8 класс. Контрольная работа 3. ДМ Зив к УМК Атанасян Л.С.
учебно-методическое пособие по геометрии (8 класс)

К–3 Вариант 1

1. В выпуклом четырехугольнике ABCD все стороны имеют разные длины. Диагонали четырехугольника пересекаются в точке О, ОС = 5 см, ОВ = 6 см, ОА = 15 см, OD = 18 см.
а) Докажите, что четырехугольник ABCD является трапецией.
б) Найдите отношение площадей треугольников AOD и ВОС.

Решение. 

а)  по двум сторонам и углу между ними:

1) ;

2) Так как   и , то  

Из подобия треугольников следует: .

Из равенства накрест лежащих углов при пересечении прямых ВС и АD секущей АС следует: . По условию все стороны четырехугольника ABCD имеют разные длины. Значит,  Так как   то ABCD -трапеция. 

б) Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

Ответ: а) доказано; б)

2. В треугольнике АВС на сторонах АВ и ВС взяты точки К и М соответственно, причем ∠KMC + ∠A = 180°.
а) Докажите, что
б) Найдите отношение АВ : ВМ, если площадь четырехугольника АКМС относится к площади треугольника ВКМ как 8:1.

Решение.

 а)  по двум углам:

1) -общий;

2) , так как .

Стороны KM и AC, BK и BC- сходственные, так как лежат против равных углов. Следовательно, .

б) Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. А так как по условию

Ответ: а) доказано; б)
3*. В трапеции ABCD на меньшем основании ВС и на боковой стороне CD взяты точки Е и К соответственно, а на отрезке АЕ отмечена точка О. Найдите отношение АВ/ВЕ, если КС = 2 см, KD = 3 см, ОК || AD, ∠OBA = ∠OBE.

Решение. Так как  Так как ∠OBA = ∠OBE, то BO-биссектриса. По свойству биссектрисы (см. решение задачи 535 с. 139):

Ответ:.

К–3 Вариант 2

1. Через точку М стороны АВ треугольника АВС проведена прямая, перпендикулярная высоте BD и пересекающая сторону ВС в точке Р; ВМ = 5 см, ВР = 8 см, ВС = 24 см.
а) Найдите АВ.
б) Найдите отношение площадей треугольников МРВ и АВС.

Решение.

а) BD⊥AC, так как BD-высота, BD⊥MP по условию, значит,

АС║МР как перпендикуляры к одной прямой.

∠ВМР = ∠ВАС как соответственные при пересечении параллельных прямых МР и АС секущей АВ, ∠В - общий для треугольников АВС и МВР, значит, ΔАВС ~ ΔMBP по двум углам.

Из подобия треугольников следует: . Из которого находим: 

б) Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

Ответ: а) ; б)

2. В выпуклом четырехугольнике ABCD диагональ BD делит угол В пополам, .
а) Докажите, что ∠BAD = ∠BDC.
б) Найдите отношение площадей четырехугольника ABCD и треугольника ABD, если DС = 1,5АD.

Решение. 

а) По условию диагональ BD делит угол В пополам. Значит, По условию  . Следовательно,

DBC  по двум сторонам и углу между ними. Из подобия треугольников следует: .

б) DBC, а так как

Ответ: а) доказано; б)

3*. На боковых сторонах АВ и СD трапеции ABCD взяты точки Р и K соответственно так, что РК || АD, ∠DBK = ∠KBC, ВС:BD = 3: 4. Найдите ВР: РА.

Решение. По условию ABCD- трапеция, АВ и СD- боковые стороны, то BC||AD. РК || АD- по условию. Итак, BC || РК || AD. По теореме Фалеса . По условию ∠DBK = ∠KBC, т.е. BK-биссектриса угла CBD. По свойству биссектрисы

Ответ: .