Министерство образования и науки Российской Федерации

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение «Лицей №37»

Фрунзенского района г.Саратова

ПРОЕКТНАЯ РАБОТА

По предмету математика

Тема: Векторы в пространстве

Автор: Павлутин Антон Олегович

Класс: 11 «Б»

Научный руководитель: Летучева Марина Анатольевна

Саратов 2022 г.

Оглавление:

1.Введение………………………………………………………………………...3.

2.Теория…………………………………………………………………………...4.

 2.1.Линейные операции над векторами………………………………………...4.

 2.2.Компланарность векторов…………………………………………………..5.

 2.3.Скалярное произведение векторов…………………………………………6.

 3.Примеры решения задач…………………………………..…………….…….7.

4.Заключение…………………………………………………………………….12.

5.Используемая литература…………………………………………………….13.

Введение

Одним из фундаментальных понятий современной математики является вектор. Эволюция этого понятия осуществлялась благодаря его широкому использованию в различных областях математики, механики, а также в технике.

 Работы К. Веселя, Ж. Аргана и К. Ф. Гаусса по теории комплексных чисел установили связь между арифметическими операциями над комплексными числами и геометрическими операциями над векторами в двумерном пространстве — в плоскости. В середине прошлого столетия в работах В. Гамильтона, Ф. Мёбиуса понятие вектора нашло широкое применение при изучении свойств трехмерного и многомерного пространств.

Существуют различные подходы к определению понятия вектора; при этом даже если ограничиться лишь наиболее интересным здесь для нас элементарно-геометрическим подходом к понятию вектора, то и тогда будут иметься различные взгляды на это понятие.

Разумеется, какое бы определение мы ни взяли, вектор – с элементарно-геометрической точки зрения — есть геометрический объект, характеризуемый направлением и длиной. Однако такое определение является слишком общим, не вызывающим конкретных геометрических представлений.

Согласно этому общему определению параллельный перенос можно считать вектором. И действительно, можно было бы принять такое определение: “Вектором называется всякий параллельный перенос”. Это определение логически безупречно, и на его основе может быть построена вся теория действий над векторами и развиты приложения этой теории.

Однако это определение, несмотря на его полную конкретность, нас здесь также не может удовлетворить, так как представление о векторе как о геометрическом преобразовании кажется нам недостаточно наглядным и далеким от физических представлений о векторных величинах.

Актуальность темы заключается в том, что в соответствии с требованиями программы по математике, понятие вектора является одним из ведущих понятий школьного курса математики.

Цель - определить свойства векторов и показать примеры их использования в доказательствах в стереометрических задачах.

Линейные операции над векторами

Вектором называется множество всех равных между собой направленных отрезков.

Свойства сложения векторов:

1. ̅a +  ̅b =  b̅ + ̅a

2. ̅a + ( ̅b +  ̅c) = ( ̅a +  ̅b) +  ̅c

3.  ̅a +  ̅0 =  ̅a

4.  ̅a + (- ̅a) = ̅0

Свойства умножения вектора на число:

1.  (α⋅β) ⋅  ̅a = α⋅ (β⋅ ̅a)

2.  (α + β) ⋅  ̅a = α⋅ ̅a + β⋅ ̅a

3.  α⋅ ( ̅a +  ̅b) = α⋅ ̅a + α⋅ ̅b

4. 1⋅  ̅a =  ̅a  и -1⋅  ̅a = - ̅a

Углом между двумя векторами называется угол между изображающими их направленными отрезками, отложенными от одной точки пространства.

Компланарность векторов

Два вектора называются коллинеарными, если изображающие их направленные отрезки параллельны некоторой прямой. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Три вектора называются компланарными, если изображающие их направленные отрезки параллельны некоторой плоскости, в частности, если хотя бы один из них нулевой.

Теорема 1 (признак компланарности трёх векторов):

Пусть векторы  ̅a и  ̅b не коллинеарны. Если для вектора  ̅c существует единственная пара реальных чисел x и y, такая, что  ̅c = x⋅ ̅a + y⋅ ̅b, то векторы  ̅a,  ̅b и  ̅c компланарны.

Теорема 2 (свойство компланарности трёх векторов):

Пусть три вектора  ̅a,  ̅b и  ̅c компланарны и векторы  ̅a и  ̅b не коллинеарны. Тогда существует единственная пара чисел x и y такая, что ̅ c = x⋅ ̅a + y⋅ ̅b.

Теорема 3:

Пусть три вектора  ̅a,  ̅b и  ̅c некомпланарны. Тогда для любого вектора   ̅d существует единственная тройка действительных чисел x, y и z таких, что   ̅d = x⋅ ̅a + y⋅ ̅b + z⋅  ̅c.

Базисом в пространстве называется упорядоченная тройка некомпланарных векторов. Базис из векторов  ̅a,  ̅b и  ̅c  обозначается как { ̅a,  ̅b,  ̅c}.

Любой вектор пространства однозначно разложим по базисным векторам.

Коэффициенты α, β, γ в разложении  ̅d = α⋅ ̅a + β⋅ ̅b + γ⋅  ̅c называют коордиантами вектора  ̅d в базисе { ̅a,  ̅b,  ̅c}.

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

 ̅a ⋅  ̅b  = | ̅a| ⋅ | ̅b| ⋅ cos <( ̅a, ̅b)

Свойства скалярного произведения:

1.   ̅a ⋅  ̅b =  ̅b ⋅  ̅a

2.   ̅a ⋅  ̅a = | ̅a|2

3. (k ̅a) ⋅  ̅b = k( ̅a ⋅  ̅b)

4.   ̅a ⋅ ( ̅b +  ̅c)=  ̅a ⋅  ̅b +  ̅a ⋅  ̅c

5. Скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители ортогональны (векторы называются ортогональными, если угол между ними равен pi/2) или хотя бы один из них нулевой.

Базис вида { ̅e1,  ̅e2,  ̅e3}, где  ̅e1 ⊥  ̅e2,  ̅e2 ⊥  ̅e3 и  ̅e1 ⊥  ̅e3, а также  | ̅e1|=| ̅e2|=| ̅e3|=1, называется ортонормированным.

Теорема:

В ортонормированном базисе скалярное произведение векторов равно сумме произведений их соответствующих координат.

Так, например, для векторов ̅a и   ̅b, заданных координатами в ортонормированном базисе { ̅e1,  ̅e2,  ̅e3}:  ̅a = (xa,ya,za),   ̅b = (xb,yb,zb) верно утверждение:

 ̅a ⋅  ̅b = xa⋅ xb+ ya ⋅ yb+ za ⋅ zb

Примеры решения задач

Пример 1

Плоскость пересекает боковые рёбра SA, SB, SC и SD правильной четырёхугольной пирамиды SABCD в точках M,N,P и Q соответственно. Доказать, что (1/SM)+(1/SP)=(1/SN)+(1/SQ).

Решение.

Положим, что SA=SB=SC=SD=1. Пусть также SM=a, SN=b, SP=c, SQ=d.

Векторы  ̅NM,  ̅NP и  ̅NQ компланарны и  ̅NM не параллелен  ̅NP, поэтому существуют единственные числа x и y такие, что:

 ̅NQ = x⋅  ̅NM + y ⋅  ̅NP 

Разложим обе части этого векторного равенства по базису { ̅SA,  ̅SB,  ̅SC}:

Получаем:

Отсюда получаем d=ax, d+b=b(x+y) и d=cy. Следовательно:

Пример 2

На диагоналях AB1 и CA1 боковых граней треугольной призмы ABCA1B1C1 расположены точки E и F соответственно так, что EF и BC1 параллельны. Найти отношение длин отрезков EF и BC1.

Решение.

Пусть  ̅CA =  ̅a, CB =  ̅b, CC1 =  ̅c. Разложим векторы  ̅AB1,  ̅CA1 и  ̅BC1 по базису{ ̅a,  ̅b,  ̅c}, используя правило ломаной. Имеем:

В силу коллинеарности  ̅AE и  ̅AB1 существует число x такое, что  ̅AE = x⋅ ̅AB1  = x⋅ (- ̅a +  ̅b +  ̅c). Аналогично, существует число y такое, что  ̅CF= y⋅ ̅CA1 = y⋅( ̅a +  ̅c). По условию EF и BG1 параллельны, следовательно, существует число z такое, что  ̅EF = z⋅ ̅BC1 = z⋅ (- ̅b +  ̅c).

По правилу ломаной, применимому к ломаной CAEF, имеем

 ̅AC =  ̅AE +  ̅EF +  ̅FC, откуда - ̅a = x⋅ (- ̅a +  ̅b +  ̅c) + z⋅ (- ̅b +  ̅c) - y⋅ ( ̅a +  ̅c ), т.е.:

В силу единственности разложения по базису последнее векторное равенство равносильно трём скалярным: 1 – x – y=0, x-z=0 и x+z-y=0. Отсюда x=z=1/3, y=2/3.

Искомое отношене: EF:BC1=|z|=1/3

Пример 3

На рёбрах SA и SB тетраэдра SABC выбраны соответственно точки A1 и B1, причём известно, что SB1:SB=m. Точки M и N лежат на отрезках A1B и CB1 соответственно, причём CN:CB1=p, а отрезок MN параллелен плоскости ASC. Найти отношение BM:BA1.

Решение.

Выберем базис в пространстве:  ̅SA =  ̅a,  ̅SB =  ̅b,  ̅SC =  ̅c. 

Обозначим SA1 : SA=n и BM : BA1= q.

С другой стороны, поскольку вектор  ̅MN параллелен плоскости ASC, он раскладывается по базису { ̅a,  ̅b,  ̅c} в этой плоскости:  ̅MN = α ̅a+ γ ̅c, где α и γ – некоторые действительные числа. Сравнивая два последних выражения, приходим к выводу, что q+mp-1=0, откуда q=1- mp.

Пример 4

В правильном тетраэдре ABCD точки M и N – середины ребёр AB и CD.

1.Известно, что AB=a. Найти: а) длину отрезка MN; б) угол между прямыми MN и BC.

2.Доказать, что MN⊥AB, MN⊥CD.

Решение.

Введём базис  ̅a =  ̅BC,  ̅b =  ̅BA,  ̅c = ̅BD.

Тогда  ̅MN =  ̅MB +  ̅BC +  ̅CN = -1/2 ̅b +  ̅a + 1/2( ̅c - ̅a)=1/2( ̅a -  ̅b +  ̅c).

1.а) Имеем:

б)Нужно найти угол α между прямыми MN и BC. Найдём связь между <( ̅MN, ̅BC) и α. Из определения скалярного произведения векторов вытекает, что:

Но угол между прямыми не может быть тупым. Поэтому:

2.Ясно, что достаточно доказать равенства  ̅MN⋅  ̅BA = 0 и  ̅MN ⋅  ̅CD = 0. Имеем:

Заключение

Сформулируем основные выводы и полученные результаты проведенного исследования. При выполнении данной работы были решены поставленные задачи и выполнено следующее:
          Были определены свойства векторов и показаны примеры доказательств в стереометрических задачах.
          Подводя итоги работы, можно сказать, что полученные результаты исследования свидетельствуют о том, что поставленная цель достигнута, задачи решены.

Используемая литература.

1.«Стереометрия 10 класс» Калинин А.Ю., Терешин Д.А., 1996.

2.«Учимся решать задачи по геометрии.  Полонский В.Б., Рабинович Е.М., Якир М.С. – 1996 год.»

3.«Курс аналитической геометрии и линейной алгебры» – Беклемишев Д.В.,1984. – 320 с.

4.«Факультативный курс по математике. Решение задач.» – И.Ф.Шарыгин.

5.«Планиметрия» Бутузов В.Ф. и др. «Физматлит», 2005 год – 486 с.