Правило умножения при решении комбинаторных задач
учебно-методический материал по математике (6 класс) на тему

 Решение комбинаторных задач.

I.

Задача 1. Несколько стран решили использовать для своего государственного флага символику в виде трех горизонтальных полос одинаковой ширины разных цветов – белого, синего, красного. Сколько стран могут использовать такую символику при условии, что у каждой страны – свой флаг?

В 5-м классе для решения такой задачи использовали построение «дерева» возможных вариантов.

Построим «дерево» вариантов и ответим на вопрос задачи. 

Используя дерево возможных вариантов, мы можем подсчитать, сколько стран могут использовать такую символику.

Таким образом, получилось 6 комбинаций. Значит, указанную символику при выборе государственного флага могут использовать 6 стран.

Вопрос на который вы должны знать ответ: какой из представленных на рисунке флагов является Государственным флагом России? 

Белый цвет означает мир, чистоту, совершенство; синий – цвет веры и верности; красный – энергию, силу, кровь, пролитую за Отечество.

II.

1. Задача 2: Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4?

 «Дерево» вариантов имеет много «веток». Так как вариантов много, то можно легко допустить ошибку в подсчете всевозможных способов.

Подсчитаем количество данных двузначных чисел, используя логические рассуждения и здравый смысл.

1. У интересующих нас двузначных чисел на первом месте (цифра десятков) может находиться любая из заданных цифр кроме цифры 0. Не существует двузначного числа, начинающегося с цифры 0.

Значит, цифрой десятков может служить одна из цифр 1, 2, 3 или 4. Поэтому в первой группе только 4 «ветви».

2. Для цифры единиц для каждого из этих случаев возможны пять вариантов – 0, 1, 2, 3, 4.

Всего получаем 4•5 = 20 вариантов.

Про такой способ рассуждений обычно говорят так: мы использовали правило умножения.

2. Правило умножения.

Если первый элемент в комбинации можно выбрать a способами, после чего второй элемент – b способами, то общее число комбинаций из двух элементов  можно будет выбрать a •b способами.

Устные задачи на применение правила умножения.

1. У Насти 3 брюк и 5 блузок, удачно сочетающихся по цвету. Сколько различных комбинаций одежды она может составить? (3∙5=15)
2. В 6-м классе в пятницу 6 уроков: математика, русский язык, информатика, физкультура, биология  и музыка. Сколько можно составить вариантов расписания в субботу? (6∙5∙4∙3∙2∙1=720).

3. Выполнение заданий.

Задача 3.

В списке учеников 6-го класса 15 девочек и 13 мальчиков. Нужно выбрать двух дежурных по классу. Сколькими способами это можно сделать: а) при условии, что пару дежурных обязательно должны составить мальчик и девочка, б) без указанного условия?

Решение:

А) Для выбора девочки в качестве дежурного есть 15 вариантов. Если девочка дежурной назначена, то имеется 13 вариантов выбора мальчика в качестве второго дежурного.

Всего: 15*13= 195 способов.

Ответ: 195 способов.

Б) Для выбора первого дежурного имеется 28 способов. Для каждого из них существует 27 способов выбора второго дежурного.

Всего 28*27 = 756 способов.

Но среди этих 756 пар есть одинаковые пары. Для простоты рассуждений перенумеруем учеников (в списке каждому ученику присваивается номер). Тогда ясно, что например, пара «ученик №1, ученик №2» и пара «ученик №2 , ученик №1» это одна и та же пара. Таким образом, мы каждую пару посчитали дважды. Значит, полученный результат надо уменьшить вдвое: 756:2= 378

Ответ: 378 способов.

В данной задаче использовали правило деления: если при подсчете искомых комбинаций каждую из них подсчитали т раз, то нужно поделить найденное количество комбинаций на m.

Сравнение  способов решения комбинаторных задач.

Для каждой конкретной задачи выбираете удобный способ решения!

Задача 4.

В списке учеников 6-го класса 15 девочек и 13 мальчиков. Нужно выделить группу из трех человек для посещения заболевшего ученика этого класса. Сколькими способами это можно сделать, если

а) все члены этой группы – девочки
б) все члены этой группы – мальчики;
в) в группе 1 девочка и 2 мальчика;
г) в группе 2 девочки и 1 мальчик?

а) 455 способов;
б) 220 способов;
в) 990 способов;
г) 1260 способов.

Задача 5.

В списке 6-го класса 15 девочек и 13 мальчиков. Нужно выделить группу из трех человек для посещения заболевшей ученицы этого класса. Сколькими способами это можно сделать, если:

а) все члены группы – девочки;
б) все члены группы – мальчики;
в) в группе 1 девочка и 2 мальчика;
г) в группе 2 девочки и 1 мальчик?

Решение:

а) 14∙13∙12=2184, 2184 : 6=364.
    Ответ: 364 способа.

б) 13∙12∙11=1716, 1716:6=286.
    Ответ: 286 способов.

в) (13∙12):2=78, 78∙14=1092.
    Ответ: 1092способа.

г) ((14∙13):2) ∙13=1183.
    Ответ: 1183 способа.

Задача 6.

В двух урнах имеется по семь шаров, в каждой – семи различных цветов: красного, оранжевого, желтого, зеленого, голубого, синего, фиолетового. Из каждой урны одновременно вынимается по одному шару.

а) Сколько существует комбинаций, при которых вынутые шары одного цвета?
    Ответ: 7.

б) Сколько возможно комбинаций, при которых вытянутые шары разных цветов?
    Ответ: 21 комбинация.

в) Сколько всего существует различных комбинаций вынутых шаров (комбинации типа «белый – красный» и «красный – белый» считаются одинаковыми?
    Ответ: 28 комбинаций.