Методическая разработка ЕГЭ по информатике "Задание №15. Преобразование логических выражений"
методическая разработка по информатике и икт (11 класс)

Ооржак Ангыр-Чечен Санчытовна
Опубликовано 27.04.2019 - 7:16 - Ооржак Ангыр-Чечен Санчытовна
В МБОУ СОШ №1 пгт. Каа-Хем  я работаю учителем информатики с 2002 года.
В своей работе использую индивидуально-дифференцированный и группой подходы, который позволяет мне заложить в ученике механизмы саморазвития, самореализации, адаптации, самовоспитания.
Курс информатики информационных технологий призван подготовить учащихся к самостоятельной жизни в социуме.
Поэтому моя ведущая идея как учителя предметника – создание условий для проявления познавательной активности ученика, развитие его личности и заложенного в нём трудового и творческого потенциала. Эту идею реализую через использование современных педагогических технологий и создания ситуации успеха.

Скачать:

ВложениеРазмер
Файл metodicheskaya_razrabotka._zadanie_15_ege._oorzhak_a-ch.s_konkurs_razrabotok.docx213.15 КБ

Предварительный просмотр:

Автор: Ооржак А-Ч.С,

учитель информатики

МБОУ СОШ №1 пгт Каа-Хем,

Кызылского кожууна,

Республики Тыва

МБОУ СОШ №1 п.г.т. Каа-Хем

Методическая разработка

«Задание №15. Преобразование логических выражений.

(повышенный уровень)»

Автор: Ооржак А-Ч.С,

учитель информатики

МБОУ СОШ №1 пгт Каа-Хем,

стаж работы – 23г

пгт Каа-Хем, 2023г

Методическая разработка

«Задание №15. Преобразование логических выражений.

(повышенный уровень)»

Данная методическая разработка подготовлена с учётом содержания основной образовательной программы по информатике и предназначена для учителей в помощь при организации подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ 2023 года по указанной теме.

Актуальность темы обусловлена тем, что информатика становится наиболее популярным предметом для выбора выпускниками 11-х классов в качестве дополнительного экзамена в форме ЕГЭ. Для успешной сдачи экзамена по данному предмету требуется достаточно серьёзная подготовка.

Цель: разработка и теоретическое обоснование методики подготовки учащихся к решению задания №15 «Преобразование логических выражений» в ЕГЭ по информатике.

Что нужно знать:

  • условные обозначения логических операций

  • таблицы истинности логических операций «И», «ИЛИ», «НЕ», «импликация»

Логическая операция

Представление в Питоне

Отрицание ¬

not()

Логическое умножение ∧ 

and 

Логическое сложение ∨ 

or 

Следование A ⟶ B

not(A) or B,

<=

Равносильность ≡

= =

  • операцию «импликация» можно выразить  через «ИЛИ» и «НЕ»:

A → B = ¬ A ∨ B или в других обозначениях  A → B =

  • если в выражении нет скобок, сначала выполняются все операции «НЕ», затем – «И», затем  – «ИЛИ», и самая последняя – «импликация»
  • иногда полезны формулы де Моргана[1]:

¬ (A ∧ B) = ¬ A ∨ ¬ B                

¬ (A ∨ B) = ¬ A ∧ ¬ B                

  • некоторые свойства импликации

 

Что проверяется:

Знание основных понятий и законов математической логики:

  • высказывания, логические операции, истинность высказывания.
  • умение вычислять логическое значение сложного высказывания по известным значениям элементарных высказываний.

Типовые ошибки и трудности при решении логических заданий:

  • решение может быть достаточно громоздким, это трудоемко, легко ошибиться;
  •  можно перепутать значение операций «И» и «ИЛИ», а также порядок выполнения цепочки операций;
  •  часто представляет трудность длинное запутанное условие задачи, из которого нужно выделить действительно существенную информацию и формализовать ее;
  • нужно внимательно читать условие;
  • в некоторых заданиях требуется применить знания не только  из курса информатики, но и математики;
  • нужно знать таблицы истинности логических операций и помнить правила преобразования логических выражений.

Моя система работы по теме «Основы логики».

1. Основные понятия алгебры логики, логические выражения и логические операции-3ч

2. Основные законы логики-2ч

3. Решение задач -1ч

4. Решение задания №2 (ЕГЭ) – 2ч

5. Решение задания №15 (ЕГЭ) – 4ч

6. Контрольная работа – 2ч

Итого:14ч

Задачи (ЕГЭ−2023, Информатика: задания, ответы, решения (sdamgia.ru)) :

  1.  (Неравенство, две переменные)

 Для какого наименьшего целого неотрицательного числа А выражение

(2x + 3y < A) ∨ (x ≥ y) ∨ (y > 24)

тождественно истинно, т. е. принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?

Решение:

I способ (математический)

1) Условия преобразуем в функции:

(x ≥ y)        x=y

(y > 24)      y=24

2) Строим графики для функций: x=y, y=24.

https://inf-ege.sdamgia.ru/get_file?id=69115&png=1

Условия (x ≥ y) и (y > 24) задают множество, отмеченное на рисунке закрашенной областью.

3) Чтобы исходное выражение было тождественно истинно для любых целых и неотрицательных x и y, прямая 2x + 3y = A должна проходить выше точки (23; 24). Отсюда 2x+3y=2*23+3*24=118, 118 Наименьшее целое неотрицательное А, удовлетворяющее условию задачи  — это A, равное 119.

Ответ: А=119

II способ (логический или с помощью рассуждений)

Если истинно одно из выражений (x ≥ y) или (y > 24), то выражение (2x + 3y < A) ∨ (x ≥ y) ∨ (y > 24) истинно независимо от значения А.

1) Для решения используем метод обратного хода.

Если (x ≥ y) и (y > 24) – ложно, то условия приобретают следующий вид:  (x < y) и (y ≥ 24). Следовательно, выражение 2x + 3y < A – истина.

2) Неравенство (x < y) равносильно неравенству (x ≤ y-1). Тогда

2x+3y ≤ 2(y-1) + 3y = 5y – 2 ≤ 120 – 2 = 118.

Таким образом, 118<А, значит А=119.

Ответ: А=119

III способ (с помощью Python)

for A in range(300):

    k = 0

    for x in range(300):

        for y in range(300):

            if (2 * x + 3 * y < A) or (x >= y) or (y > 24):

                k += 1

    if k == 90000:

        print(A)

        break

В первом цикле перебираем значения для A в диапазоне от 0 до 300.

Для каждого A устанавливаем счётчик k в ноль.

Затем перебираем все числа в диапазоне от 1 до 300 (включительно) для переменных x и y.

Если логическое выражение сработает при каждом значении x и y, то считается, что значение A нам подходит, и в счётчике по окончанию вложенных циклов будет значение 90000 (300 * 300 = 90000).

Наименьшее число, которое напечатает программа равно 119.

Ответ: А=119

2. (Функция ДЕЛ)

Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m».

Для какого наибольшего натурального числа А формула

ДЕЛ(120, A) ∧ (¬ДЕЛ(x, А) → (ДЕЛ(x, 18) → ¬ДЕЛ(x, 24)))

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

Решение:

I способ (по законам алгебры логики и математический)

1) Преобразуем выражение по законам алгебры логики:

ДЕЛ(120, A) ∧ (¬ДЕЛ(x, А) → (ДЕЛ(x, 18) → ¬ДЕЛ(x, 24))) = ДЕЛ(120, A) ∧ ДЕЛ(x, А) V (¬ДЕЛ(x, 18) V ¬ДЕЛ(x, 24))

        ДЕЛ(120, A) ∧ ДЕЛ(x, А)=1 (истина)

        ¬ДЕЛ(x, 18) V ¬ДЕЛ(x, 24)=0 (ложь)

2) Находим наименьшее общее кратное (НОК) x, который одновременно делится без остатка на 18 и на 24.  НОК(18,24)=72.

3) Следовательно, для х  =  72 выражение ¬ДЕЛ(x, А) должно быть ложным, то есть число 72 должно делиться на А, также на A должно делиться число 120. Наибольшим общим делителем (НОД) является число 24. НОД(72, 120)=24.

Ответ: А=24.

II способ (с помощью Python)

for A in range(100, 0, -1):

    k = 0

    for x in range(1, 1000):

        if (120 % A == 0) and ((x % A != 0) <= ((x % 18 == 0) <= (x % 24 != 0))):

            k += 1

    if k == 999:

        print(A)

        break

В первом цикле перебираем значения для A в диапазоне от 100 до 0 с шагом -1.

Для каждого A устанавливаем счётчик k в ноль.

Затем перебираем все числа в диапазоне от 1 до 1000 (включительно) для переменной x.

Если логическое выражение сработает при каждом значения x, то считается, что значение A нам подходит, и в счётчике по окончанию вложенных циклов будет значение 999 с шагом -1 (1000-1 = 999).

Наибольшее число, которое напечатает программа равно 24.

    Ответ: А=24. 

3. (Числовая прямая)

На числовой прямой даны два отрезка: P = [20, 50] и Q = [30,65]. Отрезок A таков, что формул

¬(x ∈ A) → ((x ∈ P) →¬ (x ∈ Q))

истинна при любом значении переменной x. Какова наименьшая возможная длина отрезка A?

Решение:

Способ решения: по законам алгебры логики и математический

Введем обозначения:        

(x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.

Преобразовав, получаем:

¬A → (¬P ∨ ¬Q) = A ∨ ¬P ∨ ¬Q.

    Покажем на интервале:

Условию ¬P ∨ ¬Q  =  1 удовлетворяют лучи (−∞; 30) и (50; +∞). Выражение A ∨ ¬P ∨ ¬Q =1 (истина), то выражение A истинно на отрезке [30, 50]. Следовательно, наименьшая длина отрезка А равна 50 − 30 = 20.

 Ответ: 20.

4.  (Поразрядная конъюнкция)

Обозначим через m&n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n.

Например, 14&5  =  11102&01012 = 01002 = 4.

Для какого наименьшего неотрицательного целого числа А формула

x&49 ≠ 0 → (x&41 = 0 → x&А ≠ 0)

тождественно истинна (т. е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной х)?

Решение:

I способ (по законам алгебры логики, изложенный К. Ю. Поляковым )

1) Преобразуем выражение по законам алгебры логики:

¬Х → (Y → ¬Z) = Х + (Y → ¬Z) = Х + ¬Y + ¬Z = X + ¬(YZ) = YZ → X.

Имеем импликацию Z41ZA → Z49 или Z(41 or A) → Z49.

Запишем числа 49 и 41 в двоичной системе счисления:

                    4910  =  1100012

                    4110  =  1010012

                    4910  =  1100012       

Поразрядная *

конъюнкция 4110  =  0101102

                      А    =  0100002

Переводим в десятичную систему счисления: А =  100002=24=1610

Ответ: А=16

II способ (по законам алгебры логики, изложенный Н.Г. Неуйминым)

  1. Если  х & 41 = 0, имеем

        номер бита: 5 4 3 2 1 0

                    х10 =   0 * * * * 0 

                  4110 =   1 0 1 0 0 1

             х & 41 =    0 0 0 0 0 0

это значит, что биты {5, 0} – нулевые, * может принять 0 или 1.

  1. Если х & 49 ≠ 0, имеем

        номер бита: 5 4 3 2 1 0

                    х10 =   0 1 * * * 0 

                  4910 =   1 1 0 0 0 1

             х & 49 =    0 1 0 0 0 0

это значит, что бит 4 в х =1.

Отсюда А =  100002=24=1610

Ответ: А=16

III способ (с помощью Python)

for A in range(64):

    B = True

    for x in range(64):

        if ((x&49==0) or (x&41!=0) or (x&A!=0))==0:

            B=False

    if B:

        print(A)

        break

Заметим, что можно не перебирать числа, большие 63, поскольку для записи чисел 49 и 41 хватит шести разрядов.

Программа выведет ответ 16.

Самостоятельная работа:

1.  На числовой прямой даны два отрезка: P = [17, 40] и Q = [20, 57]. Отрезок A таков, что приведённая ниже формула истинна при любом значении переменной х: ¬(x ∈ A) →(((x ∈ P) ⋀ (x ∈ Q)) → (x ∈ A))

Какова наименьшая возможная длина отрезка A?

2. Для какого наименьшего целого неотрицательного числа A выражение

(3x + 4y ≠ 70) ∨ (A > x) ∨ (A > y)  тождественно истинно при любых целых неотрицательных x и y?

3. Обозначим через m&n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n. Так, например, 14&5  =  11102&01012  =  01002  =  4.

Для какого наименьшего неотрицательного целого числа А формула

x&51 = 0 ∨ (x&41 = 0 → x&А = 0) тождественно истинна (т. е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной x)?

4. Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А формула ДЕЛ(90, A) ∧ (¬ДЕЛ(x, А) → (ДЕЛ(x, 15) → ¬ДЕЛ(x, 20)))

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

5. Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа А формула (ДЕЛ(x, 3) → ¬ДЕЛ(x, 5)) ∨ (x + A ≥ 90) тождественно истинна (т. е. принимает значение 1) при любом натуральном значении переменной x?

6. На числовой прямой даны три отрезка: P = [10, 40], Q = [5, 15] и R = [35, 50]. Какова наименьшая возможная длина промежутка A, что формула

( (x ∈ А) ∨ (x ∈ P) ) ∨ ((x ∈ Q)→ (x ∈ R)) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

Литература:

  1. ЕГЭ 2023. Информатика. Типовые экзаменационные варианты. 20 вариантов. Крылов, Чуркина
  2. ЕГЭ 2023. Информатика. 20 тренировочных вариантов экзаменационных работ для подготовки к ЕГЭ, Ушаков Денис Михайлович. АСТ: ЕГЭ-2023. Большой сборник тренировочных вариантов
  3. Информатика, 11 класс, Семакин И.Г., Хеннер Е.К., Шеина Т.Ю. (базовый уровень)
  4. Информатика, 11 класс  Поляков К.Ю., Еремин Е.А. (углубленный уровень)
  5. Информатика, 11 класс.  Н.Д.Угринович (профильный уровень)

Сайты:

  1. https://inf-ege.sdamgia.ru/
  2. https://code-enjoy.ru/
  3. https://kpolyakov.spb.ru/

[1] Огастес (Август) де Морган – шотландский  математик и логик.


По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Логические законы и правила преобразования логических выражений

Урок закрепления умений учащихся в преобразовании логических выражений, подготовка к ЕГЭ, развитие у учащихся логического мышления....

Логические законы и правила преобразования логических выражений

Презентация на тему "Логические законы и правила преобразования логических выражений", в которой даны определения логических выражений, основные законов логики....

презентация к уроку информатики 10 класс "Логические законы и правила преобразования логических выражений" (профильный уровень) по Угриновичу

Презентация к уроку информатики 10 класс "Логические законы и правила преобразования логических выражений" используется на уроках изучения нового материала (профильный уровень) по учебнику Угриновича....

Логические законы и правила преобразования логических выражений

Презентация содержит материал, который может быть использован при изучении темы «Законы логики. Преобразование логических выражений». Первые слайды содержат небольшой тест, который позволяет проконтро...

Презентация 9 класс "Логические законы и правила преобразования логических выражений"

Логические законы и правила преобразования логических выражений.Формализация логических выражений, решение и разбор примеров на применение логических законов и правил...

Методическая разработка открытого урока по теме "Преобразование тригонометрических выражений", 2015 год

Методическая разработка прошла апробацию на открытом уроке в группе  РЭС 15-1 (специальность 11.02.03 Эксплуатация оборудования радиосвязи и электрорадионавигации судов) при о...

Открытый урок по информатике на тему "Логические законы и правила преобразований логических выражений "

Соодержит презентацию, план урока, раздаточный материал для урока...