Биологические модели развития популяций
методическая разработка по информатике и икт (11 класс) по теме

«Биологические модели развития популяций»

Из истории вопроса

В последнее время во всём мире возрос интерес к экологическим проблемам. Экология, как наука, использует самые разнообразные методы для решения этих проблем, в том числе и математический. Историю применения математики в экологии справедливо принято исчислять с выхода в свет книги Томаса Мальтуса «Опыт о законе народонаселения» в 1798 году. В ней впервые чётко сформулировано преставление о том, что численность населения (английское слово population породило современный русский термин «популяция»), которому предоставлена возможность неограниченно размножаться, растёт во времени в геометрической прогрессии.

Следующий шаг был связан с введением модели популяции, рост численности которой не беспределен и ограничен некоторым необходимым ей ресурсом. Такая модель достаточно хорошо описывала динамику многих природных популяций и была предложена П. Ф. Ферхюльстом   в 1838 году (в работе «Notice sur la lei qua la population suit dans son accroissement») и позднее получила название «логистической»:

Упомянутые выше работы были призваны описывать динамику отдельно взятой популяции, в первую очередь человеческого населения. Первые собственно математико-экологические работы, ставящие целью описание численности взаимодействующих между собой популяций, появились лишь в 20-х годах двадцатого столетия.

Самым важным результатом этих работ следует считать то, что в них было показано, как на основании биологически правдоподобных и допускающих экспериментальную проверку предположений о механизмах внутри- и межпопуляционных взаимодействий можно чисто математическими методами вывести  некоторые заключения о характере динамики системы. Наиболее известным заключение такого рода явился вывод о возможности колебаний численности в системе двух популяций, взаимодействующих по принципу хищник- жертва. Этот вывод стал очевидным после того, как независимо друг от друга австрийский биофизик Альфред Лотка  в своей работе «Элементы физической биологии» (1925) и итальянский математик Вито Вольтера, опубликовавший в 1926 году «Математическую теорию борьбы за существование», обосновали систему уравнений, описывающую взаимоотношения в системе хищник- жертва. В дальнейшем, Г. Ф. Гаузе была проведена экспериментальная проверка результатов, полученных А. Лотка и В. Вольтерра, которая и подтвердила правильность этих результатов.

Далее, к концу 30-х годов 20 века в развитии математической экологии наступила продолжительная пауза. Начало нового интенсивного этапа в данном направлении приходится на 60-е годы 20 века и связано с двумя обстоятельствами. Во- первых, катастрофические последствия воздействия человека на природу сделали задачу прогнозирования таких последствий весьма актуальной. Во- вторых, бурное развитие вычислительной техники и успехи её применения в решении различных задач породил естественные надежды на её применение и в экологической проблематике.

Описание  модели  «хищник-жертва»   (модель 1)

Одним из важных этапов решения задач экологии является разработка математических моделей экологических систем.

Рассмотрим биологическое сообщество, которое состоит из нескольких популяций биологических видов, живущих в общей среде, и построим модель двувидовой борьбы в популяциях. Напомним, что широко распространённым взаимодействием  между представителями различных видов является использование одними живыми организмами («хищниками») других организмов («жертв») в качестве пищи. При этом, «соперничество» жертвы с хищником выражается в изменении численности жертвы, которая в свою очередь сказывается на численности хищника.

Отметим, что  дальнейшее описание взаимоотношений между двумя видами биологических популяций (жертвами и хищниками) будет основано на следующих предположениях:

1. численности популяций жертв и хищников зависят только от времени и не зависят от пространственного распределения популяции на занимаемой территории;
2. естественная смертность жертв не учитываются;
3. скорость роста численности жертв уменьшается пропорционально численности хищников, а темп роста хищников увеличивается пропорционально численности жертв;
4. эффект «насыщения» у хищника не наступает, т. е. хищник всегда голоден.

Итак, содержательная постановка задачи заключается в следующем. Пусть на одной и той же территории проживают два различных вида биологических популяций с численностями  и Ci, где Ni- численность жертв и Ci- численность хищников  в момент времени i. Предположим, что единственным фактором, ограничивающим размножение жертв, является давление на них со стороны хищников, а размножение хищников ограничивается количеством добытой ими пищи (количеством жертв). Тогда, в отсутствие хищников численность жертв Ni растёт с коэффициентом прироста r, т.е. Ni+1=Ni +rNi, Ni-  количество жертв в момент времени i, r>0. Наличие хищника, разумеется, меняет вид этого уравнения, так как если численность хищника Ci , то, кроме естественного прироста, следует учесть убыль численности жертв в силу истребления жертв хищником. Эту убыль следует считать пропорциональной числу встреч между особями обоих видов, и она может быть выражена числом aNiCi , где a>0- коэффициент пропорциональности, характеризующий вымирание жертв вследствие их встречи с хищником, Ni- численность жертв в момент времени i и Ci- численность хищников в момент времени i.  Поэтому, считая, что численность жертв изменяется благодаря рождаемости (которая пропорциональна общей численности жертв с коэффициентом прироста равным r) и смертности, получим:

 Ni+1=Ni +rNi - aNiCi

Рассуждая аналогично, имеем: численность хищников Ci в отсутствие жертв убывает с некоторым естественным коэффициентом смертности q , т.е. Сi+1=Сi- qCi , где Ci- численность хищников в момент времени i, q>0. Численность хищников растёт тем быстрее, чем больше численность жертв. Это увеличение пропорционально числу встреч между особями обоих видов и выражается числом faNiCi, где f>0- коэффициент пропорциональности, характеризующий потребность в пище хищника, Ni- численность жертв в момент времени i и Ci- численность хищников в момент времени i.  Поэтому, считая, что численность хищников изменяется   благодаря встречам с жертвами и скорости вымирания (которая пропорциональна общей численности хищников с коэффициентом вымирания равным q), получим:

Сi+1=Сi  + faNiCi- qCi

Таким образом, взаимодействие хищника и жертвы можно описать с помощью  системы  уравнений:

 Ni+1=Ni +rNi - aNiCi

Сi+1=Сi  + faNiCi- qCi

Програмная реализация модели «хищник-жертва»

Данная модель была реализована на языке программирования Паскаль и в среде EXCEL. Ниже приведена программа на языке Паскаль.

program Model1;

var

T:integer;

N,C:array [0..100] of real;

i:integer;

r,a,q,f:real;

begin

writeln('введи количество дней');

readln(T);

r:=0.2;

a:=0.005;

q:=0.1;

f:=0.1;

writeln('введи количество зайцев');

readln(N[0]);

writeln(''введи количество волков');

readln(C[0]);

for i:=0 to T do

begin

N[i+1]:=N[i]+r*N[i]-a*C[i]*N[i];

C[i+1]:=C[i]+f*a*C[i]*N[i]-q*C[i];

end;

writeln (' день     заяц       волк');

for i:=0 to T do

writeln(i,'   ',N[i]:6:2,'    ',C[i]:6:2);

readln;

end.

Продемонстрируем часть  решения в среде Excel.

Результаты полученные в среде Excel и на языке Паскаль совпадают. Для большей наглядности продемонстрируем результаты полученные в Excel.

Анализ влияния параметров задачи на решение

Параметры задачи подобраны таким образом, чтобы смоделировать взаимоотношения между двумя видами биологических популяций.

Для программной реализации были использованы следующие данные

Время Т-100 дней

Коэффициент рождаемости R-0,2

Коэффициент пропорциональности, характеризующий вымирание жертв вследствие их встречи с хищником А-0,005

Коэффициент пропорциональности, характеризующий потребность в пище хищника F-0.1

Коэффициент смертности Q-0,05

Зависимость решения от величины отрезка времени

Исследуем зависимость решения от величины отрезка времени Т. Приведем результаты, полученные в Excel при следующих параметрах.

1. Т=30

2. Т=50

3. Т=100

На основе этих экспериментов можно проследить за колебаниями численностей жертв и хищников, а также сделать вывод о влиянии количества зайцев на количество волков.

Зависимость решения от начального количества хищников и жертв.

Сравним графики, полученные при численном решении задачи при Т=100

\

1. N[0]=70, C[0]=30.

2. N[0]=100, C[0]=30.

3. N[0]=150, C[0]=30.

4. N[0]=150, C[0]=50.

5. N[0]=150, C[0]=60.

Описание модели  «хищник-жертва» с учетом отлова (модель 2 )

Рассмотрим биологическое сообщество, которое состоит из нескольких популяций биологических видов, живущих в общей среде, и построим модель двувидовой борьбы в популяциях. Напомним, что широко распространённым взаимодействием  между представителями различных видов является использование одними живыми организмами («хищниками») других организмов («жертв») в качестве пищи. При этом, «соперничество» жертвы с хищником выражается в изменении численности жертвы, которая в свою очередь сказывается на численности хищника.

Отметим, что  дальнейшее описание взаимоотношений между двумя видами биологических популяций (жертвами и хищниками) будет основано на следующих предположениях:

5. численности популяций жертв и хищников зависят только от времени и не зависят от пространственного распределения популяции на занимаемой территории;
6. естественная смертность жертв не учитываются;
7. скорость роста численности жертв уменьшается пропорционально численности хищников, а темп роста хищников увеличивается пропорционально численности жертв;
8. эффект «насыщения» у хищника не наступает, т. е. хищник всегда голоден.

Итак, содержательная постановка задачи заключается в следующем. Пусть на одной и той же территории проживают два различных вида биологических популяций с численностями  и Ci, где Ni- численность жертв и Ci- численность хищников  в момент времени i. Предположим, что единственным фактором, ограничивающим размножение жертв, является давление на них со стороны хищников, а размножение хищников ограничивается количеством добытой ими пищи (количеством жертв). Тогда, в отсутствие хищников численность жертв Ni растёт с коэффициентом прироста r, т.е. Ni+1=Ni +rNi, Ni-  количество жертв в момент времени i, r>0. Наличие хищника, разумеется, меняет вид этого уравнения, так как если численность хищника Ci , то, кроме естественного прироста, следует учесть убыль численности жертв в силу истребления жертв хищником. Эту убыль следует считать пропорциональной числу встреч между особями обоих видов, и она может быть выражена числом aNiCi , где a>0- коэффициент пропорциональности, характеризующий вымирание жертв вследствие их встречи с хищником, Ni- численность жертв в момент времени i и Ci- численность хищников в момент времени i.  Поэтому, считая, что численность жертв изменяется благодаря рождаемости (которая пропорциональна общей численности жертв с коэффициентом прироста равным r) и смертности, получим:

 Ni+1=Ni +rNi - aNiCi

Рассуждая аналогично, имеем: численность хищников Ci в отсутствие жертв убывает с некоторым естественным коэффициентом смертности q , т.е. Сi+1=Сi- qCi , где Ci- численность хищников в момент времени i, q>0. Численность хищников растёт тем быстрее, чем больше численность жертв. Это увеличение пропорционально числу встреч между особями обоих видов и выражается числом faNiCi, где f>0- коэффициент пропорциональности, характеризующий потребность в пище хищника, Ni- численность жертв в момент времени i и Ci- численность хищников в момент времени i.  Поэтому, считая, что численность хищников изменяется   благодаря встречам с жертвами и скорости вымирания (которая пропорциональна общей численности хищников с коэффициентом вымирания равным q), получим:

Сi+1=Сi  + faNiCi- qCi

Введём в модели  управление за счёт отлова жертв и хищников. Пусть u1- доля отлова жертв в единицу времени, u2- доля отлова хищников в единицу времени. Предполагается, что отлов ограничен (финансовыми, техническими и др. средствами).

Тогда - численность  отлова жертв в момент времени i, - численность отлова хищников в момент времени i. Поэтому, учитывая, что отлов жертв и хищников ведёт к снижению численности обоих видов, уравнения перепишутся следующим образом:

Ni+1=Ni +rNi - aNiCi-u1Ni

Сi+1=Сi  + faNiCi- qCi-u2Ci

Программная реализация модели «хищник-жертва» с учетом отлова

Данная модель была реализована на языке программирования Паскаль и в среде EXCEL. Ниже приведена программа на языке Паскаль.

program Model2;

var

T:integer;

N,C:array [0..100] of real;

i:integer;

r,a,q,f,u1,u2:real;

begin

writeln('введи количество дней');

readln(T);

r:=0.2;

a:=0.005;

q:=0.1;

f:=0.1;

writeln('введи процент отлова зайцев');

readln(u1);

writeln('введи процент отлова волков');

readln(u2);

writeln('введи количество зайцев');

readln(N[0]);

writeln('введи количество волков');

readln(C[0]);

for i:=0 to T do

begin

N[i+1]:=N[i]+r*N[i]-a*C[i]*N[i]-u1*N[i];

C[i+1]:=C[i]+f*a*C[i]*N[i]-q*C[i]-u2*C[i];

end;

writeln (' день     заяц       волк');

for i:=0 to T do

writeln(i,'   ',N[i]:6:2,'    ',C[i]:6:2);

readln;

end.

Продемонстрируем часть  решения в среде Excel.

Результаты полученные в среде Excel и на языке Паскаль совпадают. Для большей наглядности продемонстрируем результаты полученные в Excel.

Анализ влияния параметров задачи на решение

Для программной реализации были использованы следующие данные

Время Т-100 дней

Коэффициент рождаемости R-0,2

Коэффициент пропорциональности, характеризующий вымирание жертв вследствие их встречи с хищником А-0,005

Коэффициент пропорциональности, характеризующий потребность в пище хищника F-0.1

Коэффициент смертности Q-0,05

Начальное количество зайцев N[0]=150

Начальное количество волков C[0]=50

Зависимость решения от величины отлова

Приведем результаты, полученные в Excel при следующих параметрах.

1. U1=0,05  ,   U2=0,05

2. U1=0,05  ,   U2=0,03

3. U1=0,05  ,   U2=0,07

Описание модели  «хищник-жертва» с учетом отлова (модель 3)

Содержательная постановки модели3 получена из модели 2 за счет изменения вида функций u1 и u2. Рассмотрим более подробно различие этих моделей.

В §5 были получены уравнения описывающие взаимодействия хищника и жертвы с учетом отлова.

В модели 2 мы предполагали, что функции u1 и u2 являются постоянными функциями.

В модели 3 отлов организуем  таким образом, чтобы поддержать численность жертв и хищников. Для этого представим функции u1 и u2 в виде следующих систем.

и

В этом случае уравнения полученные в §5 для модели 2 перепишутся следующим образом:

и

Программная реализация модели «хищник-жертва» с учетом отлова

Данная модель была реализована на языке программирования Паскаль и в среде EXCEL. Ниже приведена программа на языке Паскаль.

program Model3;

var

T:integer;

N,C:array [0..100] of real;

i:integer;

r,a,q,f:real;

begin

writeln('введи количество дней');

readln(T);

r:=0.2;

a:=0.005;

q:=0.1;

f:=0.1;

writeln('введи количество зайцев');

readln(N[0]);

writeln('введи количество волков');

readln(C[0]);

for i:=0 to T do

begin

if N[i]>=200 then  N[i+1]:=N[i]+r*N[i]-a*C[i]*N[i]-0,05*N[i];

if N[i]<=100 then  N[i+1]:=N[i]+r*N[i]-a*C[i]*N[i];

if (N[i]<200) and (N[i]>100 ) then

               N[i+1]:=N[i]+r*N[i]-a*C[i]*N[i]-0,03*N[i];

If C[i]>=150 then

            C[i+1]:=C[i]+f*a*C[i]*N[i]-q*C[i]-0,05*C[i];

If C[i]<=50 then

            C[i+1]:=C[i]+f*a*C[i]*N[i]-q*C[i];

If (C[i]<150) and (C[i]>50) then

            C[i+1]:=C[i]+f*a*C[i]*N[i]-q*C[i]-0,03*C[i];

end;

writeln (' день     заяц       волк');

for i:=0 to T do

writeln(i,'   ',N[i]:6:2,'    ',C[i]:6:2);

readln;

end.

Продемонстрируем часть  решения в среде Excel.

Результаты полученные в среде Excel и на языке Паскаль совпадают. Для большей наглядности продемонстрируем результаты полученные в Excel.

Анализ влияния параметров задачи на решение

Для программной реализации были использованы следующие данные

Коэффициент рождаемости R-0,2

Коэффициент пропорциональности, характеризующий вымирание жертв вследствие их встречи с хищником А-0,005

Коэффициент пропорциональности, характеризующий потребность в пище хищника F-0.1

Коэффициент смертности Q-0,05

Начальное количество зайцев N[0]=150

Начальное количество волков C[0]=50

Зависимость решения от величины отрезка времени

Исследуем зависимость решения от величины отрезка времени Т. Приведем результаты, полученные в Excel при следующих параметрах.

   и  

1. T=100

2. T=200

3. T=300

4. T=400

На основе этих экспериментов можно сделать вывод о том , что с течением времени количество зайцев и волков становится функцией близкой к постоянной.

Зависимость решения от величины отлова

Приведем результаты, полученные в Excel при следующих параметрах.

и

и

и

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящее время задачи экологии имеют  первостепенное значение, так как стала актуальной проблема контроля над численностью популяций живых организмов в сложных экологических системах. Иногда требуется восстановить популяцию животных, находящихся на грани вымирания, а бывают случаи, когда нужно сократить число некоторых вредителей и удерживать их популяцию в заданном количестве. При этом необходимо учесть, как те или иные изменения численности одной популяции отражаются на количестве особей остальных видов данной экосистемы. Подобные задачи решаемы, если проанализирована математическая модель, соответствующая требуемой ситуации.

В данной экзаменационной работе построена, решена (теоретически и численно), а также исследована модель эффективного управления предприятием по отлову животных, взаимоотношения между которыми описаны с помощью системы «хищник- жертва», то есть цель экзаменационной работы достигнута.

Итак, все результаты, полученные численно, являются наглядными, а поэтому и необходимы математические модели, которые позволяют оценить возможные последствия воздействия человека на природу и организовать его деятельность так, чтобы не допустить «экологической катастрофы».