Программа «MathCAD»
учебно-методическое пособие по информатике и икт (11 класс) по теме

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение
гимназия №1 им. А.С. Пушкина

Учебное пособие по предмету

 Информатика и ИКТ

Программа «MathCAD»

(информационно-технологический профиль)

Составители: 

Крель Л.М., учитель информатики

Ротарь Н.С., учитель информатики

Пояснительная записка

Данное учебное пособие предназначено для учащихся 11 класса информационно-технологического профиля при изучении темы «Моделирование».

Практические занятия содержат:

• краткие теоретические сведения (по математике, информатике, и на основе разобранных примеров);
• образцы выполнения различных заданий;

В конце пособия прилагаются задания для самостоятельной работы (в 7 вариантах), которые выдаются после проработки теоретического материала и разбора заданий.

Учебное пособие предназначено для изучения MathCAD как инструмента компьютерного математического моделирования, позволяет повысить компьютерную грамотность, расширить кругозор.

Введение

Интегрированная компьютерная система MathCAD (Mathematical Computer Aided Design)– является одной из самых распространенных в мире программных сред, предназначенных для решения широкого круга математических задач. В данном пособии содержатся краткие сведения о системе MathCAD. Они предназначены для поверхностного ознакомления. MathCAD имеет мощный математический аппарат в виде библиотеки встроенных программ, реализующих множество математический алгоритмов. Система поддерживает как численные, так и аналитические операции. В ней можно работать без программирования. В MathCAD есть собственные текстовый, формульный и графический редакторы, возможность использования трехмерной графики.

При запуске программы на экране появляется окно, в котором размещены основные меню и инструменты; в ней же отображаются вводимые команды и данные для вычислений, результаты решения задач.

Панель математических инструментов Математика изображена на рисунке

Практическое занятие по теме: Примеры использования  MathCAD

Цель: Научиться выполнять в программе MathCAD простейшие арифметические вычисления, определять выражение, содержащее переменные. Ознакомиться с общими возможностями данной программы.

Задание 1. Выполнить арифметические вычисления.

Вычислим значения арифметических выражений  и .

1. Щелкните мышью по любому месту в рабочем документе – в поле появится крестик, обозначающий позицию, с которой начинается ввод.

2. Введите с клавиатуры символы в следующей последовательности 25+12/3. Введите с клавиатуры знак равенства, нажав клавишу =.

3. MathCAD вычисляет значение выражения и выводит справа от знака равенства результат.
4. Щелкните мышью справа внизу возле цифры 3 и нажмите клавишу Backspace . Теперь значение выражения не определено, место ввода помечено черной меткой и ограничено угловой рамкой.

5. Введите с клавиатуры цифру 4 и щелкните мышью вне выделяющей рамки.

6. Теперь удалим выражение с экрана. Щелкните мышью по любому месту в выражении. Нажимайте клавишу Пробел до тех пор, пока все выражение не будет выделено угловой синей рамкой. Нажмите клавишу Backspace и, нажав клавишу Del, удалите выделенное. Выражение исчезнет с экрана.

Задание 2. Определение переменной и ее значения. Вычисление значений выражений, содержащих переменные.

Вычислим значение выражения  при t = 5, a = 9.8.

1. Щелкните мышью по свободному месту в рабочем документе и введите с клавиатуры символы a : (символ :=, «присвоить» вводится с помощью сочетания клавиш <ж>).

2. Введите с клавиатуры символы 9.8 и щелкните по свободному месту вне поля ввода.

3. Щелкните мышью по свободному месту в рабочем документе и введите с клавиатуры t:

4. Щелкните по свободному месту вне поля ввода.
5. Введите с клавиатуры: a * t ^ 2 <Пробел> / 2 <Пробел> = и щелкните по свободному месту вне поля ввода (степень вводится клавишами <6>).

MathCAD читает и выполняет введенные выражения слева направо и сверху вниз, поэтому следите, чтобы выражение для вычисления располагалось правее и/или ниже определенных для него значений переменных.

Практическое занятие по теме: Определение и вычисление значения функции в точке

Цель: Научиться определять в MathCAD функции, вычислять их значения, строить таблицы значений функции и графики.

Задание 1. Построение таблицы значений функции. Определить функцию , вычислить ее значение при x = 1.2 и построить таблицу значений функции для x[0,10] с шагом 1.

1. Щелкните по свободному месту в рабочем документе, введите с клавиатуры f (x) := x + 1 <Пробел> / x ^ 2 <Пробел> +1 и затем щелкните по рабочему документу вне поля ввода.

2. Щелкните по свободному месту в рабочем документе и введите с клавиатуры f (1.2) =. Сразу после ввода знака равенства немедленно выводится вычисленное значение функции f(x) при x=1.2.

3. Определим дискретные значения аргумента x[0,10] с шагом 1: щелкнув по свободному месту в рабочем документе, введем с клавиатуры x : 0, 1 ; 10 и щелкните вне поля ввода.

4. Щелкнув по свободному месту в рабочем документе, введите с клавиатуры f( x ) = . В результате под именем функции появится таблица значений функции.

Задание 2. Построим график функции .

1. Щелкните по свободному месту в рабочем документе и введите с клавиатуры

f (x) := exp (-х^2 <Пробел>) и щелкните мышью вне поля ввода.

2. Щелкните по свободному месту в рабочем документе и введите значения аргумента
   х[-10,10] с шагом 0,1: щелкнув по свободному месту в рабочем документе, введем с клавиатуры x : -10, -9,9 .. 10 и щелкните вне поля ввода.
3. Затем щелкните по кнопке  в панели математических инструментов и в открывшейся панели щелкните по кнопке .

4. Курсор установлен в помеченной позиции возле оси абсцисс (ось х). Введите с клавиатуры имя аргумента х, затем щелкните по помеченной позиции возле оси ординат, введите с клавиатуры f (x) и щелкните вне прямоугольной рамки.

5. График получился невыразительным. Нужно определить промежуток изменения аргумента равным [-2, 2]. Для этого щелкните по полю графика, затем – по числу, задающему наименьшее значение аргумента (число в левом нижнем углу ограниченного рамкой поля графиков), нажмите на клавишу Backspace  и введите с клавиатуры –2. Аналогично измените вторую границу – вместо числа в правом нижнем углу поля графика введите 2.

6. Щелкните мышью вне поля графика.

Практическое занятие по теме: Работа с документами в MathCAD

Цель: Отработать простейшие навыки по работе с файлами в системе MathCAD.

Задание 1. Сохранение рабочего документа в файле на диске. Сохраним документ в файле с именем work1 на диске D: в папке Учащиеся\Класс\Фамилия.

1. Щелкните в меню по пункту File (Файл) и в раскрывающемся меню – по строке Save As… (Сохранить как…).

2. В открывшемся диалоговом окне установите имя диска (D:), затем найдите в списке и откройте папку Учащиеся, и аналогично откройте папку Класса (щелкните дважды по папке) откройте папку со своей фамилией.
3. Введите в окне Имя файла имя work1 и щелкните по кнопке Сохранить.

Задание 2. Открытие нового рабочего документа.

Щелкните в панели инструментов по кнопке  – в окне откроется чистое поле ввода и вывода данных, новый рабочий документ, а в верхней строке появится название, которое Mathcad присваивает автоматически новому рабочему документу – Untitled: 2.

Задание 3. Чтение рабочего документа из файла на диске.

1. Щелкните в панели инструментов по кнопке , установите в соответствующем поле ввода имя диска, выберите папку и имя файла (выбор осуществляется щелчком по соответствующей строке) и щелкните по кнопке Открыть.

Практическое занятие по теме: Решение задач элементарной математики в MathCAD

Цель: Научиться выполнять операции по упрощению выражений, раскрытию скобок, разложению на множители, решению нелинейных уравнений и их систем, расширить свои умения и навыки по работе с графиками в системе MathCAD.

        В MathCAD можно выполнить следующие символьные преобразования алгебраических выражений:

        simplify (упростить) – выполнить арифметические операции, привести подобные слагаемые, сократить дроби, использовать для упрощения основные тождества (формулы сокращенного умножения, тригонометрические тождества и т.п.);

        expand (развернуть) – раскрыть скобки, перемножить и привести подобные слагаемые;

        factor (разложить на множители) – представить, если возможно, выражение в виде произведения простых сомножителей;

        substitute (подставить) – заменить в алгебраическом выражении букву или выражение другим выражением;

        convert to partial fraction – разложить рациональную дробь на простейшие дроби.

        Если MathCAD не может выполнить требуемую операцию, то он выводит в качестве результата вычислений исходное выражение. MathCAD не всегда преобразует выражение к самому простейшему виду.

Преобразование алгебраических выражений

Задание 1. Упростите выражение

Фрагмент рабочего документа MathCAD с соответствующими вычислениями.

1. Для того чтобы ввести первый сомножитель нажмите на клавиатуре клавиши в следующей последовательности

<1> <+> <2> <3> <*> <–> <1>

2. Прежде чем вводить знак умножения и второй сомножитель, нажмите несколько раз клавишу <Пробел>; нажимайте пробел до тех пор, пока весь первый сомножитель не будет заключен в выделяющую рамку.
3. Затем введите знак умножения и второй сомножитель – нажмите на клавиатуре клавиши в следующей последовательности:

<*> <(> <1> <–> <9> <*> <–> <9> <*> <^> <2>

<Пробел>…<Пробел> (выделить 9х–9х2) <3> <*> <+> <1>

<Пробел>…<Пробел> (выделить второй сомножитель) <+> <1>.

Задание 2. Раскройте  скобки и приведите подобные слагаемые в выражении .

1. Сначала, как и в предыдущем примере введите выражение для преобразования, выделите его и щелкните по строке Expand Expression.
2. Результат (преобразованное выражение) отображается в рабочем документе под исходным выражением.

Фрагмент рабочего документа MathCAD с соответствующими вычислениями и изображением использованного меню приведен ниже.

Задание 3. Разложите на множители выражение 

.

Ниже приведен фрагмент рабочего документа MathCAD с соответствующими вычислениями.

Замечание. При вводе выражения не забывайте вводить знак умножения <*>, а после ввода показателя степени <^> нажимать клавишу <Пробел>.

Задание 4. Разложите на простейшие дроби рациональную дробь .

Ниже приведен фрагмент рабочего документа MathCAD с соответствующими вычислениями.

Замечание. Введите описанным ранее способом выражение для преобразований, выделите переменную x и щелкните по строке Convert to Partial Fraction в меню Symbolic.

Определение, построение таблиц значений и графиков функций

Задание 5. Постройте таблицу значений функции  на отрезке [0, 4π2].

Ниже приведен фрагмент рабочего документа MathCAD с соответствующими вычислениями.

1. Определите функцию . Для этого введите с клавиатуры имя функции и имя аргумента, заключенное в круглые скобки, знак присваивания (нажмите на клавиатуре клавиши +<ж>) и следом – выражение для функции.
2. Чтобы ввести знак квадратного корня, щелкните в панели калькулятора  по кнопке . Подкоренное выражение введите в позиции, указанной меткой. Знак абсолютной величины вводите аналогично, щелчком по кнопке .
3. Определите диапазон изменения индекса i  узлов сетки xi  на заданном отрезке. Для этого введите с клавиатуры: i := 0 ; 20 (при вводе с клавиатуры символа <;> в рабочем документе отображается символ, разделяющий границы диапазона <..>).
4. Определите узлы сетки , для этого введите с клавиатуры:

x [ i <Пробел> := i * 4* ^ 2 <Пробел…Пробел> / 20.

5. Определите матрицу-столбец F для хранения таблицы значений функции в узлах сетки Fi = f(xi). Для этого введите с клавиатуры:

F [ i <Пробел> +<ж> f ( x [ i <Пробел>).

6. Чтобы вывести таблицу значения функции на экран, введите с клавиатуры: F =. В рабочем документе появится таблица значений функции.
7. Щелкните по полю таблицы – в рабочем документе откроется окно для просмотра всей таблицы со стрелками прокрутки.

Задание 6. Постройте график функции .

Ниже приведен фрагмент рабочего документа MathCAD с соответствующими определениями и графиком.

1. Определите функцию f(x), как в предыдущем примере, щелкните по свободному месту в рабочем документе ниже определения функции f(x)
2. Затем щелкните по кнопке декартова графика  в панели графиков  и введите в позиции, указанной меткой возле оси абсцисс, имя аргумента х, а возле оси ординат имя функции – f(x).
3. Параметры изображения можно изменить, щелкнув дважды по полю графиков и определив параметры (вид отображения осей, толщину и цвет линии, надпись на графике). На рис. 1 изображены окна диалога с параметрами настройки графика, изображенного выше.

 Окна диалога настройки параметров декартова графика

Задание 7. Решите графически уравнение f(x)=0, f(x)=x3 + 3x2 – 2.

Фрагмент рабочего документа MathCAD с соответствующими определениями, графиками и окнами диалога приведен ниже.

1. Определите функцию f(x) и постройте ее график, действуя как в предыдущем примере.
2. Для того чтобы найти корни уравнения – абсциссы точек пересечения графика функции с осью y = 0, щелкните по строке Trace в меню X-Y Plot.
3. Затем щелкните по полю графиков и установите маркер (перекрещивающиеся пунктирные линии) в точке пересечения графика функции с осью абсцисс.
4. В окне диалога отображаются координаты маркера: значение координаты x в окне и есть искомое приближенное значение корня.

Символьное решение уравнений и систем

Задание 8. Решите уравнение

Символьное решение этого уравнения в MathCAD выглядит следующим образом.

Замечание. Введите выражение для преобразований, выделите переменную x и щелкните по строке Solve for Variable в меню Symbolic.

Задание 9. Решите систему уравнений

Фрагмент рабочего документа MathCAD с соответствующими вычислениями приведен ниже.

1. Введите с клавиатуры ключевое слово Given (дано), затем ниже ключевого слова – левую часть первого уравнения системы.
2. Далее – символьный знак равенства, с помощью комбинации клавиш + <=> и правую часть уравнения (ноль). Аналогично введите остальные два уравнения.
3. Ниже последнего уравнения системы введите имя функции Find (найти), перечислите в скобках имена переменных, значения которых нужно вычислить.

Практическое занятие по теме: Задачи линейной алгебры

Цель: Научиться работать с матрицами в MathCAD.

В задачах линейной алгебры практически всегда возникает необходимость выполнять различные операции с матрицами. Предварительно матрицу нужно определить и ввести в рабочий документ MathCAD. Для того чтобы определить матрицу, введите с клавиатуры имя матрицы и знак присваивания – нажмите на клавиатуре комбинацию клавиш + <ж>. Затем щелкните по кнопке  в панели математических инструментов, чтобы открыть панель операций с матрицами и векторами (рис. 2).

Панель операций с матрицами и векторами

Откройте щелчком по кнопке  окно диалога (рис. 3), определите число строк (Rows), число столбцов (Columns) и закройте окно диалога, щелкнув по кнопке Ok.

Окно диалога определения размеров матрицы

В рабочем документе справа от знака присваивания появится поле ввода матрицы с помеченными позициями для ввода элементов. Для того чтобы ввести элемент матрицы, установите курсор в помеченной позиции и введите с клавиатуры число или выражение. Фрагмент рабочего документа MathCAD в момент ввода элементов матрицы приведен ниже.

Большинство вычислений с матрицами, как и другие вычисления в MathCAD, можно выполнить тремя способами – с помощью панелей инструментов, выбором операции в меню или обращением к соответствующей функции.

Панель операций с матрицами и векторами открывается щелчком по кнопке  в панели математических инструментов. За кнопками панели (см. рис. 2) закреплены следующие функции:

 – определение размеров матрицы;

 – вычисление определителя матрицы вычисление длины вектора

 – определение столбца матрицы: M – j-й столбец матрицы;

 – транспонирование матрицы: M = {mij}, MT = {mji}

 – вычисление скалярного произведения векторов:

 – вычисление векторного произведения двух векторов: .

Для того чтобы выполнить какую-либо операцию с помощью панели инструментов, нужно выделить матрицу и щелкнуть в панели по соответствующей кнопке.

Меню символьных операций с матрицами (рис. 4) содержит три функции – транспонирование (Transpose), обращение матрицы (Invert) и  вычисление определителя матрицы (Determinant).

Меню символьных операций с матрицами

Если требуется произвести какую-либо операцию через меню, нужно выделить матрицу и щелкнуть в меню по строке операции.

Опишем наиболее часто используемые функции.

• matrix(m, n, f) – создает и заполняет матрицу размерности m×n, элемент которой, расположенный в i-й строке, j-м столбце, равен значению f(i, j) функции f(x, y);
• diag(v) – создает диагональную матрицу, элементы главной диагонали которой хранятся в векторе v;
• identity(n) – создает единичную матрицу порядка n;
• augment(A, B) – формирует матрицу, в первых столбцах которой содержится матрица А, а в последних – матрица В (матрицы А и В должны иметь одинаковое число строк);
• stack(A, B) – формирует матрицу, в первых строках которой содержится матрица А, а в последних – матрица В (матрицы А и В должны иметь одинаковое число столбцов);

Номер первой строки (столбца) матрицы или первой компоненты вектора хранится в MathCAD в переменной ORIGIN. По умолчанию в MathCAD координаты векторов, столбцы и строки матрицы нумеруются начиная с 0 (ORIGIN:=0). Поскольку в математической записи чаще используется нумерация с 1, здесь и в дальнейшем перед началом работы с матрицами будем определять значение переменной ORIGIN равным 1, т.е. будем прежде всего выполнять команду ORIGIN:=1.

• rows(A) – вычисление числа строк в матрице А;
• cols(A) – вычисление числа столбцов матрицы А;
• max(A) – вычисление наибольшего элемента в матрице А;
• tr(A) – вычисление следа квадратной матрицы А (след матрицы равен сумме ее диагональных элементов);
• lsolve(A, b) – решение системы линейных алгебраических уравнений Ax = b.

Вычисления с использованием описанных функций выполняются стандартным для MathCAD способом. Чтобы обратиться к функции, введите с клавиатуры имя функции, перечислите в скобках ее аргументы, введите знак равенства и щелкните по свободному месту в рабочем документе вне выделяющей рамки. Результат вычислений в соответствующем виде будет отображен в рабочем документе справа от знака равенства.

Имя функции можно вставить из списка: щелкните по месту вставки, затем – по строке Choose Function в меню Math, выберите в окне списка стрелками прокрутки нужную функцию и подтвердите выбор щелчком по кнопке Ok в окне диалога (рис. 5)

 Меню и окно диалога выбора функции

Действия с матрицами

Задание 1. Основные матричные операции.

По определению, чтобы умножить матрицу на число, нужно умножить на это число все элементы матрицы.

Суммой двух матриц одинаковой размерности называется матрица той же размерности, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов слагаемых.

Операция умножения матрицы на матрицу определяется следующим образом. Пусть заданы две матрицы А и В, причем число столбцов первой из них равно числу строк второй. Если

,  ,

то  произведением матриц А и В называется матрица

,

элементы которой вычисляются по формуле

cij = ai1b1j + ai2b2j + … + ainbnj,  i = 1,…, m,  j = 1,..., k.

где  – определитель квадратной матрицы порядка n–1, полученной из матрицы А вычеркиванием первой строки и j-го столбца.

Из приведенного определения легко получить простое выражение определителя квадратной матрицы второго порядка:

Символьное вычисление определителя матрицы второго порядка:

Числовой пример:

Матричная форма записи линейных систем.

Решение матричных систем

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных x1, x2, …, xn:

Эта система в «свернутом» виде может быть записана в виде

В соответствии с правилом умножения матриц  рассмотренная система линейных уравнений может быть записана в матричном виде Ax = b, где

Если матрица системы невырождена (матрица, определитель которой отличен от нуля), то у нее существует обратная матрица и тогда решение системы легко получить, умножив обе части уравнения Ax = b слева на матрицу А-1:

A-1(Ax) = A-1b, а поскольку A-1A = E и Ex = x, то x = A-1b.

Задание 4. Решение системы трех линейных уравнений относительно трех неизвестных.

Приложение

Задания для самостоятельной работы

Задание 1. Вычислить значение выражения

2.  0,7835        

Задание 2. Вычислить значение функции в заданной точке, построить график функции.

1.  при x = 0,128

2.  при x = 0,56

3.  при x = 1

4.  при x = 1,3

Задание 3. Решение задач элементарной математики в MathCAD.

1. Упростите выражение
2. Раскройте  скобки и приведите подобные слагаемые в выражении
3. Разложите на множители выражение

4. Решите графически уравнение

Задание 4. Действия с матрицами.

1. Вычислите определитель:
2. Решите систему трех линейных уравнений:

Литература

1. Информационные системы и модели. Элективный курс: Учебное пособие/ И.Г. Семакин, Е.К. Хеннер.  – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005.
2. Информационные системы и модели. Элективный курс: Практикум/ И.Г. Семакин, Е.К. Хеннер.  – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006.
3. Mathcad 13: Самоучитель. Кирьянов Д.В. – СПБ; БВХ-Петербург, 2006.
4. Mathcad 13. Серия: На примерах. Васильев А.Н. – СПБ: БВХ-Петербург, 2006
5. Алгебра и начала анализа 10-11. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М, Дудницын Ю.П. и др. - М.: Просвещение, 1991.