Слово учителя в преподавании математики
статья по математике на тему

Слово учителя в преподавании математики

Известно ,что слово- основное орудие в работе учителя. Однако широко распространено мнение, что поскольку в математике существует свой, особый язык формул, то роль  обычной устной или письменной речи в преподавании математики значительно скромнее, чем во многих других областях человеческого знания. Не так ли это?

Что значит «понимать математический текст» ?

Когда речь идёт о конкретных геометрических образах или об элементарных алгебраических понятиях, этот вопрос разрешается просто.

Пусть школьник слышит от учителя  или читает в учебнике следующий текст: «Длина окружности радиуса R есть предел последовательности p3, p4, p5 … , pn , … периметров правильных 3, 4, 5, …, n- угольников , вписанных в эту окружность». Если школьник знает , что обозначает  слово «предел», «последовательность» и т.д., то он понимает и смысл этого определения, и вывод формулы, и саму эту формулу С =2R.

Пусть школьник читает: «Всякое уравнение вида a+bx +c=0, где а, b и  c- некоторые числа, причём а≠0, а x- переменная , называется квадратным уравнением». Он сразу понимает, что такое квадратное уравнение.

Эти тексты или им подобные ясны потому, что здесь речь идёт о конкретных математических образах  или понятиях –«окружность», «квадратное уравнение» и т.д.

Однако дело резко меняется в связи с введением в школу общих понятий(множество , производная, вектор и т.д.), которые требуют от учащегося более высокого уровня абстрактного мышления.

Рассмотрим примеры. Пусть школьнику сказано только то, что записано ниже:

1. « Производная 𝑓’(x0) функции 𝑓 в точке x0 есть предел

Lim      ».

2. « Скалярным  произведением двух ненулевых векторов  а⃗ и b⃗ называется число ,

⃓а⃓⃓⃗b⃓⃗ ».

Понятно эти определения или нет? Как будто да. Что здесь можно не понимать? Все термины школьнику ясны,  что  такое  () и , он знает .Он может даже на основе этих формул решать задачи Например, если , то ученик найдёт, что ’=5. Если ему сказать, что ⃓а⃓⃗=3, =4, а угол между векторами  и  равен 60 ͦ, то он найдёт :

  =3 4

Обычно считается , что если школьник умеет решать задачи «на данную формулу» , то он уж наверняка её понимает . Однако в данном случае можно утверждать, что в двух последних определениях это не всегда так. Спросим школьника: «Откуда взялись эти формулы? Что они нам дают?»

Школьник сможет ответить только одно: «Не знаю .Так сказал учитель. Так записано в учебнике». Можем ли мы это назвать пониманием?

Посмотрим ,как определяет психология термин понимание : понимание –это раскрытие существенного в предметах и явлениях действительности. « Понять что–нибудь - значит выяснить причину явления, следствие , к которому оно ведёт, т.е. включить его в систему причинно- следственных связей , раскрыть происхождение  и развитие явления , ответить на вопросы: «Почему и как это произошло?», «Зачем это делается?» (Психология. Учебник для педагогических институтов. Под редакцией А.А. Смирнова и др. Отсюда вытекает, что для понимания формул  и абстрактных понятий  часто мало дать определение их понятий или указать смысл входящих   в них символов , надо дополнить их словесными разъяснениями. В преподавании это часто и делается. Так, в случае с производной обычно разъясняется, что производная определяет мгновенную скорость , ускорение, тангенс угла наклона касательной и т.д. В отношении скалярного произведения говорят, что с его помощью вычисляется работа силы на определённом пути и т.д. После этого все приведённые выше вопросы отпадают и смысл термина выясняется.

Однако разъяснение смысла новых понятий делается далеко не всегда. Так, понятие векторного произведения даже в  вузовских  учебниках редко сопровождается объяснением того , почему оно введено и в чём его значение. Чрезвычайно важное понятие группы вводится определением. Но настоящего усвоения  понятия группы у учащегося не будет без ответа на естественные вопросы : «Почему вообще надо вводить понятие группы? Почему группа определяется именно такими условиями ,а не другими?»  и т.д. В учебной литературе таких объяснений обычно не бывает.

Чрезвычайно показательным в отношении объясняющей роли слова является и следующий пример. В физике хорошо известны формулы, выражающие преобразования Лоренца. При одном и том же значении входящих в них букв Лоренц и Эйнштейн трактовали их по- разному. Лоренц понимал их в духе механики Ньютона , как указывающие на сокращение стержня  в направлении его движения, а Эйнштейн – как основу специальной теории относительности , дающую представление о различном течении времени в различных  системах координат. Итак, оба учёных пришли к одним и тем же математическим формулам из различно словесно сформулированных идей. И только значение этих словесных исходных формулировок позволяет понять и смысл самих этих формул.

Отсюда вывод:  хотя в математике и считается часто, что «формулы говорят сами за себя», однако это далеко не всегда верно. Формулы чаще молчат. И только устное или письменное слово  может заставить  их заговорить.

Надо обстоятельно объяснить, откуда мы пришла к  необходимости вывести данную формулу и для чего она служит, как мы её будем применять и т.д. При этом желательно по возможности связывать эти разъяснения не с отдельными случайными единичными приложениями, а с большими пробелами реальной действительности.

Особенно важную и трудную для учителя роль играют общие методологические  объяснения , которые в математике во многих случаях совершенно необходимы.

Так, например , чтобы сделать изучение математики сознательным, учитель должен в какие-то моменты преподавания объяснять школьнику, почему мы доказываем данные теоремы, а не какие-нибудь другие, каковы наши цели и задачи при изучении предмета .

О строгости , точности и кратности математической речи

Новые программы большое внимание уделяют характеру преподавания . Его нужно вести на более высоком уровне общности, абстрактности и строгости, что должно способствовать лучшему и более глубокому освоению  математики. Что значит- излагать строго и как сделать, чтобы строгость способствовала лучшему пониманию и усвоению математики?

Можно излагать предмет логично и строго, но он не будет понят школьником, хотя преподносится  с формальной стороны на доступном ему уровне. Такое положение легко себе представить. Действительно, строгое изложение предполагает объяснение всех логических элементов , всех деталей рассуждения и выкладок , точной учёт всех оговорок , исключительных случаев, условий  применимости и т.д.В этих условиях мысль школьника , ещё недостаточно привыкшего к такому изложению, легко может быть отвлечена всеми этими деталями в сторону от основной идеи. Ученик потеряет нить рассуждений и перестанет их понимать.

Объяснение может быть проведено не строго, часто в чем-то не логично и быть не правильно понятым. Школьник усвоить его и сможет решать на этот материал задачи. Действительно, если рассуждение отчётливо выделяет основную мысль, использует хорошие, близкие к жизни примеры , то даже явное нарушение правил логики( в виде отсутствия о различных исключительных случаях, нестрогое обобщение частых случаев и т.д.).Школьник правильно поймёт материал и научится хорошо решать задачи.

Исходя из сказанного , мы можем утверждать , что строгость и точность речи очень полезны, если они сопровождаются обстоятельными словесными объяснениями. Для понимания вывода должно быть указано , в чём идея и цель вывода, к чему мы стремимся , почему употреблено то, а не иное слово или выражение , что будет, если мы заменим это выражение другим и не оговорим такое-то исключение , и т.д. Если всё это объяснено, то строгий вывод очень полезен. Он даст возможность школьнику понять идею вывода, необходимость точного математического языка., роль каждого слова в точной математической формулировке  и научит учащегося самого рассуждать строго . Но та точка зрения , что если дана строгая формулировка , то рядовой школьник всегда её сам поймёт , а если и не поймёт , то всё равно сам научится рассуждать логично, - по меньшей мере наивна.

Часто говорят, что математику надо излагать кратко. Верно. Но эту кратность не всегда понимают правильно. Иногда считают, что «кратко» -значит уложиться в минимальное число слов. Вряд ли с этим можно всегда согласиться . Конечно, в формулировке аксиомы, теоремы или определения не должно быть ни одного слова, которое можно было бы выбросить без изменения смысла формулировки. Однако, как мы видели , сплошь и рядом необходимо объяснить смысл всех слов , входящих в эти формулировки, объяснить идею доказательства и т.д. А это делается словами. Поэтому слово «кратко» мы будем понимать так: сказать кратко- это значит сказать всё , что нужно , и не говорить ничего лишнего ( Заметим, что лишние слова не только не нужны, но и опасны: они могут отвлечь внимание школьника совсем в иную сторону  и тем усложнить понимание материала). Стоит вспомнить слова Паскаля , который говорил , что как излишне сжатое , так и излишне растянутое изложение затемняют его смысл

Но как узнать что «нужно», а что «лишнее»? В этом учителю должны помочь понимание того, как мыслить учащийся, и его собственный такт педагога. Во всяком случае школьникам надо показать истоки нового понятия  в практике и в предшествующих разделах курса, объяснить мысль, лежащую в основе вывода формулы, рассказать о её применении.

Звуковая сторона речи учителя

Остановимся ещё на одной стороне работы учителя в классе . Хотя она и является одной из важнейших , но тем не менее ей, ввиду её явной «очевидности», редко уделяется внимание в педагогической литературе.

Я имею в виду живое звучащее слово учителя на уроке, обращенное к ученикам. Именно эта звуковая сторона речи учителя играет часто решающую роль в усвоении ими  математики. Иными словами, если бы все то, что учитель говорит на уроке , мы бы записали на листке  бумаги и предъявили этот листок ученикам для чтения, то эффект этих записанных слов был бы неизмеримо ниже, чем эффект этих же слов, произнесенных учителем.

Напомним , какое огромное впечатление производит выступление артиста с чтение какого-нибудь художественного произведения по сравнением с чтением этого же произведения по книге.

Речь учителя на уроке обладает богатейшими возможностями . У него их даже больше, чем у артиста, который произносит чужой текст .Учитель всегда высказывает свою мысль .Он может выбирать любые слова для её выражения и располагать их в любом порядке .И вот наблюдение показывает, что громкость или приглушенность речи учителя , её быстрота или замедленность , все богатства её интонаций, её эмоциональная окраска обладают огромной впечатляющей силой , речь учителя решительно влияет на усвоение или запоминание учениками даже чисто математических предложений.

Мы не можем сейчас точно объяснить с психофизической стороны это воздействие звука устной речи на усвоение предмета, но несомненно одно, что никакой , даже самый лучший, учебник не может заменить живого учителя.

Какие выводы следуют отсюда?

Прежде всего отметим , чего не должен делать учитель. Он не должен подражать актёру и репетировать свою речь или жесты, готовясь к уроку. Актёр репетирует соё выступление так, как он заранее знает, что и как он должен исполнять , независимо от реакции зрительного зала. Совсем другое положение у учителя. Он знает, о чём будет говорить в классе, но почти совсем не знает в какой обстановке это будет происходить. Класс может быть спокоен  или возбуждён, он может сразу усваивать материал или нет, ученики могут по ходу объяснения задавать учителю вопросы  или молча слушать его –и всё это будет влиять на речь учителя. Поэтому заранее заготовленные фразы, жесты и мимика  могут оказаться неуместными  и только вызвать смех учеников .

Но что же может и должен сделать учитель в направлении улучшения своей речи?

Прежде всего он должен знать, как велико влияние его речи, и с вниманием относиться к ней. Он должен говорить просто, понятно и отчётливо ,не спеша. В речи учителя не должно быть никаких органических дефектов , если они устранимы. Учитель должен быть терпелив и сдержан , чтобы не раздражаться , даже отвечая на вопросы , которые ему кажутся заведомо несерьёзными .Этого может и должен достигнуть каждый учитель.

И, наконец, важнейшее. Учитель должен любить преподавание . Тогда в его речи сами собой появится и эта эмоциональная окраска , и та благожелательность, которые всегда привлекают учащихся к учителю и с большой силой влияют на успешность преподавания.