«Измерения в геометрии» учебно-методические рекомендации для студентов
методическая разработка по математике (11 класс) на тему

Дисциплина:  Математика

«Измерения в геометрии»

учебно-методические рекомендации для студентов

Составитель: преподаватель математики Р.Х.Бичурина

ТЕОРИЯ

Объем — это одна из характеристик трехмерных геометрических фигур.

Объем обозначается большой латинской буквой V («вэ»). Величины объема взаимосвязаны (одну кубическую единицу объема можно заменить ругой).

Правило. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.

Единицами измерения объема служат:

а) стандартные единицы длины в кубе:
1 см3 = 1 000 мм3

1 дм3 = 1 000 см3 = 1 000 000 мм3
1 м3 = 1 000 дм3 = 1 000 000 см3= 1 000 000 000 мм3

1 км3=1 000 000 000 м3

б) специальная единица объема (литр):
1 л = 1 дм3 = 1 000 см3. 

 В качестве единицы измерения выбирают кубик с ребром, равным какой-нибудь единице длины, например 1 см. Тогда единицей измерения объема будет объем такого кубика .

Например, объем прямоугольного параллелепипеда (рис. 65) равен 24 см3. Это значит, что его объем содержит 24 кубика объемом по 1 см3. Этот же результат можно получить, если измерить длину a, ширину b и высоту c тела, а затем их значения перемножить.

Объем обозначается латинской буквой V:

V = abc

В СИ единицей объема является 1 м3.

 Другие единицы: дм3, см3, мм3— дольные единицы м3.

1м3 =1000дм3 =1•103дм3; 
1дм3 =1000см3 =1•103 см3; 
1см3 =1000мм3 =1•103 мм3; 
1дм3 =0,001м3 =1•10-3 м3; 
1см3 =0,001дм3 =0,000001м3 =1•10-6 м3; 
1мм3 =0,001см3 =1•10-3 см3; 
1мм3 =0,000001дм3 =1•10-6 дм3; 
1 мм3 = 0,000000001м3 = 1 • 10-9 м3

Изучение стереометрии начинается со знания формул. Для решения задач по стереометрии на нахождение объемов  и площадей поверхностей многогранников и тел вращения в основном нужны: формулы объёмов, формулы площадей  поверхностей, формулы площадей плоскостных фигур и

элементарная логика.

Многогранники.

Формулы объёмов и формулы площадей поверхностей многогранников даны в  таблице.

Проще всего найти объём куба — это куб его стороны. Вот, оказывается, откуда берётся выражение «возвести в куб».

Объём параллелепипеда тоже легко найти. Надо просто перемножить длину, ширину и высоту.

Объём призмы — это произведение площади её основания на высоту. Если в основании треугольник — находите площадь треугольника. Если квадрат — ищите площадь квадрата. Напомним, что высота — это перпендикуляр к основаниям призмы.

Объём пирамиды — это треть произведения площади основания на высоту. Высота пирамиды — это перпендикуляр, проведенный из её вершины к основанию.

Тела вращения

Цилиндр, конус и шар относятся к объемным (трехмерным) геометрическим фигурам вращения.

Так, цилиндр — это фигура, полученная от вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон как оси; конус — вращением прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси, шар — вращением полукруга вокруг его диаметра как оси.

Объемные фигуры бывают прямые (прямой цилиндр, прямой конус) и наклонные (наклонный цилиндр, наклонный конус), что зависит от вида той плоской геометрической фигуры, которая их образует.

В нашем курсе математики рассматриваются только прямые цилиндры и конусы.

Определение. Цилиндр — это тело (объемная геометрическая фигура), полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон как оси.

Определение. Конус (прямой) — это тело (объемная геометрическая фигура), полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси.

Определение. Шар — это тело (объемная геометрическая фигура), полученное вращением полукруга вокруг его диаметра как оси.

Развертки цилиндра и конуса

Разверткой геометрической фигуры называется изображение плоскости, ограничивающей фигуру, в одной плоскости листа по размерам фигуры.

Развертка цилиндра приведена схематически.

Развертка конуса приведена схематически.

Площади боковой поверхности цилиндра и конуса

Правило. Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания и высоты цилиндра.

где C — длина окружности, H — высота цилиндра, R — радиус окружности основания.

Правило. Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания и образующей конуса.

где C — длина окружности основания, l — длина образующей конуса, R — радиус основания.

Площадь поверхности шара

Правило. Площадь поверхности шара равна учетверенной площади большого круга шара.

где R — радиус шара

Объемы цилиндра, конуса и шара

Правило. Объем цилиндра равен произведению площади основания н высоты.

где R — радиус основания, H — высота цилиндра.

Правило. Объем конуса равен одной трети произведения площади основания и высоты конуса.

где R — радиус основания, H — высота конуса.

Правило. Объем шара равен четырем третям
произведения числа Пи на куб радиуса.

где R — радиус шара

Цилиндр

Площадь боковой поверхности:

Площадь полной поверхности:

Объем:

Конус

Площадь боковой поверхности:

Площадь полной поверхности:

Объем:

 Усеченный конус                                        Шар

Подобие тел

Подобные тела. Зеркально подобные тела и фигуры.

Два тела подобны, если одно из них может быть получено из другого путём увеличения  (или уменьшения ) всех его линейных размеров в одном и том же отношении. Автомобиль и его модель – подобные тела. Два тела  (фигуры) зеркально подобны, если одно из них подобно зеркальному отражению другого. Например, картина и её фотонегатив зеркально подобны друг другу.

В подобных и зеркально подобных фигурах все соответственные углы (линейные и двугранные) равны.

В подобных телах  многогранные и телесные углы равны; в зеркально подобных телах они зеркально равны.

Если два тетраэдра (две треугольные пирамиды) имеют соответственно пропорциональные рёбра ( или соответственно подобные грани ), то они подобны или зеркально подобны. Например, если грани первой пирамиды вдвое больше, чем у второй, то высоты, апофемы, радиус описанного круга первой пирамиды также вдвое больше, чем у второй. Эта теорема не имеет места для многогранников с большим числом граней. Предположим, что мы соединили все рёбра куба в его вершинах посредством шарниров; тогда мы можем изменить форму этой фигуры, не растягивая её стержни, и получить из начального куба параллелепипед.

Две правильные призмы или пирамиды с одинаковым числом граней подобны, если радиусы их оснований пропорциональны их высотам.  Два круглых цилиндра или конуса подобны, если радиусы их оснований пропорциональны их высотам.

Если два и более тел подобны, то площади всех соответствующих плоских и кривых поверхностей этих тел пропорциональны квадратам любых соответствующих отрезков.

 Если два и более тел подобны, то их объёмы, а также объёмы любых их соответствующих частей, пропорциональны кубам любых соответствующих отрезков.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Формула для расчета объема прямоугольного параллелепипеда:

V = a * b * c

где а — длина, Ь — ширина, с — высота.

Так как у куба все измерения равны (а = Ь = с), то формула для вычисления объема куба V = а3.

Примеры

1.Вычислить объем прямоугольного параллелепипеда длиной 6 м, шириной 4 м и высотой 8 м.

Решение. Так как длина, ширина и высота измеряются одной и той же единицей длины (м), то подставим их в формулу V=а*Ь*с и вычислим объем:

V = 6 * 4 * 8 = 192 (м3)
Ответ: 192 м3.

2.Вычислите объем куба со стороной основания 10 см.

Решение. Подставим численное значение стороны куба в формулу вычисления объема V=а3 и вычислим:
V = 10 * 10 * 10 = 103 = 1 000 (см3) — 1 л.

Ответ: 1 000 см3, или 1 л.

Некоторые задачи по стереометрии решаются вообще без формул!

Например.

3.Объём куба равен 12. Найдите объём четырёхугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Обойдёмся без формул!

 Просто посчитайте, сколько нужно таких четырёхугольных пирамидок, чтобы сложить из них этот куб :-)

Площадь поверхности многогранника — это сумма площадей всех его граней.

4.В некоторых задачах каждое ребро многогранника увеличили, например, в три раза. Очевидно, что при этом площадь поверхности увеличится в девять раз, а объём — в 27раз.

5.Чашка диаметром 8 см и высотой 10 см  вмещает  0.5 литра  воды. Каких размеров должна быть подобная чашка, вмещающая 4 литра воды ?

Решение

Задания для самостоятельной работы

1. В каком отношении делится боковая поверхность правильной треугольной призмы плоскостью, проходящей через среднюю линию ее основания.(2 балла)
2. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания 3 и 4, а диагональ наклонена к плоскости основания под углом 45°.Найдите площадь поверхности параллелепипеда.(4 балла)
3. Найдите площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда, у которого стороны основания 5 и 6,а боковые ребра 7. (4 балла)
4. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 6. Боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 45°. Какова площадь поверхности пирамиды? (4 балла)
5. Можно ли из куска жести прямоугольной формы размером 31х11см сделать открытую сверху коробку, имеющую форму прямоугольного параллелепипеда размером 10х10х6см? (5 баллов)
6. Стороны прямоугольника 4 и 5.Какова площадь поверхности тела , полученного вращением этого прямоугольника вокруг меньшей стороны? (4 балла)
7. Из скольки кубиков, с ребром 3 см каждый можно составить куб ,с ребром 15 см?(2 балла)
8. Каков объем прямоугольного параллелепипеда, у которого ребра основания 6 и 8, а диагональ наклонена к плоскости основания под углом 30°? (3 балла)

   ---

Эталоны ответов

1. 1:4
2. 94
3. 147
4. 
5. Нет
6. 96π
7. 375
8. 160