Лекция. Комплексные числа
план-конспект по математике на тему

Рациональные и иррациональные числа, взятые в совокупности, называются действительными или вещественными.

Множество R всех действительных чисел состоит из множества всевозможных десятичных дробей (конечных, бесконечных периодических и бесконечных непериодических).            

Итак, под числовой системой будем понимать то или иное множество чисел, рассмотренное вместе с операциями, которые над ними выполняются.

 Каждая числовая система предназначена для решения определенного типа задач.

                                  КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Решение многих задач сводится к решению алгебраических уравнений.

Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел. Однако, действительных чисел недостаточно для того, чтобы решить любое алгебраическое уравнение. Например, уравнение

                                   х2 + 1 = 0                                                          

 не имеет действительных корней.  Поэтому приходится расширять множество действительных чисел  до нового множества, такого, чтобы в этом множестве уравнения вида    х2 + а2 = 0   имели решения.

Корень уравнения     х2 + 1 = 0      или х2 = -1 называется   мнимой единицей и   обозначается буквой  i .   Таким образом, символ  i  удовлетворяет условию

                                     i2  = -1     

Комплексным числом   называется выражение вида   a + bi  , где a  и  b - действительные числа,  i - мнимая единица.  Число a  называется действительной частью комплексного числа, а число bi  - мнимой частью. Комплексное число обозначается буквой  z . Запись  комплексного числа в виде

                                     z = a + bi 

называется  алгебраической формой записи комплексного числа.

Комплексное число  z  =  0+bi  называется  чисто мнимым, z = 0+bi  =  bi. При решении задач учитывать z  = a+0i = a. Комплексное число z = 0+0i называется нулем. Комплексные числа  a+bi  и  a-bi  называются сопряженными.

ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ

Суммой  двух комплексных чисел  z1 = a1 + b1i   и   z2 = a2 + b2 i

        называется комплексное число

                          z1 + z2  =  (a1+ a2) + (b1 + b2) i

Произведением   двух комплексных чисел  z1 = a1 + b1i  и  z2 = a2 + b2i  называется комплексное число 

                           z1 z2 = ( a1a2-b1b2 ) + ( a1b2+a2b1 ) i

Вычитание комплексных чисел вводится как операция, обратная сложению.

               Деление  - как операция, обратная умножению .

Формулы не нуждаются в запоминании. Формулы суммы, разности, произведения комплексных чисел получаются автоматически, если выполнять соответствующие действия и заменить  i2 = -1 .

При делении на комплексное число достаточно умножить числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю.

 ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

1. Найти сумму комплексных чисел  z1 = 2+(- 1)i   и   z2 = (-1) + 3i

     z = z1 + z2 =( 2 +(-1)i )  +  ((-1) + 3i) = (2 + (-1)) + ((-1) + 3)i =  1 + 2i .

2. Найти разность комплексных чисел  z1 = 4 + 5i  и z2 = -2 + 3i

     z = z1 - z2 = (4 + 5i) - ((-2) + 3i) = (4 - (-2)) + (5 - 3)i = 6 + 2i.

3. Найти произведение комплексных чисел z1 = 2 - 3i  и

 z2 = -4 + 2i

     z  =  z1z2 =  (2 - 3i) ((-4) + 2i) = -8 + 4i +12i - 6i2  = -2 + 16i.

4. Вычислить (5 + 10i) + (1 + 2i) (3 - 4i)

     (5 + 10i) + (1 + 2i) (3 - 4i) = (5 + 10i) + (3 - 4i + 6i - 8i2) = 5 + 10i + + 2i + 11 =  16 + 12i.

5. Выполнить действие    а)       

б)     

       в)    

6. Вычислить число  z, обратное числу  z = 3 - i

z=  =  =  =

7. Вычислить степени  i3,  i4,  i5,  i-1,  i-2,  i-3

i3 = i2 i = -1i = -i            i5 = i4 = i2 i2  i = i                     i-2  = (i2) = (-1)-1 = -1

i4 = i2 i2  = -1 (-1) = 1     i-1 = =  = =  = -i     i-3  ==  =

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ

КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

Комплексное число z = a + bi изображается на координатной плоскости точкой  М( a;b ) или вектором ОМ , начало которого совпадает с началом координат, а конец - с точкой М.  

 Координатная плоскость называется комплексной  плоскостью, ось  абсцисс (Ох) -

действительной осью, ось ординат (Оу) -

мнимой осью.

Модулем комплексного числа называется абсолютная величина вектора, соответствующего этому числу.

Для модуля числа z = a + bi  используются обозначения  r,  |z|  или |a + bi| . На основании теоремы Пифагора

               |z| = r =                 

Аргументом комплексного числа называется величина угла  ϕ  между положительным направлением действительной оси и вектором, соответствующим этому числу

ϕ = arctg ⏐ ⏐

( arctg⏐ ⏐ читается: угол, тангенс  которого равен ).

Обозначения для аргумента числа  z = a + bi  : ϕ , arg z  или  

arg (a + bi).  

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

1. Построить радиус-векторы, соответствующие комплексным числам:

    а) z = 2 ;     б) z = -3;       с) z = -3i;     d) z = -2i;      е) z =  2 + 3i .

                               y       

                                   3

 М3           М2                                         а) М1(2;0);

                                                                                          б) М2(-3;0);

                  -3                                  2                                              с) М3(0;3);

            М2          О       М1           x                            d) М4(0;-2);

                     М4 -2                                                      е) М5(2;3)

2. Найти модуль и главное значение аргумента комплексных чисел:

    а) z = 1 + i;                   б) z = i;  

  а)    Здесь а=1; b=1, следовательно r = =. Аргумент заданного комплексного числа является  tgϕ = b/a = 1 , ϕ= π/4.

                     y                                   Вектор, изображающий данное число,

                      1                                             лежит в I четверти.

                     O         1                x

 б) Аргументы действительных и чисто мнимых чисел находить  необходимо  непосредственно, исходя из геометрической интерпретации.     Здесь а = 0;  b = 1, следовательно, r =  = 1,

                      у

                      1

                      О                        x

Вектор, изображающий данное число                                                           лежит на положительной полуоси Оу, следовательно ϕ = π/2.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА 

Из  рис.1,  из треугольника  ОМА  можно  выразить  действительные числа  a и b  через модуль  r  и аргумент  ϕ  числа  z  следующим образом:

                                            a =  r cos ϕ

                                            b = r  sin ϕ,

таким образом, комплексное число  z  можно записать в виде:

                                            z  =  r (cos ϕ + i sin ϕ ),

где  r -  модуль комплексного числа; 

                                            ϕ - один из его аргументов.

Запись в таком виде называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Для того, чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа  z = a + bi  к тригонометрической, достаточно найти его модуль и  один из аргументов. Аргумент комплексного числа  z =  a + bi  можно находить из системы        

                 cos ϕ =

                          sin ϕ =

ПРИМЕРЫ:  1. Записать число  z = --i    в тригонометрической форме

Из условия  a = -; b = -1. Следовательно,  

                            r = =  = 2.

Аргумент заданного комплексного числа  

                           ϕ=arctg||=arctg=arctg.

              y

        -    O               

                   -1           x

Вектор, соответствующий данному комплексному числу лежит в III координатной четверти. Поэтому ϕ=7π/6 (см. таблицу значений тригонометрических функций некоторых углов). Зная  и ϕ перейдем к тригонометрической записи  заданного комплексного числа.

                          z= -- i = 2 (cos 7π/6 + i sin 7π/6 ) .

2. Записать число z = 2(cos 330° + i sin 330°) в алгебраической форме.

Найдем  cos 330°, sin 330°.

cos 330° = cos (360° - 30°) = cos 30°= ;

sin  330°= cos (360°- 30°) = -sin  30 = -.

Тогда    a = 2() = ,

              b = 2(-) = -1.

Следовательно,    z = 2(cos 330° + i sin 330°) =  - i .

ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМ ЧИСЛАМИ,

ЗАДАННЫМИ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ

Если      z1 =   r1 (cos ϕ1 +  i sin ϕ1) и

              z2  =   r2 (cos ϕ2 +  i sin ϕ2), то

z1z2 = r1r2(cos (ϕ1 + ϕ2) + i sin (ϕ1 + ϕ2))                                   (1)

                                    и

(cos (ϕ1 - ϕ2) + i sin (ϕ1- ϕ2)).                                      (2)

ПРИМЕРЫ:

1. Найти произведение                                            

             2(cos π/6 +i sin π/6) ⋅ 3(cos π/12 + sin π/12)

Воспользуемся формулой (1):

2(cos π/6 + i sin π/6) ⋅ 3(cos π/12 + i sin π/12)   =   2 ⋅ 3 (cos  (π/6 + +π/12) + i sin (π/6 + π/12)) = 6 (cos π/4 + i sin π/4) = 6(/2 + i/2) = =   3+3 i .

2. Выполнить деление

             10(cos 3π/4 + i sin 3π/4) : 2(cos π/4 + i sin π/4)

Воспользуемся формулой (2):

10(cos 3π/4 + i sin 3π/4) : 2(cos π/4 + i sin π/4) = 10:2(cos (3π/4 - π/4) +

                + i sin (3π/4 - π/4) = 5 (cos π/2 + i sin π/2) = 5 (0 + i) = 5 i.

Если        z = r (cos ϕ + i sin ϕ) , то

 zn = ( r (cos ϕ  + i sin ϕ))n = rn ( cos nϕ + i sin  nϕ)

                                          и

= √ г (cos ϕ + i sin ϕ) = √r (cos    ϕ n+ 2πk   + i sin ϕ n+ 2πk  ),

 где  - арифметический корень,  k = 0,1,2...

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

Рассматривая функцию  у = ех  для комплексного переменного, Эйлер установил соотношение

                                     еiϕ = cos ϕ + i sin ϕ,

которое называется  формулой Эйлера. Следовательно, каждое комплексное число  можно записать в форме

                                z = r(cos ϕ + i sin ϕ) = r еiϕ ,

которая называется показательной формой записи комплексного числа.

Над комплексными числами, заданными в показательной форме удобно выполнять действия.

ПРИМЕР:    Записать число    1,6 е в тригонометрической и алгебраической формах комплексного числа.

Заданное комплексное число в показательной форме удобно записать в тригонометрической форме, т.к. не требуется выполнять дополнительных действий для нахождения модуля и аргумента комплексного числа. Из условия

r = 1,6;       ϕ = , согласно тригонометрической форме записи

                                    z = r (cos ϕ + i sin ϕ) , имеем

z = 1,6 (cos  + i sin ) - тригонометрическая форма записи заданного комплексного числа.

Зная общую форму записи комплексного числа     z = a + bi и формулы

      a = r cos ϕ                              a = 1,6 cos  = 1,6(-) = -0,8

      b = r sin ϕ                               b = 1,6 sin  = 1,6(- ) = -0,8,

значит,         z = -0,8 -0,8 i = -1,13 - 1,13 i  - алгебраическая форма записи заданного комплексного числа.