Материалы для проведения олимпиад по математике
учебно-методический материал (5, 6, 7, 8, 10, 11 класс)

Олимпиада по математике (школьный этап)

5 класс

1. Найдите значение выражения:

2012-2011+2010-2009+2008-…+2-1.

2. Решите ребус:

     А

 +ББ

     А

ССС

3. Разделите прямоугольник 3х4 на две равные части. Найдите как можно больше способов. Разрезать можно лишь по стороне квадрата 1х1, способы считаются разными, если получаемые фигуры не будут равными.

4. Илья Муромец, Добрыня Никитич и Алеша Попович вступили в бой с великанами. Получив по три удара богатырскими палицами, великаны обратились в бегство. Больше всего ударов нанес Илья Муромец – 7, меньше всех – Алеша Попович – 3. Сколько сего было великанов?
5. Митя, Сеня, Толя, Юра и Костя пошли на концерт и встали в очередь. Если бы Митя встал посередине очереди, то он бы оказался между Сеней и Костей, а если бы Митя встал в конец очереди, то рядом с ним мог быть Юра, но Митя встал впереди всех своих товарищей. Кто за кем стоит?

Олимпиада по математике (школьный этап)

6 класс

1. Из города Котласа в город Коряжму автомобиль ехал со скоростью 40 км/ч в течение 1 ч. Обратно автомобиль двигался уже со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля.

2. Кузнечик прыгал вдоль прямой и вернулся в исходную точку (длина прыжка 1 м). Докажите, что он сделал четное число прыжков.

3. Разрежьте прямоугольник размером 3×4 на 2 равные части. Найдите как можно больше способов. Разрезать можно лишь по стороне квадрата размером 1×1, и способы считаются разными, если полученные фигуры не будут равными при каждом способе.

4. Между 9 планетами Солнечной системы введено космическое сообщение. Ракеты летают по следующим маршрутам: Земля – Меркурий, Плутон – Венера, Земля – Плутон, Плутон – Меркурий ,Меркурий Венера, Уран – Нептун, Нептун – Сатурн, Сатурн – Юпитер, Юпитер – Марс и Марс – Уран. Можно ли добраться с Земли до Марса?

5. Коренными жителями острова являются рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Человек А говорит: «Я – лжец». Является ли он уроженцем острова рыцарей и лжецов?

6. В пакете 9 кг крупы. Как при помощи чашечных весов и одной 200 граммовой гири отвесить 2 кг крупы, если разрешается сделать только три взвешивания?

Олимпиада по математике (школьный этап)

7 класс

1. После семи стирок длина, ширина и толщина куска мыла уменьшилась вдвое. На сколько таких же стирок хватит оставшегося мыла?
2. Три брата имеют звания: капитан, старшина и сержант. Из трех утверждений: «Алексей старшина», «Владимир не старшина», «Семен не сержант» – лишь одно верное. Какое звание  имеет каждый из братьев?
3. Предприниматель продал 109 кг черники, расфасованной в 20 ящиков двух типов: по А кг и по 3 кг. Сколько было ящиков по А кг, если А не больше 50?
4. Докажите, что 1+2+22+…+22011+22012 не делится на 3.
5. Вычислите наиболее рациональным способом:

.

6. В прямоугольном треугольнике один из углов равен 300. Докажите, что отрезок перпендикуляра, проведенного к гипотенузе через ее середину до пересечения с катетом, втрое меньше большего катета.

Олимпиада по математике (школьный этап)

8 класс

1. Числитель дроби увеличили на 5, а знаменатель – на 2 (числитель и знаменатель – целые положительные числа). При этом значение дроби уменьшилось. Приведите пример, как такое могло произойти.

2. Дано трехзначное число ABB. Если перемножить его цифры, то получится двузначное число АС, а если перемножить цифры АС, то получится С. Найдите исходное число.

3. Три математика ехали в разных вагонах одного поезда. Когда поезд подъезжал к станции, математики насчитали на перроне 7, 12 и 15 скамеек. Когда поезд отъезжал, каждый из них насчитал еще несколько скамеек, причем один из них насчитал в три раза больше, чем другой. А сколько насчитал третий?

4. В треугольнике АВС (см. рисунок) CD – биссектриса угла ACB, АВ=ВС, BD=BK, BL=CL. Докажите, что BF – биссектриса угла CBE.  

5. Имеется 6 гирь: по паре зеленых, красных и белых. В каждой паре одна гиря тяжелая, а другая – легкая, причем все легкие весят одинаково и все тяжелые весят одинаково. Можно ли определить 3 тяжелые гири за два взвешивания на чашечных весах?

6. У каждого трехзначного числа нашли произведение его цифр. Получилось 900 произведений от 1*0*0 до 9*9*9 . Чему равна их сумма?  

Олимпиада по математике (школьный этап)

10 класс

1. Упростите выражение:

.

2. На сторонах АВ, ВС, СА равностороннего треугольника АВС взяты соответственно точки D, E, F так, что AD=BE=CF. Каков вид треугольника DEF? Докажите.
3. Решите ребус:

   УДАР

 +УДАР

 ДРАКА

(Одинаковыми буквами обозначают одинаковые цифры, разными – разные.)

4. Из города А в город В корабль плывет по реке одни сутки, а обратно – трое суток. За какое время можно добраться из города А в город В на плоту?
5. Какой цифрой оканчивается число 32011?
6. Решите уравнение в натуральных числах:

.

Олимпиада по математике (школьный этап)

11 класс

1. Придумайте такое нецелое число, что 15% и 33% от него – целые числа.

2. Найдите сумму: 1002–992+982–972+...+22–12.

3. Встретились несколько друзей. Каждый из них обменялся рукопожатием с каждым, кроме Федота Бурчеева, который, будучи не в духе, некоторым пожал руку, а некоторым – нет. Всего было сделано 197 рукопожатий. Сколько рукопожатий сделал Федот?

4. Докажите, что для любых x и y справедливо неравенство: sinxcosy+1≥sinx+cosy.

5. В четырехугольнике АВСD углы А и С – прямые. Из точек В и D опустили перпендикуляры на диагональ АC и получили соответственно точки M и N. Докажите, что AM=CN.

6. Существует ли одиннадцатигранник (не обязательно выпуклый), у которого каждая грань – многоугольник с четным числом сторон?