Урок – лекция по алгебре в 10 классе: «Комплексные числа и операции над ними»
план-конспект урока по алгебре (10 класс) по теме
Урок – лекция по алгебре в 10 классе: «Комплексные числа и операции над ними»
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
urok_-_lekciya_po_algebre_v_10_klasse_kompleksnye_chisla_i_operacii_nad_nimi.docx | 114.99 КБ |
Предварительный просмотр:
Урок – лекция по теме «Комплексные числа и операции над ними»
Цель урока: познакомить учащихся с понятием комплексного числа; рассмотреть основные действия над комплексными числами.
Задачи урока.
Образовательные:
- Ввести понятие комплексного числа.
- Показать алгебраическую и тригонометрическую формы комплексного числа.
- Рассмотреть геометрическую интерпретацию комплексных чисел.
- Познакомить с действиями над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической формах.
Развивающие:
- Развивать мышление в процессе выполнения практических заданий.
- Развивать пространственные представления.
Воспитывающие:
- Воспитывать культуру записей в тетради.
- Воспитывать аккуратность, усидчивость, внимательность в процессе прослушивания лекции.
Тип урока: обзорная лекция.
План урока.
- Организационный момент.
- Изложение материала.
- Домашнее задание.
- Подведение итогов урока.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Изложение материала.
1. Мотивация.
Расширение множества вещественных чисел состоит в том, что к действительным числам присоединяются новые числа (мнимые). Введение этих чисел связано с невозможностью во множестве действительных чисел извлечения корня из отрицательного числа.
2. Введение понятия комплексного числа.
Мнимые числа, которыми мы дополняем действительные числа, записываются в виде bi, где i – мнимая единица, причем i 2 = - 1.
Исходя из этого, получим следующее определение комплексного числа.
Определение. Комплексным числом называется выражение вида a + bi, где a и b - действительные числа. При этом выполняются условия:
а) Два комплексных числа a1 + b1i и a2 + b2i равны тогда и только тогда, когда a1=a2, b1=b2.
б) Сложение комплексных чисел определяется правилом:
(a1 + b1i) + (a2 + b2i) = (a1 + a2) + (b1 + b2) i.
в) Умножение комплексных чисел определяется правилом:
(a1 + b1i) (a2 + b2i) = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 - a2b1) i.
3. Алгебраическая форма комплексного числа.
Запись комплексного числа в виде a + bi называют алгебраической формой комплексного числа, где а – действительная часть, bi – мнимая часть, причем b – действительное число.
Комплексное число a + bi считается равным нулю, если его действительная и мнимая части равны нулю: a = b = 0
Комплексное число a + bi при b = 0 считается совпадающим с действительным числом a: a + 0i = a.
Комплексное число a + bi при a = 0 называется чисто мнимым и обозначается bi: 0 + bi = bi.
Два комплексных числа z = a + bi и = a – bi, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.
4. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
Над комплексными числами в алгебраической форме можно выполнять следующие действия.
1) Сложение.
Определение. Суммой комплексных чисел z1 = a1 + b1 i и z2 = a2 + b2 i называется комплексное число z, действительная часть которого равна сумме действительных частей z1 и z2, а мнимая часть - сумме мнимых частей чисел z1 и z2 , то есть z = (a1 + a2) + (b1 + b2) i.
Числа z1 и z2 называются слагаемыми.
Сложение комплексных чисел обладает следующими свойствами:
1º. Коммутативность: z1 + z2 = z2 + z1.
2º. Ассоциативность: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3).
3º. Комплексное число – a – bi называется противоположным комплексному числу z = a + bi. Комплексное число, противоположное комплексному числу z, обозначается -z. Сумма комплексных чисел z и -z равна нулю: z + (-z) = 0
Пример 1. Выполните сложение (3 – i) + (-1 + 2i).
(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.
2) Вычитание.
Определение. Вычесть из комплексного числа z1 комплексное число z2, значит найти такое комплексное число z, что z + z2 = z1.
Теорема. Разность комплексных чисел существует и притом единственна.
Пример 2. Выполните вычитание (4 – 2i) - (-3 + 2i).
(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i.
3) Умножение.
Определение. Произведением комплексных чисел z1=a1+ b1 i и z2=a2+b2 i называется комплексное число z, определяемое равенством:
z = (a1a2 – b1b2) + (a1b2 + a2b1) i.
Числа z1 и z2 называются сомножителями.
Умножение комплексных чисел обладает следующими свойствами:
1º. Коммутативность: z1z2 = z2z1.
2º. Ассоциативность: (z1z2)z3 = z1(z2z3)
3º. Дистрибутивность умножения относительно сложения:
(z1 + z2) z3 = z1z3 + z2z3.
4º. z · = (a + bi) (a – bi) = a2 + b2 - действительное число.
На практике умножение комплексных чисел производят по правилу умножения суммы на сумму и выделения действительной и мнимой части.
В следующем примере рассмотрим умножение комплексных чисел двумя способами: по правилу и умножением суммы на сумму.
Пример 3. Выполните умножение (2 + 3i) (5 – 7i).
1 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2 5 – 3 (- 7)) + (2 (- 7) + 3 5)i =
= (10 + 21) + (- 14 + 15)i = 31 + i.
2 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2 5 + 2 (- 7i) + 3i 5 + 3i (- 7i) =
= 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.
4) Деление.
Определение. Разделить комплексное число z1 на комплексное число z2, значит найти такое комплексное число z, что z · z2 = z1.
Теорема. Частное комплексных чисел существует и единственно, если z2 ≠ 0 + 0i.
На практике частное комплексных чисел находят путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю.
Пусть z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i, тогда
+ .
В следующем примере выполним деление по формуле и правилу умножения на число, сопряженное знаменателю.
Пример 4. Найти частное .
1 способ. .
2 способ. .
5) Возведение в целую положительную степень.
а) Степени мнимой единицы.
Пользуясь равенством i2 = -1, легко определить любую целую положительную степень мнимой единицы. Имеем:
i3 = i2 i = -i,
i4 = i2 i2 = 1,
i5 = i4 i = i,
i6 = i4 i2 = -1,
i7 = i5 i2 = -i,
i8 = i6 i2 = 1 и т. д.
Это показывает, что значения степени in, где n – целое положительное число, периодически повторяется при увеличении показателя на 4 .
Поэтому, чтобы возвести число i в целую положительную степень, надо показатель степени разделить на 4 и возвести i в степень, показатель которой равен остатку от деления.
Пример 5. Вычислите: (i 36 + i 17) · i 23.
i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,
i 17 = i 4 4+1 = (i 4)4 i = 1 · i = i.
i 23 = i 4 5+3 = (i 4)5 i3 = 1 · i3 = - i.
(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.
б) Возведение комплексного числа в целую положительную степень производится по правилу возведения двучлена в соответствующую степень, так как оно представляет собой частный случай умножения одинаковых комплексных сомножителей.
Пример 6. Вычислите: (4 + 2i) 3
(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3 42 2i + 3 4 (2i)2 + (2i)3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.
5. Геометрическое изображение комплексных чисел.
а) Комплексные числа изображают точками плоскости по следующему правилу: a + bi = M (a; b) (рис.1).
Рисунок 1
б) Комплексное число можно изобразить вектором, который имеет начало в точке О и конец в данной точке (рис.2).
Рисунок 2
Пример 7. Постройте точки, изображающие комплексные числа: 1; - i; - 1 + i; 2 – 3i (рис.3).
Рисунок 3
6. Тригонометрическая запись комплексных чисел.
Комплексное число z = a + bi можно задать с помощью радиус – вектора с координатами (a; b) (рис.4).
Рисунок 4
Определение. Длина вектора , изображающего комплексное число z, называется модулем этого числа и обозначается или r.
Для любого комплексного числа z его модуль r = | z | определяется однозначно по формуле .
Определение. Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором , изображающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа и обозначается Аrg z или φ.
Аргумент комплексного числа z = 0 не определен. Аргумент комплексного числа z ≠ 0 – величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 2πк (к = 0; - 1; 1; - 2; 2; …): Arg z = arg z + 2πк, где arg z – главное значение аргумента, заключенное в промежутке (-π; π], то есть -π < arg z ≤ π (иногда в качестве главного значения аргумента берут величину, принадлежащую промежутку [0; 2π)).
a = r · cos φ, b = r · sin φ.
Следовательно, комплексное число z = a + bi можно записать в виде:
z = r · cos φ + i r · sin φ или z = r · (cos φ + i sin φ).
Такая запись комплексного числа называется тригонометрической формой комплексного числа.
Пример 8. Представить в тригонометрической форме комплексное число 1– i.
a = 1, b = -1.
φ = .
1 – i = (cos + i sin ).
7. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.
1) Умножение.
Пусть два числа заданы и в алгебраической и в тригонометрической формах:
z1 = a1 + b1i = r1 (cos φ1 + i sin φ1), z2 = a2 + b2i = r2 (cos φ2 + i sin φ2).
На основании исходного определения правила умножения и формулы косинуса и синуса суммы получаем:
z1· z2 = r1 · r2 (cos (φ1 + φ2) + i sin (φ1 + φ2)); r1 · r2>0.
Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме обладает следующими свойствами:
1º. Коммутативность: z1z2 = z2z1
2º. Ассоциативность: (z1z2) z3 = z1 (z2 z3).
Пример 9. Найти произведение комплексных чисел z1 = 2cos 50º + 2 i sin 50º,
z2 = cos 40º + i sin 40º.
Решение. Тригонометрические формы этих чисел имеют вид:
z1 = 2 · (cos 50º + i sin 50º), z2 = 1· (cos 40º + i sin 40º).
Тогда z1 · z2 = 1· 2 · (cos (50º + 40º) + i sin (50º + 40º)) = 2(cos 90º + i sin 90º) = 2(0 + i) = 2i.
2) Деление комплексных чисел в тригонометрической форме.
Деление в поле комплексных чисел на числа, отличные от нуля, всегда выполнимо. Если числа z1 и z2 заданы в тригонометрической форме
z1 = r1 (cos φ1 + i sin φ1), z2 = r2 (cos φ2 + i sin φ2), причем z1 ≠ 0, то комплексное число = [cos (φ2 - φ1) + i sin (φ2 - φ1)] является частным чисел z1 и z2 (то есть z1y = z2).
Пример 10. Найти частное комплексных чисел z1 = 2cos 50º + 2 i sin 50º,
z2 = cos 40º + i sin 40º.
Решение. Тригонометрические формы этих чисел имеют вид:
z1 = 2 · (cos 50º + i sin 50º), z2 = 1· (cos 40º + i sin 40º).
Тогда (cos (50º - 40 º) + i sin (50º - 40º)) = 2(cos 10º + i sin 10º).
3) Возведение в степень.
Определение. n – ой степенью комплексного числа z называется комплексное число, получающееся в результате умножения числа z самого на себя n раз.
Число z называется основанием степени, а натуральное число n – показателем степени.
Возвести комплексное число в n – ую степень можно по формуле:
z n = (r n) [cos (nφ) + i sin (nφ)].
Эту формулу при r =1 часто называют формулой Муавра:
(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n N.
Пример 11. Вычислите (1 + i)100.
Запишем комплексное число 1 + i в тригонометрической форме.
a = 1, b = 1.
.
cos φ = , sin φ = , φ = .
(1+i)100 = [(cos + i sin)]100= ()100 (cos·100 + i sin·100) = = 250(cos 25π + i sin 25π) = 250(cos π + i sin π) = - 250.
4) Извлечение квадратного корня из комплексного числа.
При извлечении квадратного корня из комплексного числа a + bi имеем два случая:
если b > о, то ;
если b < о, то .
Так как из комплексного числа всегда можно извлечь квадратный корень, то любое квадратное уравнение всегда будет иметь решения во множестве комплексных чисел. Решения квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 можно найти по известной формуле: .
Пример 12. Вычислите .
Так как b < о, то воспользуемся формулой
= = .
= ,
= .
III. Домашнее задание.
Дома учащимся предлагается выполнить задание на повторение и закрепление пройденного материала.
Вариант 1. 1. Выполните действия. а) ; б) ; в) . 2. Решите уравнения. а) x2 – 4x + 5 = 0; б) y3 – 6y + 9 = 0. | Вариант 2. 1. Выполните действия. а) ; б) ; в) . 2. Решите уравнения. а) x2 + 6x + 12 = 0; б) y3 – 12y + 16 = 0. |
IV. Подведение итогов урока.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Контрольная работа по алгебре по теме "Комплексные числа"
Контрольная работа составлена по учебнику А.Г.Мордковича Алгебра и начала анализа, профильный уровень. Работа рассчитана на 45 минут, на два варианта....
Проверочная работа по математике: "Комплексные числа и действия над ними".
Проверочная работа по математике предназначена для студентов 1 и 2 курсов СПО....
Тест по математике по теме "Натуральные числа и операции с ними"
Данный тест предназначен для проверки знаний учащихся 5 класса по теме "Натуральные числа и операции с ними". Очень удобна форма теста, так как его можно выполнять на компьютерах и сразу увидеть...
Урок-лекция по алгебре и началам анализа "Решение тригонометрических уравнений, неравенств и систем уравнений"
В данной лекции подробно указаны все способы решения тригонометрических уравнений, неравенств и систем уравнений....
Технологическая карта урока математики в 5 классе "Натуральные числа и действия с ними"
Это урок с применением технологии проблемного обучения в 5 классе в рамках реализации ФГОС. Обобщение темы проходит в форме решения интересных практических и познавательных заданий...
Электронный образовательный ресурс для обучающихся 11 класс "Комплексные числа"
ЭОР "Комплексные числа" 11 класс...
Урок – лекция по теме «Комплексные числа и операции над ними»
Цель урока: познакомить учащихся с понятием комплексного числа; рассмотреть основные действия над комплексными числами.Задачи урока.Образовательные:Ввести понятие комплексного числа.Показать алгебраич...