Методическая разработка для учителей по проведению урока геометрии по теме "теорема Пифагора"
методическая разработка по геометрии (8 класс)

Слайд 1

Развитие умения моделировать при работе с теоремой Выполнила: Печенкина Евгения Евгеньевна Учитель математики МБОУ г. Мурманска «Гимназия №5»

Слайд 2

Математическое моделирование Модель - это: Некоторое подобие реального объекта Воспроизведение предмета в уменьшенном или увеличенном виде (макет) Схема, изображение или описание какого - либо явления или процесса в природе и обществе. Математическая модель - это приближенное описание какого-либо класса явлений, выраженное на языке какой-нибудь математической теории. Анализ математической модели позволяет проникнуть в сущность изучаемых явлений. С помощью метода математического моделирования раскрывается двойная связь математики с реальным миром. Для учителей

Слайд 3

Вспомогательные модели Решающие модели В период изучения темы «Решение текстовых задач» учащиеся познакомились с разными видами моделей. Для учителей

Слайд 4

Актуализация знаний(Диктант) 1. Закончите предложение и запишите дополненные Вами слова. Площади равных многоугольников …. 2. С помощью кругов Эйлера изобразите: а)Множество равновеликих фигур b) Множество равносоставленных фигур Установите соответствие сторон с их названием. а с b 1.катет 4.катет 3.боковая сторона 2.основание 5. прямоугольная сторона 6.гипотенуза 7.противолежащий катет a b c 4. По какому признаку прямоугольные треугольники, изображенные на рисунке, будут равны? Запишите элементы, по которым треугольники равны. a) b) c)

Слайд 5

5 .Найдите и запишите площадь квадрата со стороной. 3 см; 1,2 мм; м; а см . 6 . Найдите и запишите площадь прямоугольного треугольника с катетами. 3 см и 4 см; 2 ,2 м и 5 см; а см и в см. 7 . Чему равна площадь домика? Найдите и запишите площадь домика. S = 5 см 2 ; S = 20 см 2 . Актуализация знаний(Диктант) 8 . Найдите и запишите площадь всей фигуры через площади её частей? Какая формула получилась?

Слайд 6

9. Найдите среди данных фигур равносоставленные, запишите их номера. 10. Являются ли данные фигуры равными? (Да или нет) Учитель: Обменяйтесь, пожалуйста, листочками с соседом по парте. Проверьте работу по ответам со слайда. По критерию оценивания поставьте оценку и затем сдайте работы учителю. Актуализация знаний(Диктант)

Слайд 7

Критерий оценивания 8 баллов «5» 6-7 баллов «4» 4-5 баллов «3» 0-3 баллов «2» Актуализация знаний(Диктант) № задания Ответ 1. равны 2. а) = b) 3. a b c 1 4 6 (416;116;446) 4. 5. 9; 1,44; ; а 2 № задания Ответ 1. равны 2. а) = b) 3. a b c 1 4 6 (416;116;446) 4. 5. 6. 6; 5,5; 7. 30 см 2 8. S= 9. 10. 6. 7. 30 см 2 8. 9. 10. Задание №1 а)-е) 1 балл-верно 0 баллов- не верно Задание №2 а)-с) 1 балл-верно 0 баллов- не верно Задание№3 1 балл-верно 0 баллов- не верно

Слайд 8

Учитель: Сегодня на уроке мы с вами будем узнавать много нового материала. В 7 классе, на уроках алгебры, мы знакомились с понятием «модель». Процесс построения модели наз. моделированием. Сегодня мы вместе с вами, при изучении теоремы будем обучаться ЭТАПАМ МОДЕЛИРОВАНИЯ. Запишите в тетрадях 3 этапа моделирования: 1. Построение математической(геометрической)модели. 2. Решение математической задачи. 3. Анализ полученного на втором этапе результата, исходя из смысла рассматриваемой задачи. Учитель: Все три этапа Мы сегодня рассмотрим при доказательстве одной очень интересной и важной теоремы.

Слайд 9

Подведение к формулировке теоремы (создание проблемной ситуации) Учитель: Прочитайте текст задачи и решите данную задачу(возможны разные варианты). Учитель: Для решения задачи что нам необходимо? Ученики: Составить модель текста задачи. Учитель: Как будем решать данную задачу? Ученики: Не получается решить данную задачу. Мы не знаем зависимости между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника. Мальчику Вите требуется измерить ширину пруда. Он нашёл расстояния от пункта R до пунктов P и Q, расположенных по разным сторонам пруда, как показано на рисунке ниже, и уверился в том, что угол P – прямой. Если допустить, что расчёты верны, какова протяжённость пруда с запада на восток? Учитель: Детки, какой этап моделирования мы с вами выполнили? Ученики: Первый этап, построение математической модели.

Слайд 10

Мотивация Учитель: Дети, объединитесь в пары и выполните следующее задание. Постройте прямоугольные треугольники с катетами 3 и 4, 12 и 5, 6 и 8, 8 и 15 и измерить гипотенузу с помощью линейки. Результаты занести в таблицу. а b с Учитель: В парах обсудите и попробуйте выдвинуть различные формулировки о зависимости гипотенузы и катетов прямоугольного треугольника. Давайте обсудим все вместе. Верно ли, что a + = c ? это справедливо для первого и третьего случая Верно ли, что a = ? это справедливо для четвёртого случая? Верно ли, что ? 3 4 12 5 6 8 8 15 5 13 10 17

Слайд 11

Учитель: «Кто может дать словесную формулировку выражению »? Ученики: (разные формулировки) Учитель: В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Это утверждение является верным и называется теоремой Пифагора.

Слайд 12

Поиск доказательства Учитель: Детки, как вы можете доказать данную теорему? Что нам необходимо для доказательства? Ученик: Определить, что нам дано и что требуется доказать. Дан нам прямоугольный треугольник, а доказать надо Учитель: Верно, предложите свои варианты доказательства теоремы. Ученик(учитель): Так как в формуле присутствует ; Учитель: Верно, а это детки мы переходим ко 2 этапу моделирования, который как называется? Ученики: Решение математической задачи. Основной этап Формулируем УУД использовать моделирование при доказательстве теорем

Слайд 13

Основной этап Доказательство: Шаги доказательства теоремы Обоснование Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами а б и гипотенузой с. Пусть BC=a, AC=b, AB=c. На продолжении стороны AC отложим отрезок AF, AF=a, на продолжении стороны BC — отрезок BK, BK=b. CF=AF+AC= a+b , CK=BC+BK= a+b , то есть CF=CK= a+b . 1. Анализ объекта (треугольник ABC). 2. Построение квадрата CKPF со стороной CK=BC+BK= a+b на катетах a и b прямоугольного треугольника ABC 3. Анализ объекта (квадрат CKPF).

Слайд 14

Основной этап Доказательство: Шаги доказательства теоремы Обоснование 4. Через точки F и K проведём прямые, параллельные катетам: 5. Четырёхугольник CFPK — параллелограмм 6. Так как ∠C=90º и CF=CK, то CFPK — квадрат со стороной a+b . 4 прямоугольных треугольника равны 1 = 3 (из равных треугольников) , 2+ 3=90° 4=180°-90°=90° 10. четырехугольник – квадрат 11. 4. Построение прямых, параллельных данным 5. По определению параллелограмма. П о определению данный параллелограмм является квадратом По признаку равенства прямоугольных треугольников: по двум катетам, то есть четырехугольник имеет 4 равные стороны С умма острых углов прямоугольного треугольника 90 2, 3, 4 образуют развернутый угол 180 10. По определению. 11 . Так как площадь квадрата равна квадрату его стороны 1 2 3 4

Слайд 15

Основной этап Доказательство: Шаги доказательства теоремы Обоснование 9. С другой стороны, площадь CFPK равна сумме площадей четырёх прямоугольных треугольников с катетами b и c и квадрата со стороной c. 10. 11. 12. 13. 14. 9. Теорема о равносоставленных многоугольников. 10. Площадь прямоугольного треугольника равны половине произведения его катетов: 11. Теорема о площади через части фигуры 12. Приравняем правые части формул площади CFPK, так площадь фигуры одна 13. Применение ФСУ Теорема доказана Учитель: Переходим к 3 этапу моделирования «анализ результатов»

Слайд 16

Основные «киты» доказательства Равносоставленные многоугольники; Формулы сокращенного умножения; Свойства прямоугольного треугольника; Признаки равенства прямоугольных треугольников; Развёрнутый угол.

Слайд 17

Применение теоремы при решении задачи Учитель: Вернёмся к задаче, которая вызвала у нас затруднения при её решении. Один из учеников данную задачу решает у доски с использованием геометрической модели текста задачи. Мальчику Вите требуется измерить ширину пруда. Он нашёл расстояния от пункта R до пунктов P и Q, расположенных по разным сторонам пруда, как показано на рисунке ниже, и уверился в том, что угол P – прямой. Если допустить, что расчёты верны, какова протяжённость пруда с запада на восток? Решение: По теореме Пифагора , тогда = 676 – 576 =100 PQ=± PQ= -10( не удовлетворяет) PQ= 10 Ответ: 10.

Слайд 18

Данную теорему применяют при проектировании любых строительных объектов. Подобные задачи решаются и в нашей повседневной жизни, например установление ёлки. Покрытие полов паркетом. Теорема Пифагора в жизни человека С помощью теоремы Пифагора можно подсчитать какую наибольшую высоту должна иметь телевизионная вышка или антенна телефонной связи. Учитель: Детки, давайте рассмотрим применение теоремы Пифагора в жизни человека. Приведите свои примеры.

Слайд 19

Историческая справка. Учитель: Землемеры Древнего Египта для построения прямого угла использовали бечевку, разделенную узлами на 12 равных частей. П окажите, как они это делали? (К доске вызываются 3 желающих продемонстрировать построение прямоугольного треугольника). Напоминаю, что в углах должны быть узлы. Учитель: сейчас при закладывании фундаментов новых домов очень часто строители используют именно этот способ построения прямых углов будущих домов.

Слайд 20

Учитель: Давайте рассмотрим разные модели, иллюстрирующие доказательство теоремы Пифагора. Метод площадей Основной этап Метод Гофмана Формулируем УУД использовать моделирование при доказательстве теорем Метод Басхари Метод равнобедренного треугольника Метод Гарфилда Метод Евклид

Слайд 21

Пифагоровы тройки Пифагоровы тройки – это наборы из трёх натуральных чисел (x, y и z), из которых сумма квадратов двух чисел равна квадрату третьего числа (x² + y²= z² ). В школьной программе пифагоровы тройки не изучаются, появляясь лишь как любопытный частный случай при рассмотрении прямоугольных треугольников. Между тем, пифагоровы тройки являются объектом теории чисел. .. Сейчас уже найдены стороны 50-го « пифабедренного » треугольника, значения которых очень велики. Поскольку уравнение x² + y² = z² однородно, при домножении x, y и z на одно и то же число получится другая пифагорова тройка. Пифагорова тройка называется примитивной, если она не может быть получена таким способом, то есть x,y,z — взаимно простые числа. Треугольник, стороны которого равны пифагоровым числам, является прямоугольным. Простейший из них — египетский треугольник со сторонами 3, 4 и 5 (32 + 42 = 52). Некоторые Пифагоровы тройки: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 35, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50)… Пифагоровы тройки имеют важное значение в геометрии. Несмотря на то, что в школе на изучение Пифагоровых троек не отводится много времени, в настоящее время знание их необходимо при решении многих математических задач.

Слайд 22

" Случися некому человеку к стене лестницу прибрати , стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать ." Задача из учебника «Арифметика» Леонтия Магницкого 117 125 125 ?

Слайд 23

Пифагорова головоломка Из семи частей квадрата составить снова квадрат, прямоугольник, равнобедренный треугольник, трапецию. Квадрат разрезается так: E , F , K , L – середины сторон квадрата, О – центр квадрата, ОМ  EF , NF  EF .

Слайд 24

Итак, Если дан нам треугольник И притом с прямым углом, То квадрат гипотенузы Мы всегда легко найдём: Катеты в квадрат возводим, Сумму степеней находим – И таким простым путём К результату мы придём. Ч.т.д . Теорема в стихах

Слайд 25

Благодарю за внимание.