Урок "Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике" (8 класс)
план-конспект урока по геометрии (8 класс)

На этом уроке мы рассмотрим пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. Соотношения между элементами прямоугольных треугольников позволяют легко вычислять неизвестные элементы прямоугольного треугольника. Мы сформулируем и докажем три теоремы, связывающие элементы прямоугольного треугольника, а также решим задачу на их применение.

Тема: Подобные треугольники

Урок: «Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике»

1. Первый признак подобия и его формулировка для прямоугольного треугольника

На этом уроке мы познакомимся с пропорциональными отрезками в прямоугольном треугольнике, выведем соответствующие формулы.

Для этого нам понадобится первый признак подобия треугольников. Вспомним его: если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны (см. Рис. 1).

Рис. 1

; . При этом коэффициент  называется коэффициентом подобия.

2. Углы в прямоугольном треугольнике

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники.

Поскольку в прямоугольных треугольниках всегда есть пара равных углов (это прямые углы), то для них можно сформулировать следующий признак подобия: прямоугольные треугольники подобны, если имеют равные острые углы (см. Рис. 2).

Рис. 2

.

При этом отметим важный факт: в прямоугольных треугольниках сумма острых углов равна :

Рассмотрим простую задачу для прямоугольного треугольника.

Дано:  – прямоугольный (), ,  – высота.

Найти: остальные углы треугольника (см. Рис. 3).

Решение:   

Для решения задачи будем использовать сформулированный выше факт: сумма острых углов прямоугольного треугольника равна

Рис. 3

 . Значит, .

Кроме того, треугольник  – также прямоугольный, поэтому сумма его острых углов также равна   (см. Рис. 4).

Аналогично с треугольником : .

Рис. 4

Из этого свойства прямоугольного треугольника и его высоты, проведённой к гипотенузе, следует несколько важных фактов.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с высотой, которая проведена к гипотенузе (см. Рис. 5).

Рис. 5

 – проекция катета  на гипотенузу ,  – проекция катета  на гипотенузу  – это стандартные обозначения.

На Рис. 5 изображено три прямоугольных треугольника , причём в каждом из них есть острый угол . Значит, эти треугольники подобны по первому признаку подобия для прямоугольных треугольников: .

3. Теоремы о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике

С помощью этого факта можно доказать три теоремы:

1.       (катет равен среднему геометрическому гипотенузы и своей проекции на неё).

2.       (катет равен среднему геометрическому гипотенузы и своей проекции на неё).

3.       (высота, проведённая к гипотенузе, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу).

Определение

Средним геометрическим двух неотрицательных чисел  и  называется такое неотрицательное число , что: .

Докажем сформулированные выше теоремы.

4. Доказательство теорем

Теорема 1. .

Доказательство:

Воспользуемся подобием треугольников . Запишем отношение соответствующих сторон:  (отношение сторон, лежащих против угла , равно отношению сторон, лежащих против угла ). Из этой пропорции получаем: . Или: .

Доказано

Теорема 2. .

Доказательство:

Воспользуемся подобием треугольников . Запишем отношение соответствующих сторон: . (отношение сторон, лежащих против угла , равно отношению сторон, лежащих против угла ). Из этой пропорции получаем: . Или: .

Доказано.

Теорема 3. .

Доказательство

Воспользуемся подобием треугольников . Запишем отношение соответствующих сторон:  (отношение сторон, лежащих против угла , равно отношению сторон, лежащих против угла ). Из этой пропорции получаем: . Или: .

Доказано.

5. Альтернативное доказательство теоремы Пифагора

Примечание:

Сформулируем ещё одно альтернативное доказательство теоремы Пифагора с помощью доказанных выше теорем.

.

Доказанные теоремы позволяют решать многие задачи, связанные с прямоугольными треугольниками.

6. Пример на применение доказанных теорем

Пример 1

Дан прямоугольный треугольник  (  – высота. . Найти  (см. Рис. 6).

Решение:

Рис. 6

Найдём длину гипотенузы: . Далее воспользуемся доказанными теоремами:

Ответ: .

На этом уроке мы рассмотрели пропорциональные отрезки в прямоугольных треугольниках и их применение при решении задач. На следующем уроке мы рассмотрим практические приложения подобия треугольников.