Параллельность прямых и плоскости.
план-конспект урока по геометрии (10 класс)

Решение задач на параллельность прямых, прямой и плоскости.

Справедливость утверждений

1. Верно ли, что если две прямые параллельны плоскости, то эти прямые параллельны?

2. Верно ли, что если прямая а параллельна прямой b, а b параллельна плоскости  то a параллельна плоскости 

3. Верно ли, что если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то прямая пересечения этих плоскостей параллельна данной прямой.

4. Верно ли, что если прямая a перпендикулярна прямой b, перпендикулярной некой плоскости  то a параллельна плоскости 

Теоремы о параллельности прямой и плоскости

1. Докажите, что если точки A и B лежат в плоскости  а точка O — вне ее, то прямая, проходящая через середины отрезков OA и OB, параллельна 

2. Докажите, что если плоскость  пересекает отрезки  и  в их серединах, то отрезок  параллелен плоскости 

3. Докажите, что сечение тетраэдра  плоскостью, параллельной ребру  и проходящей через середины рёбер  и  — параллелограмм.

4. Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер   и  тетраэдра  пересекает его по параллелограмму.

5. Докажите, что если прямая и плоскость перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.

6. Докажите, что если из вершин основания тетраэдра в боковых гранях провести высоты, а затем в каждой из боковых граней основания двух лежащих в ней высот соединить прямой, то три полученные прямые параллельны одной плоскости.

Отрезок и плоскость

1. Плоскость  проходит через вершины  и  треугольника , но не совпадает с плоскостью этого треугольника. На сторонах треугольника  и  взяты соответственно точки  и  так, что отрезок  параллелен плоскости  Найдите отрезок , если  = 5, а 

2. Плоскость  проходит через вершины  и  треугольника , но не совпадает с плоскостью этого треугольника. На сторонах треугольника  и  взяты соответственно точки  и  так, что отрезок  параллелен плоскости  Найдите отрезок , если  = 9, а 

3. Плоскость  проходит через вершины  и  треугольника , но не совпадает с плоскостью этого треугольника. На сторонах треугольника  и  взяты соответственно точки  и  так, что отрезок  параллелен плоскости  Найдите отрезок , если  = 6, а 

4. Плоскость  проходит через вершины  и  треугольника , но не совпадает с плоскостью этого треугольника. На сторонах треугольника  и  взяты соответственно точки  и  так, что отрезок  параллелен плоскости  Найдите отрезок , если  = 13, а 

5. Плоскость  проходит через вершины  и  треугольника , но не совпадает с плоскостью этого треугольника. На сторонах треугольника  и  взяты соответственно точки  и  так, что отрезок  параллелен плоскости  Найдите отрезок , если  = 4, а 

6. Плоскость  проходит через вершины  и  треугольника , но не совпадает с плоскостью этого треугольника. На сторонах треугольника  и  взяты соответственно точки  и  так, что отрезок  параллелен плоскости  Найдите отрезок , если  = 7, а 

Решение

Справедливость утверждений

1. Верно ли, что если две прямые параллельны плоскости, то эти прямые параллельны?

Решение.

Нет, так как по определению две прямые параллельны, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Ответ: Нет.

2. Верно ли, что если прямая а параллельна прямой b, а b параллельна плоскости  то a параллельна плоскости 

Решение.

Ответ: Нет.

3. Верно ли, что если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то прямая пересечения этих плоскостей параллельна данной прямой.

Решение.

Да, так как по теореме, если плоскость  проходит через данную прямую a, параллельную плоскости , и пересекает эту плоскость по прямой b, то .

Ответ: Да.

4. Верно ли, что если прямая a перпендикулярна прямой b, перпендикулярной некой плоскости  то a параллельна плоскости 

Решение.

Ответ: Нет.

Теоремы о параллельности прямой и плоскости

1. Докажите, что если точки A и B лежат в плоскости  а точка O — вне ее, то прямая, проходящая через середины отрезков OA и OB, параллельна 

Решение.

Пусть C и D — середины сторон AO и OB соответственно. Тогда CD — средняя линия треугольника AOD, откуда получаем, что CD параллельно AB. По теореме прямая CD параллельна плоскости  — если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-нибудь прямой. лежащей в плоскости, то она параллельна всей плоскости.

2. Докажите, что если плоскость  пересекает отрезки  и  в их серединах, то отрезок  параллелен плоскости 

3. Докажите, что сечение тетраэдра  плоскостью, параллельной ребру  и проходящей через середины рёбер  и  — параллелограмм.

Решение.

Заметим, что G — середина DB по построению. Так как E середина AC по условию, а EF параллельна AD, то F середина DC. Получаем, что EF средняя линия треугольника ADC, EL средняя линия треугольника ABC, LG средняя линия треугольника ABD, EF средняя линия треугольника DCB. Имеем:

Так же FG || CB || EL и LG || AD || EF. Тогда AFGL — параллелограмм, так как стороны попарно равны и параллельны.

4. Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер   и  тетраэдра  пересекает его по параллелограмму.

5. Докажите, что если прямая и плоскость перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.

Решение.

Проведем прямую c, параллельную данной прямой b, которая пересечет плоскость в точке D и прямую в точке C. По теореме прямая DC перпендикулярна плоскости и прямой. Если допустить, что исходная прямая и плоскость не параллельны, то есть имеют хотя бы одну общую точку E, то получим треугольник EDC с двумя прямыми углами при C и D, что невозможно. Тогда прямая a и плоскость параллельны.

6. Докажите, что если из вершин основания тетраэдра в боковых гранях провести высоты, а затем в каждой из боковых граней основания двух лежащих в ней высот соединить прямой, то три полученные прямые параллельны одной плоскости.

Отрезок и плоскость

1. Плоскость  проходит через вершины  и  треугольника , но не совпадает с плоскостью этого треугольника. На сторонах треугольника  и  взяты соответственно точки  и  так, что отрезок  параллелен плоскости  Найдите отрезок , если  = 5, а 

Решение.

По условию задачи  и  Так как  то 

Рассмотрим  и 

Следовательно,  и  подобны по двум углам.

Из подобия имеем:

Если  то 

Подставляем имеющиеся значения:

Ответ: .

2. Плоскость  проходит через вершины  и  треугольника , но не совпадает с плоскостью этого треугольника. На сторонах треугольника  и  взяты соответственно точки  и  так, что отрезок  параллелен плоскости  Найдите отрезок , если  = 9, а 

Решение.

Ответ: .

3. Плоскость  проходит через вершины  и  треугольника , но не совпадает с плоскостью этого треугольника. На сторонах треугольника  и  взяты соответственно точки  и  так, что отрезок  параллелен плоскости  Найдите отрезок , если  = 6, а 

Решение.

По условию задачи  и  Так как  то 

Рассмотрим  и 

Следовательно,  и  подобны по двум углам.

Из подобия имеем:

Если  то 

Подставляем имеющиеся значения:

Ответ: 9.

4. Плоскость  проходит через вершины  и  треугольника , но не совпадает с плоскостью этого треугольника. На сторонах треугольника  и  взяты соответственно точки  и  так, что отрезок  параллелен плоскости  Найдите отрезок , если  = 13, а 

Решение.

Ответ: 60.

5. Плоскость  проходит через вершины  и  треугольника , но не совпадает с плоскостью этого треугольника. На сторонах треугольника  и  взяты соответственно точки  и  так, что отрезок  параллелен плоскости  Найдите отрезок , если  = 4, а 

Решение.

По условию задачи  и  Так как  то 

Рассмотрим  и 

Следовательно,  и  подобны по двум углам.

Из подобия имеем:

Подставляем имеющиеся значения:

Ответ: 10.

6. Плоскость  проходит через вершины  и  треугольника , но не совпадает с плоскостью этого треугольника. На сторонах треугольника  и  взяты соответственно точки  и  так, что отрезок  параллелен плоскости  Найдите отрезок , если  = 7, а 

Решение.

Ответ: .