Материалы к зачету по геометрии 8 класс
методическая разработка по геометрии (8 класс)

Прямоугольный треугольник.

1. В прямоугольном треугольнике  АВС с прямым углом С даны катеты АС =6см, СВ =8 см. Найти: гипотенузу, медиану, проведенную к гипотенузе, высоту, проведенную к гипотенузе, проекции катетов  на  гипотенузу, , .
2. В прямоугольном треугольнике  АВС с прямым углом С даны катет АС = 18см и гипотенуза АВ = 30 см . Найти второй катет, медиану, проведенную к гипотенузе, высоту, проведенную к гипотенузе, проекции катетов  на  гипотенузу, ,
3. Точка Н является основанием высоты, проведенной из вершины прямого угла B треугольника АВС к гипотенузе АС. Найти АВ, если АН=5, АС = 20.
4. В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АВ провели высоту СD и биссектрису CL. Найдите угол DCL, если угол САВ равен 25º.
5. В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны. Найти , если АВ=25, АС=30.
6. В треугольнике АВС угол С=90º. СН – высота, АВ=10, . Найти АН.
7. В треугольнике АВС угол С=90º, АВ=30, . Найти АС, ВС, медиану, проведенную, к гипотенузе, высоту, проведенную, к  гипотенузе.
8. В треугольнике АВС угол С=90º, ВС=18,
9. В треугольнике АВС АС=ВС, АВ=2, . Найти АС.

Параллелограмм. Прямоугольник. Ромб, Квадрат.

1. Биссектриса угла параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке F. Найти периметр этого параллелограмма, если BF=15, FC=9.
2. В параллелограмме ABCD биссектрисы BM и CM пересекаются в точке М, лежащей на стороне AD. Найти стороны АВ и AD, если периметр параллелограмма равен 24.
3. Биссектрисы углов  А  и  D параллелограмма  ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне ВС. Найти АВ, если ВС =44.
4. В параллелограмме ABCD диагональ АС в два раза больше стороны АВ и угол АСD равен 21º. Найти угол между диагоналями параллелограмма.
5. В параллелограмме ABCD биссектриса угла А равного 60º пересекает сторону ВС в точке М. Отрезки АМ и МD перпендикулярны. Найти периметр параллелограмма, если АВ =5.
6. В параллелограмме  ABCD высота  ВН делит  сторону AD на отрезки АН=5, DH= 15. Найти площадь параллелограмма, если АВ=13.
7. В прямоугольнике ABCD диагонали АС и BD пересекаются в точке О.Угол ВОС равен 120º. Сторона АВ равна 9 см. Найти диагональ АС.
8. В прямоугольнике ABCD диагонали АС и BD пересекаются в точке О. Диагональ составляет со стороной прямоугольника угол 30º и ее длина равна 12 см. Найти периметр треугольника АОВ.
9. Дан ромб АВСD. Диагональ Ас равна 2 см, диагональ BD равна 2 см. Найти углы А и В и сторону треугольника.
10.  Дан ромб АВСD. Из точки пересечения диагоналей опущена высота, которая делит ее на отрезки АН =4см, НD=9см. Найти площадь ромба.

Трапеция.

1. В прямоугольной трапеции ABCD  с основаниями AD  и BC диагональ BD  равна 10,  .

2. В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ АС является биссектрисой угла А равного 45º.Найти BD, если меньшее основание трапеции равно 5

3. Большее основание равнобедренной трапеции равно 34.Боковая сторона равна 14. Синус острого угла равен . Найти меньшее основание.

4. В равнобедренной трапеции  основания равны 12 и 27, острый угол равен 60º. Найти ее периметр.

 5. Дана прямоугольная трапеция (угол D  прямой), AD=7см, BС=4см,

6. Дана трапеция АВСD. Диагонали пересекаются в точке О. ОВ = 4см, ОD=10см, ВС=26 см.Найти AD

Подобие треугольников.

1.Отрезки АВ и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки АС и BD пересекаются и точке M. Найти МС, если АВ = 10, DC=25, АС=56.

2. Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках М и N соответственно. Найти BN, если MN=13, АС=65, NC= 28.

3. Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках К и М соответственно. Найти АС, если ВК : КА = 3:4, КМ=18.

4. Основания ВС и AD  трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20, BD=10. Докажите, что треугольники CBD и ADB подобны.

Высказывания.

1.Площадь ромба равна произведению диагоналей.

2. Площадь прямоугольника равна половине произведения диагоналей.

3. Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.

4. Площадь трапеции равна половине произведения диагоналей.

5. Если в трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.

6. Если диагонали  четырехугольника  равны, то этот четырехугольник трапеция.

7. Если две стороны четырехугольника равны, то он- трапеция.

8.Противоположные углы трапеции равны.

9. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – квадрат.

10. Если противоположные углы выпуклого четырехугольник попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

11. Площадь трапеции равна произведению суммы оснований на высоту. 

12. В любом прямоугольнике диагонали перпендикулярны.

13. Если две стороны четырехугольника равны, а другие параллельны, то он является параллелограммом.

14. Если в параллелограмме две стороны равны, то этот четырехугольник  ромб.

15. Если в четырехугольнике две диагонали равны и перпендикулярны, то этот четырехугольник – квадрат.

16. Если в ромбе диагонали равны, то такой ромб является квадратом..

17. Если диагонали параллелограмма равны, то он обязательно является ромбом.

18. Существует квадрат, который не является прямоугольником.

19. Диагонали прямоугольника перпендикулярны.

20. Если в параллелограмме диагонали равны, то он ромб.

21. Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм – ромб.

22. Любые два равносторонних треугольника подобны.

23 Любые два равнобедренных треугольника подобны.

24.Любые два прямоугольных треугольника подобны.

25. В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен разности квадратов гипотенузы и  другого    катета

26. Если площади равны, то равны и сами фигуры.

28. Площадь прямоугольного треугольника меньше произведения катетов.

29. Если в ромбе один их углов равен 90º, то он – квадрат.

30. Площадь трапеции равна половине произведения высоты на разность оснований.

31. Площадь трапеции равна произведению средне линии на высоту.

32. Диагональ трапеции делит ее на два равных треугольника.

33. Диагонали параллелограмма равны.

34. Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

35.Диагонали трапеции пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

36. Площадь любого параллелограмма равна произведению его сторон.

37. В любой прямоугольной трапеции есть два равных угла.

38. Если диагонали параллелограмма равны, то он – прямоугольник.

39. Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90º.

40. Если в параллелограмме две стороны равны, то он – ромб.

41. Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то он – ромб.

42. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна сумме катетов.

43. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника , то треугольники подобны.

44. Косинус угла прямоугольного треугольника меньше 1.

45. Тангенс острого угла прямоугольного треугольника меньше 1.

46. Существует прямоугольник, который не является квадратом.

47. Если три угла треугольника равны, то они подобны.

48.  Если две стороны в прямоугольном треугольнике равны 5 см и 12 см, то третья сторона рана 13 см.

49. Если один из углов, прилежащих к стороне параллелограмма равен 50º,то другой угол, прилежащий к той же стороне равен 50º.

50. Если в четырехугольнике две стороны равны, то он параллелограмм.

Теоретические вопросы к зачету.

1.Многоугольник (определение). Теорема о сумме углов  выпуклого многоугольника. Сформулировать теорему о сумме внешних углов многоугольника, взятых по одному при вершине. Теорема о количестве диагоналей выпуклого многоугольника

2. Определение параллелограмма. Свойства параллелограмма. Признаки параллелограмма.

3. Определение прямоугольника. Свойства прямоугольника. Признаки прямоугольника.

4. Определение ромба.  Свойства ромба. Признаки ромба.

5. Определение трапеции.  Виды трапеции. Свойства равнобедренной трапеции. Дополнительные построения в трапеции при  решении задач.

6. Площадь параллелограмма (формулы). Площадь ромба (формулы).

7. Площадь треугольника (все формулы).

8.Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника (определение). Теорема о средней линии.

9. Подобные треугольники (определение).  Сходственные элементы. Признаки подобия.

10. Теорем Пифагора. Обратная теорема Пифагора.

11. . Теорема о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике (с доказательством).

12.Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике (определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла).  Решение прямоугольных треугольников.

13. Вывод значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов 45º, 30º, 60º

ВСЕ ФОРМУЛИРОВКИ ЗНАТЬ НАИЗУСТЬ!!!!!