Множества и отношения
методическая разработка по математике на тему

Урок 1. Множества.  Операции над множествами и их свойства. Мощность множеств.

Теория множеств – это один из разделов дискретной математики, являющийся фундаментом построения логических схем узлов и устройств вычислительной системы.

Опр1. Под множеством будем понимать совокупность (систему) каких-либо объектов произвольной природы, обладающих некоторым общим признаком.

Множества обозначают заглавными буквами латинского, реже русского, алфавита.

Пример1:_________________________________________________

Множество задано (определено), если о всяком объекте можно сказать, принадлежит он к данному множеству или нет.

Опр2. Объекты, образующие множество, будем называть элементами множества и обозначать ______________________

Пример2: множество людей, множество целых чисел, множество столиц государств.________________________________________

Опр3:Отношение принадлежности элемента множеству: если элемент п принадлежит множеству N, это обозначается так:______________________________________________________

Пример3:

Некоторые множества имеют общепринятые обозначения:

N={1,2,3…} — множество __________________________ чисел,

Z={…,-2,-1,0,1,2,…}  -- множество ___________________ чисел,

Q – множество ____________________________ чисел (дробей)

R — множество ___________________________________ чисел.

С- множество _____________________________________ чисел

В={0,1}______________________________________________

Множества, в зависимости от числа входящих в них элементов, делятся на конечные, бесконечные и пустые.

Опр 4: Количество элементов конечного множества А называют мощностью множества и часто обозначают |А|. 

Пример 4_________________________________________________

Опр 5: Пустым множеством называется множество,  не содержащее ни одного элемента, т.е. ______________________________________________________

Опр 6: Универсальным называется множество U всех элементов, т.е._______________________________________________________

Опр 7: Множество А включается во множество В (АВ, если каждый элемент множества А является элементом множества В (говорят также, что А является подмножеством множества В). _______________________________________________________

Опр8: Подмножество  называется собственным подмножеством множества В (- строгое включение), если _________________________________________________________

Пример 5:________________________________________________-

Опр.9 Множество всех подмножеств А наз-ся _________________________________множества А: В(А) или Р(А)

Если |A|=n, то |В(А)|=2n

Опр 10: Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов: т.е.

 _______________________________________________________

Или другое опр-ние:

Опр 11: А=В тогда и только тогда, каждый элемент множества В является элементом  множеством А и наоборот,  т.е.. когда одновременно выполняется два включения

__________________________________________________________________________________________________________________

Способы задания множеств. Множества можно задать следующим образом:

1. При помощи словесного описания

Пример 6:________________________________________________

_________________________________________________________

2. Перечислением (списком) всех входящих в него объектов, (элементов множества):

Пример 7:________________________________________________

_________________________________________________________

3. Описанием  (указанием) характеристических свойств, которыми должны обладать элементы множества его характеристического свойства).

Пример 8:_______________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________

Основные  соотношения между множествами:

Опр 12: Включение (А  В). Множество А входит (включено) в множество В, или А является подмножеством В. Если всякий объект, обладающий свойством α, обладает также и свойством β, то говорят, что свойство α включает свойство β (α  β). __________________________________________________________________________________________________________________

Опр13: Объединение  (сумма).  Объединением множеств А и В называется множество ____________, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат _________________________

_________________________________________________________

Опр 14: Пересечение (произведение). Пересечением множеств А и В называется множество ________, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат ____________________________

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Опр 15:Вычитание (А\В). Разностью множеств А и В называется множество __________________ состоящее из элементов, ________________________________________________________ 

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Опр 16:Симметрической разностью множеств А и В наз-ся множество ______________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________

Опр 17:Дополнением множества А до универсального  U называется множество ___________________(). Множество U должно быть либо задано, либо очевидно из контекста.________________________________________________

_________________________________________________________

_________________________________________________________

Вывод: Для конечных множеств часто возникает необходимость подсчитывать число элементов объединения ряда множеств. Тогда: _________________________________________________

Т.е. число элементов объединения двух множеств равно сумме количеств их элементов за вычетом числа общих их элементов.

Практическое задание:

№1. Даны множества А={x | x  , x }, B={x | x mod 3 =2}, U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Найти их объединение, пересечение, разность, дополнение.

№2. Даны множества А={2,4,8,9}, B={1,2,3,4},C={2,5,9},  U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Найти:

a)        b)         c)         d)   

e)     f)       g)  

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Урок 2. Тема: Алгебра  множеств. Диаграммы  Эйлера-Венна.

Законы алгебры множеств

Так же, как операции обычной алгебры, операции над множествами выполняются по законам (табл. 1), которые доказываются на основе введенных выше определений. Особенностью алгебры множеств является закон рефлексивности (№7) (сохранения степени), благодаря которому в алгебре множеств нет числовых коэффициентов и степеней. Рассмотрим свойства операций над множествами (булевы операции):

 Законы алгебры множеств.                              (табл.1)

Пример 9: Задано универсальное множество: U={1,2,3,4,5,6,7} и множества Х={2,4,7}, Y={1,3,5} Z={2,3,5,6}. Перечислить элементы множества W=(Z /Y)X и .

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Диаграммы  Эйлера-Венна.

Множества часто задают графически с помощью диаграмм Эйлера-Венна, где всякий рассматриваемый контур соответствует одному из рассматриваемых множеств и ограничивает (символически) его элементы, а рамка, ограничивающая все элементы пространства, в верхнем правом углу имеет обозначение U.

Универсальное множество U изображается в виде прямоугольника, а произвольные множества - подмножества универсального - в виде кругов.

При этом возможны следующие случаи взаимного расположения двух множеств А и В:

1. Одно из множеств строго включается в другое __________________
2. Множества равны:_________________
3. Множества не имеют общих элементов________________________
4. Множества находятся в общем положении ____________________

      Рис.1                          рис.2                         рис.3                         рис.4.

Диаграммы Эйлера-Венна применяются для наглядного изображения множеств и их взаимного расположения.

    ____________     _____________      ____________             _______

Задача. Решить задачу, пользуясь диаграммой Эйлера-Венна.

Группа туристов из 100 человек пробыла в городе N три дня. За это время драматический театр посетили 28 туристов, оперный - 42, кукольный - 30. И в драматическом, и в оперном побывало 10 человек; в драматическом и кукольном - 8; в оперном и кукольном - 5. Вес три театра посетили три человека. Сколько туристов не были ни в одном театре?

____________________________________________

____________________________________________

____________________________________________

____________________________________________

____________________________________________

____________________________________________

Уроки 4,5. Кортежи и декартово произведение множеств. Бинарные отношения и  их свойства. Отношения эквивалентности и порядка.

Декартовым произведением Х ×Y  двух множеств Х и Y называется множество всех упорядоченных пар (х;у) таких, что .

(х;у)(y;x)

Пример1. X={1,2,4} Y={3,5,9}   ?? Х ×Y Y ×  Х

Х ×Y  =____________________________________________________

Y ×  Х =___________________________________________________

Бинарным отношением (б/о) R называется множество упорядоченных пар вида (а;b) таких, что _______________________

Т.е. задано подмножество декартова произведения Х ×X

(т.е. ) 

Пример 2: Х={1,2,3,4}. Зададим на Х следующие отношения:

1. отношение равенства _____________________________________

2. отношение предшествования _______________________________

3. отношение делимости_____________________________________

4. R={(x;y)| |y=x2},__________________________________________

5. T={(1;2),(1;3),(1;4);(2;3);(2;4);(3;4)} _________________________

6. S={(1;1);(2;4);(3;9);(4;16);(5;25)}на M={1,2,3,4,5,…25}

ОДЗ – областью допустимых значений б/о R называется множество всех первых элементов пар из  R:  _____________________________

Областью значений б/о R называется множество всех вторых элементов пар из  R:  ________________________________________

Пример 3:   ;  X={1;2;3;4;5;6;7;8;9}   R={(1;3);(3;2);(2;5);(1;1);(3;5)} Dom(R)=? Im(R)=?

__________________________________________________________

Способы задания бинарных отношений:

1.при помощи характеристического свойства 

M={1;3;5;7;9}R={(a;b)| aMM

___________________________________________________

2.списком- перечислив все его элементы.

__________________________________________________________

Существуют и более наглядные способы задания бинарного отношения: график отношения, схема отношения, граф отношения и матрица отношения.

3.График отношения изображается в ПДСК; на горизонтальной оси изображается область определения, а на вертикальной – область значений отношения; элементу отношения (x;y) соответствует точка плоскости с этими координатами.

4.Схема отношения  изображается с помощью двух вертикальных прямых, левая из которых соответствует области определения отношения, а правая – множеству значений отношения. Если элемент (x;y) принадлежит отношению R, то соответствующие точки из DR и ER соединяют прямой.

5.Граф отношения строится следующим образом: на плоскости в произвольном порядке изображаются точки – элементы множества Х. пара точек  х и y соединяются дугой (линией со стрелкой) тогда и только тогда, когда пара (х;у) принадлежит отношению R. На рисунке ниже построен граф отношения Q.

6.Матрица отношения  - это квадратная таблица, каждая строка и столбец которой соответствует некоторому элементу множества Х. на пересечении столбца и строки ставится 1, если пара (х;у) все остальные элементы заполняются нулями.

Бинарные отношения делятся на типы в зависимости от свойств, которыми они обладают.

Свойства б /о:

Пусть R – б/о на множестве Х:

1. Б/о R называется рефлексивным если: __________________

______________________________________________________

_______________________________________________________

________________________________________________________

2. Б/о R называется антирефлексивным если: _____________
   ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
3. Б/о R называется симметричным если:__________________
   ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
4. Б/о R называется антисимметричным  если:_____________
   ___________________________________________________
   ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
5. Б/о R называется транзитивным если:________________________________________________
   ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
6. Б/о R называется связным если:________________________________________________
   _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пример 4:

На множестве Х={1,2,3,4,5} заданы б/о R,T,M,P,Q.

R={(1;2);(1;1);(2;2);(3;3);(4;4);(5;5);(3;5)}

T={(1;4);(1;2);(4;5);(3;3)}

M={(1;3);(5;5);(3;1)}

P={(2;2);(2;3);(4;1);(1;2)}

Q={(2;3);(3;5);(2;5);(3;4);(1;1);(2;4)}

A=________________________________________________________B=________________________________________________________C=________________________________________________________

Определить свойства отношений.

Свойства рассмотрены в таблице:

Б/о R называется отношением эквивалентности, если оно обладает свойствами:

1_________________________________

2_________________________________

3__________________________________

Б/о R называется отношением порядка, если оно обладает свойствами:

1 ____________________________

2_____________________________

Виды порядка:

Строгий________________________________________

Нестрогий______________________________________

Линейный______________________________________

Частичный_______________________________________