Цикл уроков по теме: Алгебра логики
план-конспект урока по информатике и икт (9, 10 класс)

Тема1 : Алгебра логики.

Цель: Познакомить учащихся с разделом «Алгебра логики», её основными понятиями, в практической части научить устанавливать истинность и ложность высказываний, развивать логическое мышление..

1. Изучение нового материала. 

Алгебра логики – это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними.

     Алгебра логики возникла в середине 19 века в трудах английского математика Джорджа Буля. Её создание представляло собой попытку решать традиционные логические задачи алгебраическими методами.

(1)Логическое высказывание – это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. (2)Высказывание – это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о свойствах реальных предметов и отношений между ними. высказывание может быть истинно или ложно.

Примеры :

Предложения, для выяснения истинности или ложности которых требуются дополнительные сведения, называются высказывательными формами.

Высказывательная форма – это повествовательное предложение, которое прямо или косвенно содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием, когда все переменные замещаются своими значениями.

Зачастую трудно установить истинность высказывания, например высказывание «площадь поверхности Индийского океана равна 75 млн. км2» в одной ситуации можно посчитать ложным (указанное значение неточное и вообще постоянно меняется), а в другой истинным (если рассматривать его как некоторое приближение, приемлемое на практике).

2. Практическая часть.

1) Установите, какие из следующих предложений являются логическими высказываниями, а какие нет (объясните, почему) :

1. Солнце есть спутник Земли
2. 2+3=5
3. Сегодня отличная погода
4. В романе Л.Н Толстого «Война и мир» 3 432 536 слов
5. Санкт-Петербург расположен на Неве
6. Музыка И.С.Баха слишком сложна
7. Первая космическая скорость равна 7,8км/с
8. Железо – металл
9. Если один угол в треугольнике прямой, то треугольник будет тупоугольным
10. Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей, то он прямоугольный

2) Укажите, какие из высказываний предыдущего упражнения истинны, какие – ложны, а какие относятся к числу тех, истинность которых трудно или невозможно установить.

3) Приведите примеры истинных или ложных высказываний ( по два) из:

• Арифметики
• Физики
• Биологии
• Информатики
• Геометрии
• Жизни

Ответы:

1. а, г, д, ж, з, и, к – высказывания

б, в, е – не высказывания

     2) истинные: д, з, к

         Ложные: а, и

         Истинность трудно установить : г

         Можно рассматривать и как истинное, и как ложное в зависимости от      

         требуемой точности представления : ж.

3. Домашнее задание : п.3.1, 3.2 (Н.Угринович «Информатика 10-11»), выучить определения, записать примеры истинных и ложных высказываний из жизни (по 2 примера)

Задания:

1) Установите, какие из следующих предложений являются логическими высказываниями, а какие нет (объясните, почему) :

1.   Солнце есть спутник Земли
2.   2+3=5
3.   Сегодня отличная погода
4.   В романе Л.Н Толстого «Война и мир» 3 432 536 слов
5.   Санкт-Петербург расположен на Неве
6.   Музыка И.С.Баха слишком сложна
7.   Первая космическая скорость равна 7,8км/с
8.   Железо – металл
9.   Если один угол в треугольнике прямой, то треугольник будет тупоугольным
10.   Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей, то он прямоугольный

2) Укажите, какие из высказываний предыдущего упражнения истинны, какие – ложны, а какие относятся к числу тех, истинность которых трудно или невозможно установить.

3) Приведите примеры истинных или ложных высказываний ( по два) из:

• Арифметики
• Физики
• Биологии
• Информатики
• Геометрии
• Жизни

Тема2: Логические величины, операции, выражения.

Цель: разобрать логические операции, их применение в алгебре логики.

1. Изучение нового материала.

Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания «не», «и», «или», «если … то», «тогда и только тогда» и др. позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками.

Высказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными. Высказывания, не являющиеся составными, называются элементарными.

Пример :  «Петров - врач» (Эл.выск)

                 «Петров - шахматист» (Эл. выск)

При помощи логической связки «и» можно получить составное высказывание «Петров врач и шахматист», понимаемое как «Петров – врач, хорошо играющий в шахматы».

( аналогично рассмотреть связку «или» )

Чтобы обращаться к логическим высказываниям, им назначают имена.

Пример : А – «Тимур летом поедет на море»

                В – «Тимур летом отправится в горы»

Составное высказывание «Тимур летом побывает и на море, и в горах» кратко можно записать А и В. Здесь «и» - логическая связка; А,В – логические переменные, которые могут принимать только два значения – «истина» или «ложь», обозначаемые соответственно 1 и 0.

Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет своё название и обозначение.

Логические операции.

• Операция, выражаемая словом «не», называется отрицанием. Высказывание «не А» истинно, когда А ложно и ложно, когда А истинно. (обозначение)
• Операция, выражаемая связкой «и», называется конъюнкцией или логическим умножением. Высказывание  А и В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны. (обозначение Λ)
• Операция, выражаемая связкой «или», называется дизъюнкцией. Высказывание А или В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны. (обозначение V).
• Операция, выражаемая связками «если…то», «… влечёт…», «из…следует», называется импликацией. Высказывание «если А то В» ложно тогда и только тогда, когда А истинно, В ложно. (обозначение →)

Пример импликации : А – «данный четырехугольник - квадрат», В – «около данного четырёхугольника можно описать окружность»,  А→В : «если данный четырёхугольник – квадрат, то около него можно описать окружность». Есть 3 варианта, когда высказывание А→В истинно:

1 А истинно, В истинно : данный четырёхугольник – квадрат и около него можно описать окружность.

2 А ложно, В истинно: данный четырёхугольник не квадрат, но около него можно описать окружность.

3 А ложно, В ложно: данный четырёхугольник не квадрат и около него нельзя описать окружность.

Ложен только один вариант: А истинно, В ложно: данный четырёхугольник квадрат и около него нельзя описать окружность.

• Операция, выражаемая связками «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно», «равносильно», называется эквиваленцией или двойным отрицанием. Высказывание «А равносильно В» истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают. (обозначение  ↔)

Импликацию можно выразить : А→В =  V В

Эквиваленцию можно выразить: А ↔В = (   V В ) * ( V A)

Таким образом, операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции достаточно, чтобы описывать и обрабатывать логические высказывания.

2. Практическая часть.

1. Сформулируйте отрицания следующих высказываний и высказывательных форм:

1.  Эльбрус – высочайшая горная вершина Европы;
2. 2>=5;
3. 10 < 7
4. Все натуральные числа целые
5. Через любые три точки на плоскости можно провести окружность
6. Теннисист Кафельников не проиграл финальную игру
7. Мишень поражена первым выстрелом
8. Это утро ясное и тёплое
9. Число а делится на 2 или на 3
10. Это треугольник равнобедренный и прямоугольный
11. На контрольной работе каждый ученик писал своей ручкой

2.

3.

4.  

3. Домашнее задание : п.2.3.1,2.3.2,2.3.3 (Угринович) читать, операции выучить.

Задания:

1. Сформулируйте отрицания следующих высказываний и высказывательных форм:

1.  Эльбрус – высочайшая горная вершина Европы;
2. 2>=5;
3. 10 < 7
4. Все натуральные числа целые
5. Через любые три точки на плоскости можно провести окружность
6. Теннисист Кафельников не проиграл финальную игру
7. Мишень поражена первым выстрелом
8. Это утро ясное и тёплое
9. Число а делится на 2 или на 3
10. Это треугольник равнобедренный и прямоугольный
11. На контрольной работе каждый ученик писал своей ручкой

2.

3.

4.  

Тема3 : Конъюнкция и дизъюнкция.

Цель: рассмотреть схемы  И, ИЛИ,  закрепить их на примерах.

1. Теоретическая часть.

Математический аппарат алгебры логики очень удобен для описания того, как функционируют аппаратные средства компьютера, поскольку основной системой счисления в компьютере является двоичная, в которой используются цифры 0 и 1, а значений логических переменных тоже два : «1» и «0».

Логический элемент компьютера – это часть электронной логической схемы, которая реализует элементарную логическую функцию.

Логическими элементами компьютеров являются электронные схемы И, ИЛИ, НЕ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ и др. (называемые также вентилями), а так же триггер. С помощью этих схем можно реализовать любую логическую функцию, описывающую работу устройств компьютера. Работу логических элементов описывают с помощью таблиц истинности.

Таблица истинности – это табличное представление логической схемы (операции), в котором перечислены все возможные сочетания значений истинности входных сигналов (операндов) вместе со значением истинности выходного сигнала (результата операции) для каждого из этих сочетаний.

• Схема И реализует конъюнкцию двух или более логических значений.

• Схема ИЛИ реализует дизъюнкцию двух или более логических значений.

• Схема НЕ (инвертор) реализует операцию отрицания.

• Схема И-НЕ состоит из элемента И и инвертора и осуществляет отрицание результата схемы И.

• Схема ИЛИ-НЕ состоит из элемента ИЛИ и инвертора и осуществляет отрицание результата схемы ИЛИ.

2. Практическая часть.

Выполнить задания  2-3 из ниже предложенных:

1.

2.

3.

4.

3. Домашнее задание : выучить определения, выполнить задание 4, по желанию – задание 1.

Задания:

1.

2.

3.

4.

Тема4: Логические выражения. Основные законы алгебры логики.

Цель: научить составлять таблицы истинности для логических выражений, познакомить с основными законами алгебры логики для упрощения логических формул.

1. Актуализация знаний. Проверка домашнего задания.

Афины:  

Ответы на вопросы:

• Логические операции (определения)
• Таблицы истинности логических операций

2. Формирование знаний.

Каждое составное высказывание можно выразить в виде формулы (логического выражения), в которую входят логические переменные, обозначающие высказывания, знаки логических операций, обозначающие логические функции.

Для каждого составного высказывания можно построить таблицу истинности, которая определяет его истинность или ложность при всех возможных комбинациях исходных значений простых высказываний (логических переменных). Чтобы построить таблицу истинности, необходимо:

• Количество строк равно 2n , n – количество логических переменных + 1 строка(заголовок);
• Количество столбцов равно количество переменных + количество операций;
• Построить таблицу и внести возможные наборы значений исходных логических переменных;
• Заполнить таблицу, выполняя логические операции в необходимой последовательности.

Например: составить таблицу истинности  для формулы (А ∨ В)∙ 

Тождественно – истинная и тождественно – ложная формулы.

В алгебре логики выполняются следующие основные законы, позволяющие производить тождественные преобразования логических выражений:

___________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________

------------------------------------------------------------------------------------------------------

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

Последовательность применения :

• Правило де Моргана,
• Сочетательный закон,
• Правило операций с переменной, с её инверсией,
• Правило операций с константами.

Например, упростим формулу:

3. Практическая часть.

• Построить таблицу истинности для формулы

• Упростить формулу:

4. Домашнее задание : п.3.3,3.4,3.5 (Угринович), составить таблицу истинности.

Тема5: Импликация и эквивалентность.

Цель: выработка навыков составления таблиц истинности для логических формул.

1. Актуализация знаний.

-Письменно опрос законов (5-7мин)

-когда формула называется тождественно – истинной, а когда тождественно – ложной?

2. Составление таблиц истинности.

• Определите с помощью таблиц истинности, какие из следующих формул являются тождественно – истинными или тождественно – ложными :

1.                       5.

2.                     6.

3.                                7.

4.

• Из трёх данных высказываний A,B,C постройте составное высказывание, которое истинно, когда истинно какое-либо одно из данных высказываний, и только в этом случае.
• Из двух данных высказываний А и В постройте составное высказывание, которое было бы:

                а) истинно тогда и только тогда, когда оба данных высказы-  

                    вания ложны;

                б) ложно тогда и только тогда, когда оба данных высказыва-  

                    ния истинны.

3. Домашнее задание.

П.3.3,3.4 (Угринович) – читать, повторить законы Алгебры логики.

2. Составление таблиц истинности.

• Определите с помощью таблиц истинности, какие из следующих формул являются тождественно – истинными или тождественно – ложными :

1.                       5.

2.                     6.

3.                                7.

4.

• Из трёх данных высказываний A,B,C постройте составное высказывание, которое истинно, когда истинно какое-либо одно из данных высказываний, и только в этом случае.
• Из двух данных высказываний А и В постройте составное высказывание, которое было бы:

                а) истинно тогда и только тогда, когда оба данных высказы-  

                    вания ложны;

                б) ложно тогда и только тогда, когда оба данных высказыва-  

                    ния истинны.

3. Домашнее задание.

П.3.3,3.4 (Угринович) – читать, повторить законы Алгебры логики.

2. Составление таблиц истинности.

• Определите с помощью таблиц истинности, какие из следующих формул являются тождественно – истинными или тождественно – ложными :

1.                       5.

2.                     6.

3.                                7.

4.

• Из трёх данных высказываний A,B,C постройте составное высказывание, которое истинно, когда истинно какое-либо одно из данных высказываний, и только в этом случае.
• Из двух данных высказываний А и В постройте составное высказывание, которое было бы:

                а) истинно тогда и только тогда, когда оба данных высказы-  

                    вания ложны;

                б) ложно тогда и только тогда, когда оба данных высказыва-  

                    ния истинны.

3. Домашнее задание.

П.3.3,3.4 (Угринович) – читать, повторить законы Алгебры логики.

                            Тема 6 : Преобразование логических выражений.

Цель: выработать умение применять законы Алгебры логики для преобразования логических выражений.

Ход урока.

1. Актуализация знаний.

Просмотреть законы Алгебры логики (фронтально).

2. Формирование знаний.

Под упрощением формулы, не содержащей операции импликации и эквиваленции, понимают равносильное преобразование, приводящее к формуле, которая либо содержит по сравнению с исходной меньшее число операций конъюнкции и дизъюнкции и не содержит отрицаний неэлементарных формул, либо содержит меньшее число вхождений переменных.

Некоторые преобразования логических формул похожи на преобразования формул в обычной алгебре ( вынесение общего множителя за скобки, использование переместительного и сочетательного законов и т.п.), тогда как другие преобразования основаны на свойствах, которыми не обладают операции обычной алгебры (использование распределительного закона для конъюнкции, законов поглощения, склеивания, де Моргана и др.).

Рассмотрим на примерах некоторые приёмы и способы упрощения логических формул:

3. Упростить формулы, используя законы склеивания:

1.  а∙b∙c∨∙b∙c
2. a∙b∙c∨a∙

4. Домашнее задание: п.3.5,3.6 – читать, готовиться к контрольной работе и тестированию по теме «Знакомство с Алгеброй логики».