Использование алгоритмов на уроках математики при изучении темы «Производная»
статья по математике (10, 11 класс) на тему

Использование алгоритмов на уроках математики при изучении темы «Производная»

Курлович Е.П.

ГБ ПОУ  «ВПТ»

Проблема формирования умения учиться затронута  в работе А.К. Марковой «Актуальные проблемы педагогической психологии». Она отмечает, что основной недостаток в обучении состоит в том, что главная нагрузка ложится на память, а не на мыслительную деятельность. «Как отмечается в психологической литературе, ученик приступает к усвоению (решению задачи), если оно для него доступно (вероятность успеха выше вероятности неудачи) и если это для него значимо, мотивированно, имеет личностный смысл, т. е. в целом находится в сфере его «субъективной ответственности». Если одного из этих условий нет, то ученик не включается в учебный процесс и материал фактически остается ему недоступным» [1].

Каким профессионалом станет сегодняшний студент, если он не научится учиться, не научится анализировать, сопоставлять, сравнивать, обобщать, правильно читать, выбирать объект чтения. Ведущими максимально востребованными навыками в мире новых информационных технологий, уже становятся: навыки решения проблем, способность к принятию решений и ответственности за них, использование принципа системного подхода и системного анализа, технологические умения (способность оценивать и выбирать нужную технологию, для решения возникающих задач)» [1].

Занятия  студентов первого курса, начинаются входным контролем, для определения исходного качества знаний по математике. Успешно справляются с заданием только 40 % учащихся, а качество знаний составляет 5 %. Наряду с этим студенты показывают низкий уровень обучаемости, т.е. способность усваивать материал ничтожно мала. Так как в СПО преподавание математики ориентируется на практическое применение математических знаний, в возможности решения конкретных практических задач, то передо мной встала проблема повышения уровня математической подготовки учащихся, посредством использования алгоритмов.

Алгоритмическое предписание целесообразно использовать на первоначальных этапах формирования действия, так как оно даёт подробное описание последовательности операций.

1.Определение производной содержит в своей формулировке алгоритм нахождения производной данной функции. Т.е. нужно выполнить следующие 4 шага:

1. Найти новое значение функции , подставив в данную функцию вместо х новое значение аргумента х+:

yнов=f(х+)=y+

2. Определить приращение функции, вычитая данное значение функции из её нового значения:

yновy= f(х+)f(x).

3. Составить отношение приращения функции к приращению аргумента:

.

4. Перейти к пределу  при  :

y′=.

Пример на данный алгоритм:

Найти производную функции по определению,y =5x.

     1) yнов=5(x +=5x+5.

     2) yновy =(5x+5

     3)

     4) y′==

По общему правилу (по определению) производной можно найти производную постоянной, производные суммы, разности, произведения и частного и производные степенной, логарифмической и др. функций.

2. Геометрический смысл производной,впервые определён в конце XVII в. Лейбницем и состоит в следующем:

Значение производной функции  y=f(x) в точке х равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в той же точке х, т.е. k=f ′(x)=tg.

Для нахождения углового коэффициента касательной к кривой y=f(x) в точке (x0;y0), составляем алгоритм, который будем использовать в дальнейшем при решении задач.

1. Найдём производную функции y′=f ′(x);
2. Подставим в неё значение точки x0, т.е. y' (x0)=k.

3.Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции в точке с абсциссой х0.

1. Найти ординату y0,точки касания касательной и графика функции, подставив в уравнение функции значение абсциссы х0;
2. Найти производную функции в точке касания, f ′(x0)=y′(х0)=k;
3. Подставить в уравнение касательной :yy0=y′(xx0), найденные значения х0, y0,k;
4. Выразить y из этого уравнения.

4.Познакомив учащихся с уравнением нормали: yy0=(xx0), по алгоритму, составленному для касательной можно найти и уравнение нормали к кривой.

Удобно использовать алгоритмическое предписание при изучении тем, связанных с исследованием функций.

Интуитивно студенты понимают, где функция возрастает (визуально: вверх слева на право) и убывает (визуально: вниз, слева на право), выпукла вверх (гора)  или вниз (улыбка), а как связать это с производной. Разбираем новый материал и разбиваем его на шаги, что - бы не нарушить хронологию алгоритма, студент должен хорошо понять материал, в результате активной мыслительной деятельности. Пользуясь этим приемом, ученик постепенно избавляется от вредной привычки – бездумной «зубрежки».

5.Алгоритм нахождения интервалов монотонности функции f(х):

1. Вычислим производную f ′(х) данной функции.
2. Найдём точки, в которых f ′(х)равна нулю или не существует. Эти точки называют критическими для функции f(x).
3. Найденными точками, разобьём область определения функции f(x) на интервалы, на каждом из которых  производная f ′(х) сохраняет свой знак. Эти интервалы являются интервалами монотонности.
4. Исследуем знак f ′(х) на каждом из найденных интервалов.

Если на рассматриваемом интервале

f ′(х)0, то на этом интервале f(x) возрастает;

f ′(х)0, то f(x) убывает.

f ′ (x)   +                                      +

f  (x)

Естественно, что в зависимости от условия задачи алгоритм может упрощаться.

6.Алгоритм исследования функции на экстремум с помощью первой производной, составляем уже на основе предыдущего алгоритма, т.е. студент должен очень хорошо понять предыдущую тему.

1. Найти производную функции f ′(х).
2. Найти все критические точки из области определения функции.
3. Определим знак f ′(х) вблизи каждой критической точки, слева и справа от неё.
4. Если  при переходе через критическую точку производная

f ′(х) меняет знак с «+» на «-», то экстремальная точка, является точкой максимума;

f ′(х)меняет знак с «-» на «+», то экстремальная точка, является точкой минимума;

5. Вычислить значение функции f(x) в каждой экстремальной точке.

Использование алгоритмов на уроках математики позволяет учащимся использовать накопленный багаж знаний, решать поставленные задачи и контролировать свои действия. Может показаться, что алгоритмизация может привести к стандартности мышления, к подавлению творческих способностей учащихся. Но в результате этой деятельности формируются определённые навыки, что предполагает не только использование готовых алгоритмов, но самостоятельное их построение.  Естественно, алгоритмизация охватывает далеко не весь учебный процесс, а лишь те его компоненты, где она представляется целесообразной: при объяснении нового материала и для отработки предметных компетенций. В результате, составленные алгоритмы, являются опорой при решении практических задач для студентов различного уровня  подготовленности. Такой подход даёт возможность слабому ученику понять, что он может и способен учиться, следовательно повышается мотивация к обучению, повышается и эффективность учебного процесса, к чему преподаватель, в принципе и стремится.

Литература:

1. Алимов Ш.А. Алгебра и начала анализа.//Москва. «Просвещение».-2003
2. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика в задачах с решениями.//2011, Санкт-Петербург-Москва-Краснодар, «Лань».
3. Маркова А.К. Доступность учебного материала как один из факторов снижения перегрузки школьников.// Вопросы психологии.-1982.-№1.-с.76-83.