Задания для подготовки к огэ
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (9 класс)

В1. В треугольнике ABC известно, что АВ = 14, ВС = 5, . Найдите площадь треугольника ABC.

Решение.

Площадь треугольника можно найти по формуле:

В3. В остроугольном треугольнике ABC проведена высота ВН, угол ВАС = 39°. Найдите угол АВН. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Высота BH, проведенная из прямого угла образует подобные треугольники ABH и BHC. В этих треугольниках соответствующие углы равны. В частности:

Следовательно:

В5. В треугольнике ABC угол C равен 90°, , АВ = 42. Найдите ВС.

Решение.

Катет BC можно найти по формуле:

В7. На стороне АС треугольника ABC отмечена точка D так, что AD = 6, DC = 8. Площадь треугольника ABC равна 42. Найдите площадь треугольника ABD.

Решение.

Сделаем построение, проведем высоту BH, общую для треугольников ABC и BDC (см. красная линия на рисунке ниже).

Вычислим высоту BH из площади треугольника ABC:

Подставляем числовые значения, получаем:

Тогда площадь треугольника ABD можно найти как

В9. На гипотенузу АВ прямоугольного треугольника ABC опущена высота СН, АН = 7, ВН = 28. Найдите СН.

Решение.

В соответствии со свойствами пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике для высоты CH можно записать равенство:

В11. Прямая, параллельная стороне АС треугольника ABC, пересекает стороны АВ и ВС в точках М и N соответственно, АС = 44, MN = 24. Площадь треугольника ABC равна 121. Найдите площадь треугольника MNB.

Решение.

Треугольники ABC и BMN подобны по трем углам с коэффициентом подобия AC:MN = 44:24 = 11:6. То есть, все линейные размеры большого треугольника ABC в 11/6 раз больше соответствующих размеров малого треугольника BMN. Следовательно, площадь малого треугольника MNB в   раз меньше площади большого и равна:

В13. В треугольнике ABC угол С равен 90°, ВС = 7, АС = 35. Найдите tgB.

Решение.

Тангенс угла определяется отношением противолежащего катета на прилежащий, то есть:

В 15. В треугольнике ABC угол С равен 90°, М — середина стороны АВ, АВ = 76, ВС = 46. Найдите СМ.

Решение.

Известно, что вокруг прямоугольного треугольника можно описать окружность и его гипотенуза будет лежать на диаметре этой окружности. Точка M – центр окружности, а отрезки AM=MB=MC=R – ее радиусы. Отсюда имеем, что:

CM = AB:2 = 76:2 = 38

В 17. Основания трапеции равны 8 и 18, а высота равна 5. Найдите среднюю линию этой трапеции.

Решение.

Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований:

В19. В треугольнике ABC известно, что АВ = 6, ВС = 8, АС = 4. Найдите .

Решение.

Найдем косинус угла ABC из теоремы косинусов:

откуда   

В21. В треугольнике ABC угол С равен 106°. Найдите внешний угол при вершине С. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Внешний угол можно найти как разность между развернутым углом (180°) и углом C треугольника ABC:

180° - 106° = 74°

В23. Сторона треугольника равна 29, а высота, проведённая к этой стороне, равна 12. Найдите площадь этого треугольника.

Решение.                                            

В 25. В треугольнике ABC угол А равен 45°, угол В равен 30°, ВС = 8√2 . Найдите АС.

Решение.

По теореме синусов :

Откуда

В27. Точки М и N являются серединами сторон АВ и ВС треугольника ABC соотв. Отрезки AN и СМ пересекаются в точке О, AN = 18, CM = 21. Найдите ОМ.

Решение.

Известно, что медианы любого треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

В29. В треугольнике ABC угол С равен 90°, АС = 14, АВ = 20. Найдите sin B.

Решение.

Синус угла B равен отношению противолежащего катета AC на гипотенузу AB, имеем:

В31. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС внешний угол при вершине С равен 144°. Найдите величину угла ABC.

Решение.

Так как внешний угол C=144°, то соответствующий внутренний угол ACB равен

Учитывая, что в равнобедренном треугольники углы при основании равны, то . Далее, из условия, что в любом треугольнике сумма углов 180°, получаем значение третьего угла ABC:

В33. Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 5. Найдите гипотенузу этого треугольника.

Решение.

Гипотенузу прямоугольного треугольника можно найти по теореме Пифагора:

В35.В треугольнике ABC известно, что угол BAC = 48°, AD — биссектриса. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Так как AD биссектриса угла BAC, то она делит этот угол пополам. Следовательно, угол BAD представляет собой половинку угла BAC и равен:

В35. Точки М и N являются серединами сторон АВ и ВС треугольника ABC, сторона АВ равна 73, сторона ВС равна 31, сторона АС равна 42. Найдите MN.

Решение.

Отрезок MN является средней линией треугольника ABC и параллельна основанию AC (по определению средней линии).

В 1. В треугольнике ABC известно, что АВ = 14, ВС = 5, . Найдите площадь треугольника ABC.

В3. В остроугольном треугольнике ABC проведена высота ВН, угол ВАС = 39°. Найдите угол АВН. Ответ дайте в градусах.

В5. В треугольнике ABC угол C равен 90°, ,    АВ = 42 Найдите ВС.

В7. На стороне АС треугольника ABC отмечена точка D так, что AD = 6, DC = 8. Площадь треугольника ABC равна 42. Найдите площадь треугольника ABD.

В9. На гипотенузу АВ прямоугольного треугольника ABC опущена высота СН, АН = 7, ВН = 28. Найдите СН.

В 11. Прямая, параллельная стороне АС треугольника ABC, пересекает стороны АВ и ВС в точках М и N соответственно, АС = 44, MN = 24. Площадь треугольника ABC равна 121. Найдите площадь треугольника MNB.

В13. В треугольнике ABC угол С равен 90°, ВС = 7, АС = 35. Найдите tgB.

В 15. В треугольнике ABC угол С равен 90°, М — середина стороны АВ, АВ = 76, ВС = 46. Найдите СМ.

В17. Основания трапеции равны 8 и 18, а высота равна 5. Найдите среднюю линию этой трапеции.

В 19. В треугольнике ABC известно, что АВ = 6, ВС = 8, АС = 4. Найдите .

В 21. В треугольнике ABC угол С равен 106°. Найдите внешний угол при вершине С. Ответ дайте в градусах.

В 23. Сторона треугольника равна 29, а высота, проведённая к этой стороне, равна 12. Найдите площадь этого треугольника.

В 25. В треугольнике ABC угол А равен 45°, угол В равен 30°, ВС = 8√2 . Найдите АС.

В 27. Точки М и N являются серединами сторон АВ и ВС треугольника ABC соответственно. Отрезки AN и СМ пересекаются в точке О, AN = 18, CM = 21. Найдите ОМ.

В 29. В треугольнике ABC угол С равен 90°, АС = 14, АВ = 20. Найдите sin B.

В 31. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС внешний угол при вершине С равен 144°. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

В 33. Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 5. Найдите гипотенузу этого треугольника.

В 35. В треугольнике ABC известно, что угол BAC = 48°, AD — биссектриса. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах.

В36. Точки М и N являются серединами сторон АВ и ВС треугольника ABC, сторона АВ равна 73, сторона ВС равна 31, сторона АС равна 42. Найдите MN.

Окружность

В-1,2.    Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 38°, угол CAD равен 33°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Все три угла ABC, CAD и ABD – вписанные и опираются на дуги, градусные меры которых в 2 раза больше соответствующих углов. Следовательно, градусную меру дуги AD, на которую опирается угол ABD можно найти как:

И угол

В-3,4    Площадь круга равна 69. Найдите площадь сектора этого круга, центральный угол которого равен 120°.

Решение.

Так как весь круг составляет 360°, то сектор в 120° меньше круга в      360:120 = 3 раза

Следовательно, его площадь, равна:  69:3 = 23

В-5,6

Угол А четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 33°. Найдите угол С этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Известно, что сумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180°, то есть:    

Откуда    

В -7,8   C и BD — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 53°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Угол ACB — вписанный, опирается на дугу AB, поэтому он равен половине дуги AB, то есть величина дуги AB равна 2 · 53° = 106°. Поскольку BD — диаметр, градусная мера дуги BAD равна 180°. Градусная мера дуги AD равна разности градусных мер дуг BAD и AB: 180° − 106° = 74°. Угол AOD — центральный, поэтому он равен дуге, на которую опирается, следовательно, он равен 74°.

В-9,10    Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне АВ. Радиус окружности равен 20,5. Найдите ВС, если АС = 9.

Решение.

Треугольник ABC – прямоугольный с углом C=90° (по свойству вписанного угла, опирающегося на диаметр окружности). Длина AB = 2R – диаметр окружности, то есть, AB=2∙20,5=41. Найдем катет BC из теоремы Пифагора:

В 11,12  Точка O — центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ABC = 61° и ∠OAB = 8°. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Проведём радиус OB. Рассмотрим треугольник AOB: AO = OB, следовательно, углы ∠OAB = ∠ABO = 8°. Рассмотрим треугольник BOC: BO = OC, следовательно, ∠BCO = ∠OBC = ∠ABC − ∠ABO = 61° − 8° = 53°.

В 13,14   На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что АОВ=45  Длина меньшей дуги AB равна 91. Найдите длину большей дуги.

Решение.Пусть длина большей дуги равна х  Длина дуги прямо пропорциональна её градусной мере, поэтому имеет место отношение:

Откуда

В 15,16.      Угол А трапеции ABCD с основаниями AD и ВС, вписанной в окружность, равен 77°. Найдите угол С этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Решение.Для любого четырехугольника, вписанного в окружность, соблюдается равенство:        А+С=В+Д=180    

(сумма противоположных углов 180°). Отсюда находим величину угла C: С=180-А=103

17,18     Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB = 12, BC = 6, CD = 13. Найдите AD.

Решение.

Если в четырехугольник можно вписать окружность, то сумма противолежащих сторон равна. Таким образом,

19,20.    

Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке О. Точки О и С лежат в одной полуплоскости относительно прямой АВ. Найдите угол АСВ, если угол АОВ равен 73°.

Решение.

Угол AOB является центральным, так как точка O – центр окружности, следовательно, градусная мера дуги AB равна также 167°. Угол ACB является вписанным в окружность углом и опирается на дугу AB. Известно, что величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается, то есть

21,22   Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 12, Найдите высоту этой трапеции.

Решение.

Высота трапеции показана синей линией на рисунке ниже и совпадает с диаметром вписанной окружности.

Так как h=D=2R, получаем значение высоты:

23,24   Сторона AC треугольника ABC проходит через центр описанной около него окружности. Найдите ∠C , если ∠A = 44°. Ответ дайте в градусах.

Решение. 

Угол ABC — прямой, так как он вписанный и опирается на диаметр. Следовательно, треугольник ABC — прямоугольный, а С=90-44=46

25,26      Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 37°, угол CAD равен 58°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны.

∠СВD опирается на дугу СD, на ту же дугу опирается ∠САD⇒

∠СВD=∠САD=58°.

∠АВС=∠АВD+∠CBD=37°+58°=95°

27,28 Окружность с центром в точке О описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором АВ = ВС и угол ABC = 107°. Найдите величину угла ВОС. Ответ дайте в градусах.

Решение  Сумма углов треугольника равна 180°. Треугольник АВС — равнобедренный, следовательно, ВАС=ВСА =36,5 Угол  ВАС— вписанный, поэтому он равен половине дуги, на которую опирается. Угол ВОС  — центральный, поэтому он равен величине дуги, на которую опирается. Углы ВАС иВОС  опираются на одну и ту же  дугу, следовательно, ВАС=1/2ВОС=36,5,ВОС=73.

29,30   Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 6. Найдите высоту этого треугольника.

Решение.Центр вписанной в равносторонний треугольник окружности лежит на высоте BH и делит ее в отношении 2:1, считая от вершины B.

В задании нам дана величина радиуса OH=r=6, следовательно, OB=2r=12. И вся высота BH=6+12=18.

31,32   Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке К. Другая прямая пересекает окружность в точках В и С, причём АВ = 2, АК = 4. Найдите АС.

Решение.

Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной:  откуда

33,34   Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 132°, угол CAD равен 80°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Угол CAD и угол CBD — вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, а значит, они равны 80°. Следовательно:

АВД=АВС-СВД=132-80=52

 35,36   Касательные в точках А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 82°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Сначала найдем центральный угол AOB из четырехугольника ACBO, у которого углы  (углы между касательной и радиусами окружности).

Учитывая, что сумма углов в четырехугольнике 360°, получаем четвертый угол

Теперь рассмотрим равнобедренный треугольник AOB (OA=OB=R – радиусы окружности), в котором углы . И, так как сумма всех углов в треугольнике 180°, получаем значение угла ABO:

В-1,2.    Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 38°, угол CAD равен 33°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

В-3,4    Площадь круга равна 69. Найдите площадь сектора этого круга, центральный угол которого равен 120°.

В-5,6 Угол А четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 33°. Найдите угол С этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

В -7,8   C и BD — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 53°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

В-9,10    Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне АВ. Радиус окружности равен 20,5. Найдите ВС, если АС = 9.

В 11,12  Точка O — центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ABC = 61° и ∠OAB = 8°. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах.

В 13,14   На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что АОВ=45  Длина меньшей дуги AB равна 91. Найдите длину большей дуги.

 В 15,16.      Угол А трапеции ABCD с основаниями AD и ВС, вписанной в окружность, равен 77°. Найдите угол С этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

17,18     Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB = 12, BC = 6, CD = 13. Найдите AD.

19,20.    Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке О. Точки О и С лежат в одной полуплоскости относительно прямой АВ. Найдите угол АСВ, если угол АОВ равен 73°.

21,22   Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 12, Найдите высоту этой трапеции.

23,24   Сторона AC треугольника ABC проходит через центр описанной около него окружности. Найдите ∠C , если ∠A = 44°. Ответ дайте в градусах.

25,26      Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 37°, угол CAD равен 58°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

27,28 Окружность с центром в точке О описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором АВ = ВС и угол ABC = 107°. Найдите величину угла ВОС. Ответ дайте в градусах.

29,30   Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 6. Найдите высоту этого треугольника.

.

31,32   Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке К. Другая прямая пересекает окружность в точках В и С, причём АВ = 2, АК = 4. Найдите АС.

33,34   Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 132°, угол CAD равен 80°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

 35,36   Касательные в точках А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 82°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

 В 1,2     Четырёхугольник ABCD описан около   окружности, AB = 12, BC = 6, CD = 13. Найдите AD.

Решение:  Если в четырехугольник можно вписать окружность, то сумма противолежащих сторон равна. Таким образом,      

В3,4, Радиус окружности вписанной в равносторонний треугольник равен 10 корень 3. найдите длину стороны этого треугольника:

Решение:   По свойству равностороннего треугольника радиус вписанной окружности ищем по формуле:

    Имеем:               

В 5,6  На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна 72°. Прямая BC касается окружности в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Решение. Пусть точка O  — центр окружности. Угол AOB  — центральный и равен дуге, на которую опирается. Значит, угол AOB равен 72°. Треугольник AOB  — равнобедренный. Значит,

угол OBC прямой, угол ABC равен 90° − 54°  =  36°.

В 7,8Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 80°, угол CAD равен 34°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Решение. Угол CAD и угол CBD  — вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, а значит, они равны 34°. Следовательно:

В 9,10 Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке О. Точки О и С лежат в одной полуплоскости относительно прямой АВ. Найдите угол АСВ, если угол АОВ равен 33°.

Решение: Угол AOB является центральным.Угол ACB является вписанным в и опирается на ту же дугу AB., то есть  33/2=16,5

В 11,12. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые АВ и CD пересекаются в точке K, BK = 18, DK = 9, ВС = 16. Найдите AD.

Решение:  Треугольники AKD и BKC подобные по двум углам: угол K – общий, и . Их равенство легко доказать, учитывая, что

  как смежные, а      как противоположные углы четырехугольника, вписанного в окружность. Для подобных треугольников можно записать отношение:         

В 13,14. Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 22. Найдите высоту этой трапеции.

Решение:   Высота трапеции равна диаметру вписанной в нее окружности:

  Так как радиус окружности равен R = 22, то

h = D = 2R = 2∙22 = 44

15,16 Радиус вписанной в квадрат окружности равен 7√2 . Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Решение:  Длина стороны квадрата равна диаметру вписанной окружности:

Радиус описанной окружности равен половине длины диагонали квадрата. Найдем длину диагонали квадрата по теореме Пифагора:  

Соответственно, радиус описанной окружности, равен:  28 : 2 = 14

17,18 Угол А четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 37°. Найдите угол С этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:  Сумма противоположных углов любого четырехугольника вписанного в окружность, равна 180°. Следовательно:

В19,20 Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 15. Найдите высоту этого треугольника.

Решение:   Центр вписанной в равносторонний треугольник окружности лежит на высоте BH и делит ее в отношении 2:1, считая от вершины B.

В задании нам дана величина радиуса OH=r=15, следовательно, OB=2r=30. И вся высота BH=15+30=45.

В 21,22  На окружности по разные стороны от диаметра АВ взяты точки М и N. Известно, что угол NBA = 68°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Угол NBA является вписанным углом и опирается на дугу AN, следовательно, градусная мера дуги AN равна: 2*68=136

.

Градусная мера дуги AB равна 180 градусов, так как это диаметр окружности, который делит круг в 360 градусов пополам. Тогда градусная мера дуги NB равна 180-136=44

На дугу NB опирается вписанный угол NMB, который равен половине градусной меры дуги NB=44/2

23,24 Угол А трапеции ABCD с основаниями AD и ВС, вписанной в окружность, равен 52°. Найдите угол В этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Решение:У трапеции сумма углов при разных основаниях составляет 180°, то есть:

откуда

25,26 Касательные в точках A и В к окружности с центром в точке О пересекаются под углом 88°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Решение:  Рассмотрим четырехугольник AOBC, в котором углы A и B равны по 90°, так как касательные с радиусами окружности образуют прямые углы. Третий угол C = 88° по условию задачи.

Получаем значение четвертого угла AOB, учитывая, что сумма всех углов в любом четырехугольнике равна 360°:

Рассмотрим равнобедренный треугольник AOB (AO=OB=R – радиусы окружности). Углы при основании равны, то есть:

Учитывая, что сумма углов в треугольнике 180°, получаем значение угла ABO:

27,28 . Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке К. Другая прямая пересекает окружность в точках В и С, причём АВ = 4, ВС = 12. Найдите АК.

Решение.   Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной:

откуда

29,30 Хорды АС и BD окружности пересекаются в точке Р, BP = 9, CP = 15, DP = 20. Найдите АР.

Решение: Найдем длину AP из свойства пересекающихся хорд:

откуда

В 31,32 Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 38°, угол CAD равен 33°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение:  Все три угла ABC, CAD и ABD – вписанные и опираются на дуги, градусные меры которых в 2 раза больше соответствующих углов. Следовательно, градусную меру дуги AD, на которую опирается угол ABD можно найти как:

  И угол  

35,36  Угол А четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 33°. Найдите угол С этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:  Известно, что сумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180°, то есть:

  откуда