История возникновения дробей
творческая работа учащихся по математике (5 класс) на тему

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя школа № 19» г.Твери

Городской конкурс сообщений «Открытие»

Предмет: математика

СООБЩЕНИЕ

«История возникновения дробей»

Выполнил:

ученик 5 б класса Макаров Матвей

Руководитель:

учитель математики Мануйлова Татьяна Николаевна

Тверь, 2017

План

Введение …………………………………………………………………..........        3

Глава I. История возникновения дробей…………………………………….        4

Глава II. Старинные задачи на дроби и их решение………………………...        8

Заключение……………………………………………………………………..        13

Список используемой литературы……………………………………………        14

Введение.

Математика – мой любимый предмет. Каждую пятницу я посещают факультатив по этому предмету. К одному из занятий я готовил сообщение о выдающемся русском математике Леонтии Филипповиче Магницком. В конце урока учитель предложил нам решить несколько задач из «Арифметики» Магницкого, в том числе задачу на дроби. Меня поразило, что уже в 17-18 веках люди знали, что такое дроби и применяли их для решения жизненных задач. Мне захотелось узнать, кто придумал дроби, когда, какие способы их записи существовали и есть ли их дальнейшее развитие? Учитель порекомендовал мне несколько книг, которые я взял в школьной библиотеке и начал изучать.

Но самое главное, я хочу предложить вам решить вместе со мной несколько задач на дроби из разных эпох.

Итак, окунемся в глубь веков и познакомимся с дробями.

Глава I. История возникновения обыкновенных дробей.

Необходимость в дробных числах возникла у человека на весьма ранней стадии развития. Дележ добычи между участниками охоты, когда число животных оказывалось не кратным числу охотников, привело первобытного человека к понятию о дробном числе.

Необходимость считать предметы у людей с древних времён появилась потребность измерять длину, площадь, объём, время и другие величины. Результат измерений не всегда удавалось выразить натуральным числом, приходилось учитывать и части употребляемой меры.

Потребность в более точных измерениях привела к тому, что начальные единицы меры начали дробить на 2, 3 и более частей. Более мелкой единице меры, которую получали вследствие дробления, давали название, и величины измеряли уже этой более мелкой единицей. В связи с этим появились выражения: половина, треть, два с половиной шага и т.д.

Египтяне умели работать с аликвотными дробями  типа 1/n ; эти дроби имели свое написание: вытянутый горизонтальный овальчик и под ним обозначение знаменателя.

 К примеру:

У них также были специальные символы для дробей 1/2, 2/3 и 3/4:

Остальные дроби они записывали в виде суммы долей. Дробь  они записывали в виде , но знак «+» не указывали. А сумму  записывали в виде . Следовательно, такая запись смешанных чисел (без знака «+») сохранилась с тех пор.

Вавилоняне работали только с шестидесятеричными дробями. Так как знаменателями таких дробей служат числа 60, 602, 603 и т. д., то такие дроби, как 1/7, 1/11,1/13 нельзя было точно выразить через шестидесятеричные: их выражали приближенно.

Интересная система дробей была в Древнем Риме. Она основывалась на делении на 12 долей единицы веса, которая называлась асс. Двенадцатую долю асса называли унцией. А путь, время и другие величины сравнивали с наглядной вещью - весом. Например, римлянин мог сказать, что он прошел семь унций пути или прочел пять унций книги. Имелось в виду, что пройдено 7/12 пути или прочтено 5/12 книги. А для дробей, получающихся сокращением дробей со знаменателем 12 или раздроблением двенадцатых долей на более мелкие, были особые названия.

Римская система дробей и мер была двенадцатеричной. В современном языке есть выражение: "Он скрупулезно изучил этот вопрос". Это значит, что вопрос изучен до конца, что ни одной самой малой неясности не осталось. А происходит странное слово "скрупулезно" от римского названия 1/288 асса - "скрупулус".

В ходу были и такие названия: "семис" - половина асса, "секстане" - шестая его доля, "семиунция" - полунции, то есть 1/24 асса, и т. д. Всего применялось 18 различных названий дробей. Чтобы работать с дробями, надо было для этих дробей помнить и таблицу сложения, и таблицу умножения. Поэтому римские купцы твердо знали, что при сложении триенса (1/3 асса) и секстанса получается семис, а при умножении беса (2/3 асса) на сескунцию (3/2 унции, то есть 1/8 асса) получается унция. Для облегчения работы составлялись специальные таблицы, некоторые из них дошли до нас.

В Древней Греции употреблялись наряду с единичными, «египетскими» дробями и общие обыкновенные дроби. Среди разных записей употреблялась и такая: сверху знаменатель, под ним – числитель дроби. Например,   означало три пятых. Еще за 2-3 столетия до Евклида и Архимеда греки свободно владели арифметическими действиями с дробями. То, что мы теперь рассматриваем как единое рациональное число – дробь, – греки понимали как отношение двух целых чисел.

Максим Плануд - греческий монах, ученый, математик в  13  веке  ввел  название  числителя  и  знаменателя.

В русском языке слово "дробь" появилось лишь в VIII веке. Происходит слово "дробь" от слова "дробить, разбивать, ломать на части". У других народов название дроби также связано с глаголами "ломать", "разбивать", "раздроблять".

Старейшим арифметическим памятником Киевской Руси является сочинение о календаре, написанное на славянском языке в 1136 году и названное «Учение им же ведати человеку числа всех лет», то есть «Наставление, как человеку познать счисление лет». Автор сочинений – учёный монах Кирик Новгородец, о жизни которого известно немного. Кирик пользуется конкретными дробями: и т.д.

В русских рукописных арифметиках XVII века дроби называли долями, позднее - «ломаными числами». В старых руководствах можно найти следующие названия дробей на Руси:

– половина, полтина,                                – треть,

– четь,                                                – полтреть,

– полчеть,                                         – полполтреть,

– полполчеть,                                             – полполполтреть (малая треть),

– полполполчеть (малая четь),                – пятина,

– седьмина,                                        – десятина.

В Древнем Китае дробь обозначали словами, используя меры длины чи: цуни, доли, порядковые, шерстинки, тончайшие, паутинки. Дробь вида 2,135436 выглядела так: 2 чи, 1 цунь, 3 доли, 5 порядковых, 4 шерстинки, 3 тончайших, 6 паутинок. Так записывались дроби на протяжении двух веков, а в V веке китайский ученый Цзю-Чун-Чжи принял за единицу не чи, а чжан = 10 чи, тогда эта дробь выглядела так: 2 чжана, 1 чи, 3 цуня, 5 долей, 4 порядковых, 3 шерстинки, 6 тончайших, 0 паутинок.

Глава II. Старинные задачи на дроби.

В древних рукописях и старинных учебниках арифметики разных стран встречается много интересных задач на дроби. Решение каждой из них требует немалой смекалки и сообразительности, умения рассуждать. Предлагаю решить несколько интересных задач.

Задача 1. Задача из "Арифметики" известного среднеазиатского математика IX в. Мухаммеда ибн-Мусы ал-Хорезми.

"Найди число, зная, что если отнять от него одну треть и одну четверть, то получится 10".

Поиск решения. Обозначим число отрезком, длина которого делится на 3 и на 4, это может быть 12, или 24, или 36 и т.д. Возьмем наименьшее из них – 12, нарисуем 12 равных отрезков или мерок. Найдем одну треть отрезка (12 : 3 = 4 (ч.).) Найдем одну четверть отрезка(12 : 4 = 3 (ч.)). Сколько частей вычли? (4 + 3 = 7 (ч.)). Сколько частей осталось? (12 – 7 = 5 (ч.)). 10 приходится на сколько частей? (На 5). Сколько приходится на одну часть? (10 : 5 = 2). Число 2 приходится на одну часть, а сколько всего частей? (12). Как найти число? (2 х 12 = 24).

Решение.

1) 12 : 3 = 4 (ч.) – треть числа.
2)12 : 4 = 3 (ч.) – четверть числа.
3) 3 + 4 = 7 (ч.) – вычли.
4)12 – 7 = 5 (ч.) – осталось.
5) 10 : 5 = 2 – приходится на одну часть.
6) 2 х 12 = 24 – число.

Ответ: Это число 24.

Задача 2. Задача из "Папируса Ахмеса" (Египет, 1850 г. до н.э.).

«Приходит пастух с 70 быками. Его спрашивают:

– Сколько приводишь ты своего многочисленного стада?

Пастух отвечает:

– Я привожу две трети от трети скота. Сочти!»

Поиск решения.

Обозначим отрезком все стадо. Какой должна быть длина отрезка, чтобы легко делилась на части? (Длина должна быть кратна 9). Обозначим число быков отрезком, состоящим из 9 частей. Как найти треть от 9? (9 разделить на 3, получится 3 части). Покажем это на отрезке. Найдем две трети от 3. Нужно 3 разделить на 3, получится 1 часть, и взять две таких части. Сколько быков приходится на 2 части? (70 быков). Сколько быков приходится на одну часть? (70 разделить на 2, получится 35 быков). Если 35 быков в одной части, сколько быков в 9 частях? (35 х 9 = 315). Сколько быков в стаде? (315 быков).

Схема.

Решение.

1) 9 : 3 = 3 (ч.) – треть стада.
2) 3 : 3 х 2 = 2 (ч.) – две трети от трети.
3) 70 : 2 = 35 (б.) – в I части.
4) 35 х 9 = 315 (б.) – в стаде.

Ответ: 315 быков.

Задача 3. Индийские ученые нередко излагали арифметические задачи в стихах. Решим одну древнеиндийскую задачу математика Сриддхары (XI в.).

Есть кадамба цветок,
На один лепесток
Пчелок пятая часть опустилась.
Рядом тут же росла
Вся в цвету сименгда,
И на ней третья часть поместилась.
Разность их ты найди,
Ее трижды сложи
И тех пчел на кутай посади.
Только две не нашли
Себе места нигде,
Все летали то взад, то вперед и везде
Ароматом цветов наслаждались.
Назови теперь мне,
Подсчитавши в уме,
Сколько пчелок всего здесь собралось?

Поиск решения.

Обозначим число пчел отрезком. Сколько мерок полезно взять в отрезке? (Число мерок должно делиться на 5, на 3, т.е. на 15. Отрезок будет состоять из 15 мерок). Сколько мерок отрезка составляет пятая часть? (15 разделим на 5, получится 3 мерки). Сколько мерок составляет третья часть отрезка? (15 разделить на 3 получится 5 мерок). Чему равна разность между третьей и пятой частями? (Из 5 мерок вычтем 3 мерки, получится 2 мерки). Три раза отложим по 2 мерки, сколько мерок мы отложили? (2 умножим на 3, получится 6 мерок). Сколько мерок останется? (15 – 3 – 5 – 6 = 1, одна мерка). Сколько пчел приходится на одну мерку? (Две). Как найти все количество пчел? (2 умножить на 15, получится 30. Всего собралось 30 пчел).

Схема.

Решение.

1) 15 : 5 = 3 (м.) – пятая часть.
2) 15 : 3 = 5 (м.) – третья часть.
3) 5 – 3 = 2 (м.) – разность.
4) 2 х 3 = 6 (м.) – кутай.
5) 15 – 3 – 5 – 6 = 1 (м.) – осталось.
6) 2 х 15 = 30 (пч.) – собралось.

Ответ: 30 пчел.

Задача 4. В начале XVIII века в России было немного образованных  людей. Одним из выдающихся учёных был Леонтий Филиппович Магницкий, который в 1703 году издал первый печатный учебник по математике «Арифметика». По этому учебнику обучались многие поколения русских людей. В книге Магницкого много задач с разным содержанием, включая и дроби. Вот пример одной из них.

Лошадь съедает воз сена за месяц, коза за два месяца, овца за три месяца. За какое время лошадь, коза и овца вместе съедят такой же воз сена.

Поиск решения.

Поскольку лошадь съедает воз сена за месяц, то за год (12 месяцев) она съедает 12 возов сена. Так как коза съедает воз сена за 2 месяца, то за год она съедает 6 возов сена. И, наконец, поскольку овца съедает воз сена за 3 месяца, то за год она съедает 4 воза сена. Вместе же они за год съедят 12+6+4=22 воза сена. Тогда один воз сена они вместе съедят за 12:22=6/11 (шесть одиннадцатых) месяца.

Решение.

1) 12 : 2 = 6 (в.)-съедает коза за год.

2) 12 : 3 = 4 (в.)  - съедает овца за год.

3) 12 + 6 + 4 = 22 (в.) – съедают за год вместе.

4) 12 : 22 = 6/11 (м.)

Ответ: 6/11 месяца.

Задача 5. На памятнике древнегреческого математика Диофанта находится следующая надпись: «Прохожий! Под сим камнем покоится прах Диофанта, умершего в старости. Шестую часть его жизни заняло детство, двенадцатую - отрочество, седьмую - юность. Затем протекла половина его жизни, после чего он женился. Через 5 лет у него родился сын, а когда сыну минуло 4 года, Диофант скончался. Скажи, скольких лет он умер».

Решение.

Часть жизни Диофанта, протекшая от его рождения до женитьбы, выразится суммой дробей:  . Часть его жизни от женитьбы до смерти выразится разностью

Эта часть, очевидно, равна 5+4=9 годам. Значит, Диофант умер, когда ему было  84 года

Ответ: 84 года.

Заключение

Цель моего сообщения достигнута: подробно рассмотрен вопрос о возникновении дробей, а также собраны и решены некоторые старинные  задачи на применение дробей. Считаю, что материалы моей работы будут интересными моим одноклассникам и другим учащимся. Данное сообщение и презентация могут быть использованы как на уроках, так и на внеклассных мероприятиях по математике.

Мной были рассмотрены лишь несколько задач с применением дробей, на самом деле их огромное количество, поэтому работу по этой теме можно продолжать. Я планирую продолжить сбор старинных задач на дроби, в том числе и задач на применение дробей в различных профессиях и в жизненных ситуациях.

        Надеюсь, мое сообщение вызвало интерес у слушателей.

Список используемой литературы:

1.        Выготский М.Я. Арифметика и алгебра в Древнем мире. – М.: Наука, 1967. – 370 с.

2.        Григорьева Г.И. Математика. – М.: Глобус, 2008.

3.        Колмогоров А.Н.. Математика в её историческом развитии. - М.: Наука, 1991.- 224 с.

4.        Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., Потапов М.К. Старинные занимательные задачи.- М.: Наука, 1985. – 160 с.

5.        Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. - М.: Наука, 1984.- 284 с.