрудов 3 он может выбрать =20 способами, из 9 алмазов 5 -=126, из 7 сапфиров 2 - =21. По правилу умножения находим число вариантов 20х126х21=52920

3. На выборах победили 9 человек - Сафонов, Николаев, Петров, Кулаков, Мишин, Гусев, Володин, Афонин, Титов. Из них нужно выбрать председателя, заместителя и профорга. Сколькими способами это можно сделать?

4. В районе построили новую школу. Из пришедших 25 человек нужно выбрать директора школы, завуча начальной школы, завуча среднего звена и завуча по воспитательной работе. Сколькими способами это можно сделать?

5. В студенческом общежитии в одной комнате живут трое студентов Петя, Вася и Коля. У них есть 6 чашек, 8 блюдец и 10 чайных ложек (все принадлежности отличаются друг от друга). Сколькими способами ребята могут накрыть стол для чаепития (так, что каждый получит чашку, блюдце и ложку)?

6. В огороде у бабушки растут 3 белые, 2 алые и 4 чайных розы. Сколькими различными способами можно составить букет из трех роз разного цвета?

ОТВЕТЫ

1. Из 5 офицеров выбрать 2 можно с помощью числа сочетаний =10 способами, из 8 сержантов 4 - =70, из 70 рядовых 15 -. По правилу умножения находим число выбора отряда:
10х70х= 700х

2. Из 6 изумрудов 3 он может выбрать =20 способами, из 9 алмазов 5 -=126, из 7 сапфиров 2 - =21. По правилу умножения находим число вариантов 20х126х21=52920

3. Здесь речь идет о размещениях
Можно было решать по-другому. На должность председателя выбираем из 9 человек, на заместителя - из 8, на профорга - из 7
По правилу умножения получаем 9х8х7=504

4. На должность директора выбираем из 25 человек, на завуча начальной - из 24, завуча среднего звена - из 23, завуча по воспитательной работе - 22. По правилу умножения получаем:
25х24х23х22 = 303600
Или, зная формулу размещения, получаем

5. Для Пети набор можно набрать 6х8х10=480 способами, для Васи - 5х7х9=315, для Коли - 4х6х8=192. По правилу умножения получаем
480х315х192=29030400 способами.

6. Обозначим белые - Б1, Б2, Б3, алые - А1,А2, чайные - Ч1, Ч2, Ч3,Ч4
Перечислим возможные варианты
Б1-А1-Ч1, Б1-А1-Ч2, Б1-А1-Ч3, Б1-А1-Ч4, Б1-А2-Ч1,Б1-А2-Ч2, Б1-А2-Ч3, Б1-А2-Ч4
Б2- А1-Ч1, Б2-А1-Ч2, Б2-А1-Ч3, Б2-А1-Ч4, Б2-А2-Ч1,Б2-А2-Ч2, Б2-А2-Ч3, Б2-А2-Ч4
Б3- А1-Ч1, Б3-А1-Ч2, Б3-А1-Ч3, Б3-А1-Ч4, Б3-А2-Ч1,Б3-А2-Ч2, Б3-А2-Ч3, Б3-А2-Ч4

Ответ: 24 варианта.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

        Математика, в отличие от других наук, создает образы, которые находятся вне потока времени. Мир математики существует в настоящем, делающем бессмысленными понятия прошлого и будущего. С точки зрения этой науки, время – величина, ничем не отличающаяся от других величин. Обладая способностью описывать объекты реального мира и объекты воображаемые, конструируемые средствами математического моделирования, мы не говорим о событиях желаемых, важных или второстепенных. Вместе с тем, математическое моделирование, являясь формой межпредметной деятельности, побуждает нас искать причинно–временные отношения, проникать тем самым в суть естественных наук.

Каждая научная теория ценна возможностью предсказать будущие события. Возможность предсказания основана на том, что закономерности, наблюдавшиеся в прошлом, повторяются в будущем. Возможность предсказания кроется в гипотетическом продолжении прошлого в будущем. Математика способна сделать успешным такое прогнозирование, вовлекая в него свои умозрительные построения.

К примеру, французский астроном Леверье в 1846 г. “на кончике пера” обнаружил новую планету Нептун, вычисляя возмущения орбиты уже известной в то время планеты Уран. Английский физик Максвелл, анализируя телеграфное уравнение, предсказал существование электромагнитных волн, которые экспериментально уже позже обнаружил немецкий физик Герц. Выдающийся русский механик Н. Е. Жуковский математически предсказал возможность фигур высшего пилотажа – и вскоре “мертвая петля” была впервые выполнена армейским офицером П. Н. Нестеровым.

Мудрость математики, бесстрастно проникающей во все науки, всегда актуальна для свободного развития естествознания и техники, исключающего конъюнктурную целесообразность действий при достижении цели.

СПИСОК  ЛИТЕРАТУРЫ И ИСТОЧНИКОВ

Основная литература:

1. Башмаков М.И. Математика. М., «Академия», 2012
2. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11     классов    общеобразовательных учреждений, А.Н.Колмогоров, М.,  Просвещение,  2010.
3. Геометрия. Учебник. 10-11 классы Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.,  

Просвещение, 2012 г.

Дополнительная литература:

1. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. Учебник. А.Г.Мордкович,  

      П.В.Семенов, Мнемозина, 2012.

2.Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. Задачник. А.Г.Мордкович,  

      П.В.Семенов, Мнемозина, 2012.

      3.. Геометрия. Учебник. 10-11 классы. И.Ф.Шарыгин, Дрофа,2009  г.

      4. Математика. Наглядный справочник с примерами. Л.Э.Генденштейн, А.П.Ершова,

              А.С.Ершова, ИЛЕКСА, 2015 г.