Полезные подсказки по математике
учебно-методическое пособие по математике (5, 6 класс) на тему

ПРИЗНАКИ   ДЕЛИМОСТИ

РАЗЛОЖЕНИЕ  НА  ПРОСТЫЕ  МНОЖИТЕЛИ

Разложить число на простые множители – значит представить его в виде произведения простых чисел.

75 = 5∙5∙3

1.  28 = 2∙2∙7;        2)   363 = 3∙11∙11;       3)  264 = 2∙2∙2∙3∙11

  Ход работы в примере 3):                                                         264      2

264 : 2 = 132                                                                                        132      2

13 2 : 2 = 66                                                                                           66      2

66 : 2 = 33                                                                                              33       3

33 : 3 = 11                                                                                              11      11

11 : 1 1= 1    делители – только простые числа                                                                                            

НОК    и   НОД                                                                              (наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель)

НОД (63и98) = 7                                НОД(120и45) = 5∙3=15

63    3           98    2                                                    120    5           45    5

21    3           49    7                                                     24     2            9      3

7      7           7      7                                                     12     2            3     3

 63=3∙3∙7         98=2∙7∙7                                                       6      2             120=5∙2∙2∙2∙3;     45= 5∙3∙3       

                                                                                       3      3         

НОК(15и20) = (5∙3)∙2∙2=60                                        НОК(12и40) = (2∙3∙2)∙5∙2=120

15    5            20    2     нет  в разложе-                                  12     2                  40     2      нет в раз-

3      3            10    2      нии 15                                                   6       2                   -      5    ложении  12

                       5      5                                                                    3       3                   4      2

                                                                                                                                    2      2

СОКРАЩЕНИЕ    ДРОБЕЙ

          Чтобы сократить дробь, нужно и числитель и знаменатель разделить на одно и то же число.

    (сократили на 5)

     =       (сократили на 2)

     =     (сокр. на 10) = (сокр. на 2)

      ,   ,   ─ несократимые дроби

ПРИВЕДЕНИЕ   ДРОБЕЙ   К   ОБЩЕМУ   ЗНАМЕНАТЕЛЮ

         Любые две дроби можно привести к общему (одинаковому) знаменателю. Обычно дроби приводят к наименьшему общему знаменателю (НОЗ).           НОЗ = НОК знаменателей        

Привести к общему знаменателю дроби:

1.  и  ;         а) НОК(9и 6)=18;  б) 18:9=2, 18:6=3 ( 2 и 3 – дополнительные  мно –

                                                                                                                 жители)

                     в) умножаем на дополнительные множители и числители и        

                         знаменатели данных дробей.

    Ответ:   и   →  и

2.   и  ;       а) НОК(12 и 15)=60;    б)60:12=5, 60:15=4  (5 и 4 – дополн. множ.) 

                      в) см.пример 1.

    Ответ:   и →  и

СРАВНЕНИЕ,  СЛОЖЕНИЕ  И  ВЫЧИТАНИЕ  ОБЫКНОВЕННЫХ  ДРОБЕЙ

Чтобы сравнить, сложить или вычесть обыкновенные дроби, надо:

• привести дроби к общему знаменателю;
• сравнить, сложить или вычесть числители новых дробей, оставляя их знаменатели без изменения.

1.  Сравнить:   и  ;      а) НОЗ (9и7)=63;   б)   =   ;    = ;    в)  ›    →    ›  

2.   Вычислить:   +  ( НОЗ(10и15) = 30 ← в уме ) =  +   =                                    

  Вычислить:    –   ( НОЗ (12и8) = 24 ← в уме )  =   –  =

                                    ЗАПИСЬ:     +   =   =    =              

СЛОЖЕНИЕ   И  ВЫЧИТАНИЕ   СМЕШАННЫХ   ЧИСЕЛ

Для сложения и вычитания смешанных чисел нужно отдельно сложить целые и дробные части компонентов.

1.    +  =  =  =  ← в ответе дробь должна быть правильной      

2.    –1  =  = 4  = 4  ← в ответе дробь должна быть несокра-

                                                                                                                                     тимой

БОЛЕЕ   СЛОЖНЫЕ   СЛУЧАИ   ВЫЧИТАНИЯ

3.    3  –  =  ← ? (9  11) : занимаем у  2 целых 1 и дробим её на  , которые добавляем к дробной части, имеем:   =  =  

1 =  =  = …… =  = …… =  = …… =  = ….                                                         

УМНОЖЕНИЕ    ОБЫКНОВЕННЫХ    ДРОБЕЙ

• Для умножения обыкновенных дробей нужно перемножить их числители и их знаменатели.
• Если возможно сокращение – его надо выполнить, это облегчит вычисления.
• При умножении смешанных и целых чисел их заменяют неправильными дробями.

1.      ∙  =  =

2.     2  ∙  =  =  =  = 1

3.      7 ∙  =  ∙  =  = 4

ДЕЛЕНИЕ   ОБЫКНОВЕННЫХ   ДРОБЕЙ

Деление обыкновенных дробей можно заменить умножением на «перевёрнутую» дробь.

Шаги деления обыкновенных дробей:

1.   преобразовать пример:     :      (все  компоненты – дроби)
2.   заменить:     :   =   ∙  
3.    выполнить умножение

1.     :   =    ∙    =    =    =  1 ;

2.    :  6  =    :   =    ∙    =    =   

НАХОЖДЕНИЕ   ДРОБИ   ОТ   ЧИСЛА

Задача.   В книге 140 страниц. Андрей прочитал 0,3 этой книги. Сколько страниц прочитал Андрей?

Решение

0,3 от 140 стр. ;      140 ∙ 0,3 = 42 (стр.)

Ответ:   Андрей прочитал 42 страницы.

НАХОЖДЕНИЕ   ЧИСЛА   ПО  ЕГО   ДРОБИ

Задача.   Девочка прошла на лыжах 300 метров, что составляет   дистанции. Какова длина дистанции?

Решение

300 м  сост.   дистанции;       300 :  =  ∙  =  = 800 (м)

Ответ:   длина дистанции 800 метров.

ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ

1. 2 : 48;    36 : 1,8;    х : 15   -  отношения.
2. Пропорция – равенство двух отношений.
3. 12 : 6 = 100 : 50    12 и 50 – крайние члены

                                 6 и 100 – средние члены

 =

4. Основное свойство пропорции:     если пропорция верна, то произведение крайних членов равно произведению средних членов пропорции:        12 : 6 = 100 : 50;   → 12 ∙ 50 = 6 ∙ 100 = 600;  
5. Решение  уравнений

                  =                                                                                                                  10 : Х = 2,5 : 5

               0,4 ∙х = 2∙ 5                                                                                                          2,5Х = 10 ∙ 5

      0,4х = 10;      х = 10 : 0,4 = 100:4=25 ;     Х = 25                  2,5Х = 50;   Х = 50 : 2,5 = 500 : 25;  Х = 20 

ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ.    ПЛОЩАДЬ  КРУГА.

C – длина окружности;         S – площадь круга;

∏(пи) ≈ 3,1415926536…    (3,14);                  R(r)-радиус;

C = 2∏R                                  S = ∏

  Задача     Найти длину  окружности  и площадь круга с радиусом 5 см.                                                                                                       

Решение

1. r = 2 ∙ 3,14 ∙5 = 6,28 ∙ 5 = 31,4(см)
2.  = 3,14 ∙  = 3,14 ∙ 25 = 78,5()

Окружность – линия,       Круг – часть плоскости

КООРДИНАТЫ   НА   ПРЯМОЙ. ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ ЧИСЛА.   МОДУЛЬ ЧИСЛА.

1.

       В(-5);     А(2);   С(3,4) – координаты  точек

  2.   противоположные числа:  2 и-2;  5 и-5;    -135 и 135;   -2,3 и 2,3

  3.      а    - модуль числа   а     

   │а│   = а, если а ≥ 0      →     │9│  = 9;     │138│   = 138;    │0│  = 0      

   │а│   = -а, если  а ≤ 0   →    │-5│   = 5;       │-18│  =  18

Модуль числа  не может быть отрицательным!

СРАВНЕНИЕ ЧИСЕЛ

1. Из двух чисел всегда больше то, которое расположено на числовой прямой правее:

   21 › -40;  18 › 11;  -2 › -2339.

2.  Любое положительное число всегда    больше

отрицательного:   0,12 › -743;   1 › -5

3. Любое положительное число больше нуля, а любое отрицательное меньше нуля:    25 › 0;  0 ‹ 987;  0 › -45;  -2,47 ‹ 0
4.  Из двух отрицательных чисел больше то, у которого      модуль меньше:

-287 ‹ -5;    -18 › -35;     -100 ‹ -1

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

       1.   Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно    сложить их модули и в ответе поставить знак «-«:

(-5) + (-11) = -16;       -100 + (2,9) = -102,9

2.    Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из  большего модуля вычесть меньший и в ответе поставить знак слагаемого с большим модулем:

        25 + (-8) = 17        |25|  › |-8|   →   в ответе  знак  «+»

      -25 + 8 = -17;          |-25|  ›  |8|   →   в ответе знак «-«

3.    Чтобы из одного числа вычесть другое, нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому:  а) -6 – 10 = -6 + (-10) = -16;     б) 2 – (-3) = 2 + 3 = 5;    в) -1 – (-5) = -1 + 5 = 4;                                                

УМНОЖЕНИЕ  И  ДЕЛЕНИЕ  ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ  И  ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

ПРИВЕДЕНИЕ ПОДОБНЫХ СЛАГАЕМЫХ

Подобные слагаемые – это слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть:          25х и 0,4х;     8 m и 100m;     6 а и 7,11а

Чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть

• 6х – 2х + 4х = 8х        

6 – 2 + 4 = 8

• 18а + 10а – а = 27а

18 + 10 – 1 = 27

• 5а – у + 11у – 9а – 2а = -6а + 10у

  5 – 9 – 2 = -6;            -1 + 11 = 10

РАСКРЫТИЕ    СКОБОК

          Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+», нужно убрать скобки, оставив все слагаемые в скобках со своими знаками (если перед первым слагаемым в скобке знака нет, то  подразумевается «+»).

•  (-21х + 47 – 5х) = -21х + 47 – 5х = -26х + 47;
•  11а + (5у + 5х – 5а) = 11а + 5у + 5х – 5а = 6а + 5х + 5у;

     Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «-», нужно убрать скобки, поменяв знаки всех слагаемых в скобках на противоположные.

•  - (-21х + 47 – 5х) = 21х – 47 + 5х = 26х – 47;
• 11а – (5у + 5х – 5а) = 11а – 5у – 5х + 5а = 16а -5у – 5х.

РЕШЕНИЕ    УРАВНЕНИЙ

Уравнения решаются по следующему алгоритму

КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ