«Принципы обработки информации компьютером. Системы счисления»
методическая разработка по информатике и икт (10, 11 класс) на тему

Департамент образования и науки Приморского края

краевое государственное автономное профессиональное образовательное учреждение

 «ВЛАДИВОСТОКСКИЙ СУДОСТРОИТЕЛЬНЫЙ КОЛЛЕДЖ»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

по дисциплине «Информатика»

для студентов 1-го курса

по теме

«Принципы обработки информации компьютером. Системы счисления»

2016

Автор: преподаватель КГА ПОУ «Владивостокский судостроительный колледж»

 Ю.С. Котенко

Методические указания предназначены для проведения практических работ по дисциплине "Информатика" (для студентов первого курса всех специальностей и форм обучения). Содержит общие сведения о системах счисления, позволяет освоить: способы перевода из одной системы счисления в другую, основные приемы арифметических действий в различных системах счисления. Методические указания могут быть использованы для самостоятельной работы.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Необходимость изучения темы «Системы счисления» в курсе информатики связана с тем, что числа в памяти компьютера представлены в двоичной системе счисления, а для внешнего представления содержимого памяти, адресов памяти используют шестнадцатеричную или восьмеричную системы счисления. Данная тема является смежной темой с математикой и вносит вклад в фундаментальное математическое образование студентов.

При изучении темы «Системы счисления» рассматриваются следующие вопросы:

• позиционные и непозиционные системы счисления;
• основные понятия позиционных систем счисления: основание, алфавит;
• формы представления чисел в позиционных системах;
• перевод чисел из одной системы счисления в другую;
• особенности арифметики в позиционных системах счисления.

Целью методического указания является развитие логического (математического) мышления студентов в области информатики и расширение навыков реализации теоретических знаний в практической деятельности.

При изучении материала следует учитывать межпредметную связь с математикой, а также внутридисциплинарную связь с темами «Основы алгоритмизации и программирования», «Архитектура ЭВМ», «Кодирование информации».

В результате прохождения занятия студент должен:

• знать:

1. основные определения (система счисления, основание системы счисления, база системы);
2. примеры позиционных и непозиционных систем счисления;
3. правила перевода из одной системы счисления в другую;
4. правила выполнения арифметических операций с системами счисления

• уметь:

1. применять правила перевода из одной системы счисления в другую;
2. выполнять арифметические операции над системами счисления.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1 Системы счисления: основные понятия

Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами: мы запоминаем номера автобусов и телефонов, в магазине подсчитываем стоимость покупок, ведём свой семейный бюджет в рублях и копейках (сотых долях рубля) и т.д. Сегодня числа, цифры с нами везде. А что знал человек о числах несколько тысяч лет назад? Вопрос непростой, но очень интересный. Историки доказали, что и пять тысяч лет назад люди могли записывать числа и производить над ними арифметические действия. Конечно, принципы записи были совсем не такими, как сейчас. Однако уже тогда число изображалось с помощью одного или нескольких символов.

Эти символы, участвующие в записи числа, в математике и информатике принять называть цифрами.

Но что же мы понимаем  под словом «число»?

Первоначально понятие отвлечённого числа отсутствовало, число было «привязано» к тем конкретным предметам, которые пересчитывали. Отвлечённое понятие натурального числа появляется вместе с развитием письменности. Дробные же числа изобрели тогда, когда возникла необходимость производить измерения. Измерение, как известно, это сравнение с другой величиной того же рода, выбираемой в качестве эталона. Эталон называется ещё единицей измерения. Понятно, что единица измерения не всегда укладывалась целое число раз в измеряемой величине. Отсюда и возникла практическая потребность ввести более «мелкие» числа, чем натуральные. Дальнейшее развитие понятия числа было обусловлено уже развитием математики.

Понятие числа – фундаментальное понятие как математики, так и информатики.

Сегодня, в XXI веке, для записи чисел человечество использует в основном десятичную систему счисления. А что такое система счисления?

Система счисления – это способ записи (изображения) чисел.

Алфавит - конечный набор (множество) символов.

Различные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в настоящее время, делятся на две группы: позиционные и непозиционные.

Системы счисления, в которых каждой цифре соответствует величина, не зависящая от её места в записи числа, называются непозиционными.

Примером непозиционной системы счисления является римская система. В этой системе цифры обозначаются буквами латинского алфавита:

I= 1V= 5X= 10L= 50

C= 100D= 500M= 1000

Пример1. Записать число 444 в римской системе.

Решение: 444 = 400 + 40 + 4 = СD+XL+IV=CDXLIV

К недостаткам таких систем относятся наличие большого количества знаков и сложность выполнения арифметических операций.

Наиболее совершенными являются позиционные системы счисления, т.е. системы записи чисел, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число. Например, наша привычная десятичная система является позиционной.

Позиционные системы счисления – результат длительного исторического развития непозиционных систем счисления.

В позиционной системе счисления любое число может быть представлено в следующем виде:

,

где  Ар – само число,

р - основание системы счисления,

а – цифра данной системы счисления,

n – число разрядов.

Запись числа по формуле называется развернутой формой записи.

Пример:  Десятичное число А10=4718

А10 = 4х103+7х102+1х101+8х100

Таблица 1. Примеры позиционных систем счисления

Позиция цифры в числе называется разрядом. Для целых чисел разряды нумеруются справа налево, началом отсчета является 0.

2 Перевод чисел из одной системы в другую.

Человек привык работать в десятичной системе счисления, а ЭВМ ориентирована на двоичную систему. Поэтому общение человека с машиной было бы невозможно без создания простых алгоритмов перевода чисел из одной системы счисления в другую.

1.Преобразование целых десятичных чисел в другие системы счисления.

Метод деления:

1. 13:2=6 остаток 1

6:2=3   остаток 0        Запись ведем снизу вверх

3:2=1   остаток 1

1:2=0   остаток 1

Ответ: 1101

2. 173:8=21 остаток 5

21:8=2     остаток 5        Запись ведем снизу вверх

2:8=0       остаток 2

Ответ: 255

3. 173:16=13 остаток 10

Ответ: AD

2. Преобразование двоичных чисел в другие системы счисления.

1.В восьмеричную систему счисления

Число объединяют в группы по 3 разряда справа налево.

111  000 110  011

  7             0     6       3

2. В шестнадцатеричную систему счисления.

 Число объединяют в группы по 4 разряда справа налево.

1111 0101 1001 1100

   F        5        9        C

3 Арифметические операции в Р-ичных системах счисления

1 Сложение

Для двоичной системы счисления действуют правила сложения:

При сложении чисел в произвольной позиционной системе счисления с основанием Р в каждом разряде производится сложение цифр слагаемых и цифры, переносимой из соседнего младшего разряда, если она имеется. При этом необходимо учитывать, что если при сложении чисел получилось число большее или равное Р, то его представляют  в виде Рk+b, где k — частное, а b — остаток от деления полученного числа на основание системы счисления. Число b является количеством единиц в данном разряде, а число к — количеством единиц переноса в следующий разряд.

Для выполнения этой операции используют таблицы сложения. По вертикали и по горизонтали откладываются числа алфавита. На пересечении строки и столбца получается результат операции.

Примеры:                            

2 Умножение

Для двоичной системы счисления действуют правила умножения:

При умножении чисел в Р-ичной системе счисления каждая цифра второго множителя умножается последовательно на цифру каждого из разрядов первого множителя (так же, как и в десятичной системе счисления).

При этом необходимо учитывать, что если при сложении чисел получилось число большее или равное Р, то его представляют  в виде Рk+b, где k — частное, а b — остаток от деления полученного числа на основание системы счисления. Число b записывают в единицы данного разряда, а число k запоминают и добавляют его к результату произведения в следующем разряде.

Полученные результаты умножения складывают и отделяют количество знаков после запятой, равное сумме знаков после запятой у сомножителей.

По сути, это то же самое умножение столбиком, которое применяется в десятичной системе счисления. Единственное отличие – для проведения этой операции в P-ичной системе необходимо использовать  таблицы сложения для этой P-ичной системы счисления.

Примеры:

4 Таблицы сложения и умножения (для двоичной и восьмеричной систем счисления)

Таблица 2. Таблица сложения в двоичной системе счисления

Таблица 3. Таблица умножения в двоичной системе счисления

Таблица 4. Таблица сложения в восьмеричной системе счисления

Таблица 5. Таблица умножения в восьмеричной системе счисления

Составить таблицу умножения или сложения для любого основания можно самостоятельно. Для  этого  нужно:

1. В крайних левом вертикальном столбце и верхней горизонтальной строке  записать алфавит  (цифры записываются по возрастанию). В ячейке, основанной на пересечении i-й строчки и j-го столбца, будет записан результат операции.
2. Сосчитать  значения  i * j  или  i + j   как в обычной десятичной системе. Перевести  результат в систему счисления с исходным основанием.

   ---

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Задачи можно решать, используя перевод исходных чисел в десятичную систему счисления.

Рассмотрим решение некоторых из них.

Задача 1.

Вычислить сумму чисел X и Y, если  X=10101112,  Y=1528. Результат представить в двоичном виде.

Решение.

Поскольку результат нужно представить в двоичной системе счисления, наиболее удобно и быстро решить данную задачу путем перевода всех чисел в двоичную систему счисления.

Число X уже представлено в двоичной системе  счисления: X=10101112.  Переведем число Y из восьмеричной в двоичную систему счисления, разбив его на триады:

Получили  Y=1528=11010102.

Сложим  двоичные  числа  X и Y столбиком:

Результатом решения задачи является число  110000012.

Ответ: 110000012.

Задача 2.

Чему равна сумма чисел 528 и А916 в двоичной системе счисления?

Задачу можно решить двумя способами.

Способ 1.

Переведем исходные числа в десятичную систему счисления путем разложения по степеням:

528 = 5*81 + 2*80 = 40 + 2 = 4210,

А916 = 10*161 + 9*160 = 160 + 9 = 16910.

Находим сумму десятичных чисел: 4210 + 16910 = 21110.

Переводим полученное десятичное число в двоичную систему счисления путем деления  и выделения остатков:

21110 = 110100112.

Ответ:  110100112.

Способ 2.

Переведем исходные числа в двоичную систему счисления путем разбиения на триады и тетрады:

528 = 1010102,

А916 = 101010012.

Сложим  полученные двоичные числа столбиком:

В результате сложения получили двоичное число  110100112.

Ответ:  110100112.

Задания для выполнения самостоятельной работы

1. Перевести числа в десятичную систему счисления

2. Перевести следующие числа из десятичной системы счисления в двоичную и восьмеричную системы счисления

3. Перевести следующие числа из десятичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления

4. Перевести из восьмеричной системы счисления в двоичную систему счисления

5. Перевести из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную

6. Заданы двоичные числа X и Y. Вычислить X+Y и X*Y

7. Заданы восьмеричные числа X и Y. Вычислить X+Y,

8. Заданы шестнадцатеричные числа X и Y. Вычислить X+Y

ЛИТЕРАТУРА 

1 Основная литература:

1. Информатика и ИКТ. Профильный уровень: учебник для 10 класса / Н.Д. Угринович. – 6-е изд. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2015. – 387 с.: ил.
2. Радюк Л. Алгоритм перевода в двоичную и из двоичной системы счисления.// Наука и жизнь. 2015, №1.
3. С. Б. Гашков. Системы счисления и их применение. М.: МЦНМО, 2014. — 52 с.: ил.
4. Сидоров В.К. Системы счисления.// Наука и жизнь, 2016, №2.
5. Технология разработки элективных курсов / А.А. Зубрилин, И.С. Паркина // Информатика и образование. – 2016. – №1.

2 Дополнительная

1. Информатика. Базовый курс. Под ред. Симоновича С.В. – СПб.: Питер, 2015.
2. Безручко В.Т. Практикум по курсу «Информатика». – М.: Финансы и статистика, 2014.
3. Информатика. 10 –11 класс / Под ред. Н.В. Макаровой. – СПб.: Питер, 2014.
4. Информатика. Задачник-практикум / под ред. И.Г. Семакина, Е.К. Хеннера. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2015.
5. Ляхович В. Ф., Крамаров С. О., Шамараков И. П. Основы информатики: учебник. – Ростов н/Д, 2014.

3 Интернет-ресурсы:

1. http://ru.wikipedia.org/wiki/ - Свободная электронная энциклопедия «Википедия».
2. http://inf.e-alekseev.ru/ - Алексеев Е.Г., Богатырев С.Д. Информатика: Мультимедийный электронный учебник – Саранск: Морд.гос. ун-т, 2014.
3. http://tadviser.ru - российский интернет-портал.