Сфера и шар
презентация к уроку по геометрии

Слайд 1

Слайд 2

Сферой называется поверхность, которая состоит из всех точек пространства, находящихся на заданном расстоянии от данной точки. Эта точка называется центром , а заданное расстояние – радиусом сферы, или шара – тела, ограниченного сферой. Шар состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии не более заданного от данной точки.

Слайд 3

Отрезок, соединяющий центр шара с точкой на его поверхности, называется радиусом шара . Отрезок, соединяющий две точки на поверхности шара и проходящий через центр, называется диаметром шара , а концы этого отрезка – диаметрально противоположными точками шара .

Слайд 4

Чему равно расстояние между диаметрально противоположными точками шара, если известна удаленность точки, лежащей на поверхности шара от центра? ? 18

Слайд 5

Шар можно рассматривать как тело, полученное от вращения полукруга вокруг диаметра как оси.

Слайд 6

Пусть известна площадь полукруга. Найдите радиус шара, который получается вращением этого полукруга вокруг диаметра. ? 4

Слайд 7

1 ОО   Теорема . Любое сечение шара плоскостью есть круг. Перпендикуляр, опущенный из центра шара на секущую плоскость, попадает в центр этого круга. Дано: шар  O , R    секущая плоскость Доказать: сечение  круг О 1  центр круга

Слайд 8

Доказательство: Рассмотрим прямоугольный треугольник, вершинами которого являются центр шара, основание перпендикуляра, опущенного из центра на плоскость, и произвольная точка сечения. ОА  R OO  d 1 AO 2  OO 2  AO 2 1 1 1 R 2  d 2  AO 2 1 R 2 d 2 AO  AO 1  const

Слайд 9

Следствие . Если известны радиус шара и расстояние от центра шара до плоскости сечения, то радиус сечения вычисляется по теореме Пифагора. 1 О К 2  d 2  R 2 O K  d 2  r R 2 1 r  радиус сечения

Слайд 10

Пусть известны диаметр шара и расстояние от центра шара до секущей плоскости. Найдите радиус круга, получившегося сечения. ? 10

Слайд 11

Чем меньше расстояние от центра шара до плоскости, тем больше радиус сечения. R 2 r   d 2 d 1  OO 1 d 2  OO 2 r 1  r 2 d 1  d 2

Слайд 12

В шаре радиуса пять проведен диаметр и два сечения, перпендикулярных этому диаметру. Одно из сечений находится на расстоянии три от центра шара, а второе – на таком же расстоянии от ближайшего конца диаметра. Отметьте то сечение, радиус которого больше. ?

Слайд 13

Задача. На сфере радиуса R взяты три точки, являющиеся вершинами правильного треугольника со стороной а . На каком расстоянии от центра сферы расположена плоскость, проходящая через эти три точки? Дано: сфера  О , R  А , В , С  точки на сфере АВ  ВС  АС  а Найти: d  O ,  ABC 

Слайд 14

Решение: Рассмотрим пирамиду с вершиной в центре шара и основанием – данным треугольником. ОН  высота пирамиды ОА  ОВ  ОС  R H  центр описанной окружности

Слайд 15

Найдем радиус описанной окружности, а затем рассмотрим один из треугольников, образованных радиусом, боковым ребром пирамиды и высотой,. Найдем высоту по теореме Пифагора. Решение: ВК  высота в  АВС , 3 ВК  а 2 r  радиус описанной окр . 3 3 a r  2 BK  2  3 a  3 3 2 3 3 a 2 R 2 R 2    2  a 3        d 

Слайд 16

Наибольший радиус сечения получается, когда плоскость проходит через центр шара. Круг, получаемый в этом случае, называется большим кругом . Большой круг делит шар на два полушара .

Слайд 17

В шаре, радиус которого известен, проведены два больших круга. Какова длина их общего отрезка? ? 12

Слайд 18

Плоскость и прямая, касательные к сфере. Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью. Касательная плоскость перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Слайд 19

Пусть шар, радиус которого известен, лежит на горизонтальной плоскости. В этой плоскости через точку касания и точку В проведен отрезок, длина которого известна. Чему равно расстояние от центра шара до противоположного конца отрезка? ? 6

Слайд 20

Прямая называется касательной , если она имеет со сферой ровно одну общую точку. Такая прямая перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Через любую точку сферы можно провести бесчисленное множество касательных прямых.

Слайд 21

Дан шар, радиус которого известен. Вне шара взята точка, и через нее проведена касательная к шару. Длина отрезка касательной от точки вне шара до точки касания также известна. На каком расстоянии от центра шара расположена внешняя точка? ? 4

Слайд 22

Стороны треугольника 13см, 14см и 15см. Найти расстояние от плоскости треугольника до центра шара, касающегося сторон треугольника. Радиус шара равен 5 см. Задача. Дано: АВ  15 см АС  14 см ВС  13 см Найти: d  O , FDC 

Слайд 23

Сечение сферы, проходящее через точки касания, - это вписанная в треугольник АВС окружность. Решение:

Слайд 24

треугольник. Решение: Вычислим радиус окружности, вписанной в S  p   p  a  p  b  p  c  p  14  15  13  21 2 S  84 S  r  p r  S  84  4 p 21

Слайд 25

Решение: Зная радиус сечения и радиус шара, найдем искомое расстояние. Из  ОО 1 К : R 2  r 2 R 2 d 2 d   r 2  3 d  O , ABC   3 см

Слайд 26

Через точку на сфере, радиус которой задан, проведен большой круг и сечение, пересекающее плоскость большого круга под углом шестьдесят градусов. Найдите площадь сечения. ? π

Слайд 27

Взаимное расположение двух шаров. Если два шара или сферы имеют только одну общую точку, то говорят, что они касаются. Их общая касательная плоскость перпендикулярна линии центров (прямой, соединяющей центры обоих шаров).

Слайд 28

Касание шаров может быть внутренним и внешним.

Слайд 29

Расстояние между центрами двух касающихся шаров равно пяти, а радиус одного из шаров равен трем. Найдите те значения, которые может принимать радиус второго шара. ? 2 8

Слайд 30

Две сферы пересекаются по окружности . Линия центров перпендикулярна плоскости этой окружности и проходит через ее центр.

Слайд 31

и, Две сферы одного радиуса, равного пят пересекаются, а их центры находятся на расстоянии восьми. Найдите радиус окружности, по которой сферы пересекаются. Для этого необходимо рассмотреть сечение, проходящее через центры сфер. ? 3

Слайд 32

Вписанная и описанная сферы. Сфера (шар) называется описанной около многогранника, если все вершины многогранника лежат на сфере.

Слайд 33

Какой четырехугольник может лежать в основании пирамиды, вписанной в сферу? ?

Слайд 34

Сфера называется вписанной в многогранник, в частности, в пирамиду, если она касается всех граней этого многогранника (пирамиды).

Слайд 35

В основании треугольной пирамиды лежит равнобедренный треугольник, основание и боковые стороны известны. Все боковые ребра пирамиды равны 13. Найти радиусы описанного и вписанного шаров. Задача. Найти: Дано: АВ  8 АС  СВ  4 5 SA  SB  SC  13 r  вписанного шара  R  описанного шара 

Слайд 36

I этап. пирамиды на одинаковое перпендикуляре к плоскости окружности. В данном случае Решение: Нахождение радиуса вписанного шара. 1) Центр описанного шара уда S л H ен  о в т ы в с с о е т х а ве п рш ир и а н миды рас S ст A о  ян S и B е,  ра S в C ное радиусу шара, и в частности, от вер Н ши  н ц т ен р т е р уг о о п л и ь с н а и н к н а ой АВ ок С о . ло Поэ о т сн о о м ва у н о и н я л о е к ж ру и ж т н н ос а ти осн О ов  а ц н е и н я т эт р о о г п о и т с р а е н у н г о о г л о ьн ш ик а а р , а ко О т Н оры  й А во В с С ста и нов S л H ен  из FDC центра описанной этот перпе O нд  ик S ул H яр совпадает с высотой пирамиды, поскольку ее боковые ребра равны.

Слайд 37

Решение: 2) Вычислим радиус описанной около основания окружности. СК   4 5  2  4 2  8 Из  АНК : НК  СК  R 1  8  R 1 R 1  5

Слайд 38

Решение: 3) Найдем высоту пирамиды. Из  SAH : SH  13 2  5 2  12

Слайд 39

4) Радиус описанного шара найдем из треугольника, образованного радиусом шара и частью высоты, прилежащей к основанию пирамиды. Решение:  24 R Из  АНО : ОН  12  R R 2  5 2   12  R  2 R 2  25  144  R 2 R  169  7 1 24 24

Слайд 40

Решение: II этап. Нахождение радиуса вписанного шара. Соединим центр впис П ан и н р ог а о м ш и ар д а ы с : о всеми вершинами пирамиды, тем сам О ы S м A м B ы , разделим ее на не O ск S о B ль C ко , меньших пирамид. В данном случае их четы O ре S . A В C ыс , оты всех пирами O д о A д B ин C аковы и равны радиусу вписанного шара, а основания – это грани исходной пирамиды.

Слайд 41

1) Найдем площадь каждой грани пирамиды и ее полную поверхность. Решение: 2 S  1  AB  CK  32 ABC 2 S  1  BC  SL  2 5  149 SBC  2 5  149 S SAC  S SBC 2 S  1  AB  SK  4 153 SAB 5  149  4 153 S полн  32  4

Слайд 42

2) Вычислим объем пирамиды и радиус вписанного шара. Решение: SH  12 ABC  32 S ABC V  1 SH  S  128 96 8  745  153  S полн 3 r  3 V 24 опис R  7 1 r  96 8  745  153

Слайд 43

Второй способ вычисления радиуса вписанной сферы основан на том, что центр шара, вписанного в двугранный угол, равноудален от его сторон, и, следовательно, лежит на биссекторной плоскости.

Слайд 44

Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6, а угол между основанием и боковой гранью равен 60 0 . Определить радиус вписанной сферы. Задача. Найти: Дано: SABCD  правильная АВ  6 четырехугольная пирамида  ВС  60 0 r вписанного шара

Слайд 45

основания. Отрезок, соединяющий центр сферы с серединой стороны основания, делит пополам двугранный угол при основании. Решение: Проведем сечение через вершину пирамиды и середины двух противоположных сторон LK  AB  6;  LKS  60 0 OK  биссектриса  LKS  HKO  30 0

Слайд 46

Решение: Рассмотрим треугольник, полученный в сечении, и найдем искомый радиус из тригонометрических соотношений. НК  1 LK  3 2 Из  ОНК : r  HK  tg 30 0  3 Радиус вписанного шара 3