Методическая разработка урока "Теорема Пифагора"
презентация к уроку по геометрии (8 класс)

Слайд 1

Теорема Пифагора Выполнила: Цыганова Г. А. школа №568 г. Санкт - Петербург

Слайд 2

"В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол«: - дословный перевод теоремы Пифагора Пребудет вечной истина, как скоро Её познает слабый человек! И ныне теорема Пифагора Верна, как и в его далёкий век. сонет Шамиссо

Слайд 3

Геометрия обладает двумя великими сокровищами. Первое - это теорема Пифагора, которую можно сравнить с мерой золота. Иоганн Кеплер

Слайд 4

Доказательства теоремы Пифагора Доказательство 1 Для самого простого доказательства теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника нужно задать идеальные условия: пусть треугольник будет не только прямоугольным, но и равнобедренным. Есть основания полагать, что именно такой треугольник первоначально рассматривали математики древности. Утверждение «квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах» можно проиллюстрировать следующим чертежом: Посмотрите на равнобедренный прямоугольный треугольник ABC: На гипотенузе АС можно построить квадрат, состоящий из четырех треугольников, равных исходному АВС. А на катетах АВ и ВС построено по квадрату, каждый из которых содержит по два аналогичных треугольника.

Слайд 5

Доказательства теоремы Пифагора Доказательство 2 Внутри квадрата постройте четыре прямоугольных треугольника так, как это обозначено на чертеже. Сторону большого квадрата, она же гипотенуза, обозначим с. Катеты треугольника назовем а и b. В соответствии с чертежом сторона внутреннего квадрата это (a-b). Используйте формулу площади квадрата S=c2, чтобы вычислить площадь внешнего квадрата. И одновременно высчитайте ту же величину, сложив площадь внутреннего квадрата и площади всех четырех прямоугольных треугольников: (a-b)22+4*1\2*a*b. Вы можете использовать оба варианта вычисления площади квадрата, чтобы убедиться: они дадут одинаковый результат. И это дает вам право записать, что c2=(a-b)2+4*1\2*a*b. В результате решения вы получите формулу теоремы Пифагора c2=a2+b2. Теорема доказана.

Слайд 6

Доказательства теоремы Пифагора Доказательство 3 Это любопытное древнекитайское доказательство получило название «Стул невесты» - из-за похожей на стул фигуры, которая получается в результате всех построений. Если мысленно отрезать от чертежа на рис.1 два зеленых прямоугольных треугольника, перенести их к противоположным сторонам квадрата со стороной с и гипотенузами приложить к гипотенузам сиреневых треугольников, получится фигура под названием «стул невесты» (рис.2). Для наглядности можно то же самое проделать с бумажными квадратами и треугольниками. Вы убедитесь, что «стул невесты» образуют два квадрата: маленькие со стороной b и большой со стороной a. Эти построения позволили древнекитайским математикам и нам вслед за ними прийти к выводу, что c2=a2+b2. Рис.1. Рис. 2.

Слайд 7

Не знаю, чем кончу поэму И как мне печаль избыть: Древнейшую теорему Никак я не в силах забыть. Стоит треугольник как ментор, И угол прямой в нем есть, И всем его элементам Повсюду почет и честь. Прелестная гипотенуза Взнеслась так смело в высь! И с нею в вечном союзе Два катета тоже взъелись. Она царит на квадратах, И песню поет она; Та песня влечет куда-то Геометров древних волна. И все на торжищах света, Как в огненном кольце, И все повторяют это: Ах, а2, b2 , с! И даже в холодной медузе Огонь эта песня зажгла, И все это гипотенузы И катетов двух дела! Пифагорова теорема

Слайд 8

Старинные задачи Над озером тихим С полфута размером Высился лотоса цвет. Он рос одиноко, И ветер порывом Отнёс его в сторону. Нет Боле цветка над водой. Нашёл же рыбак его Ранней весною В двух футах от места, где рос. Итак, предложу я вопрос: “Как озера вода здесь глубока?” Египетская задача о лотосе "На глубине 12 футов растет лотос с 13-футовым стеблем. Определите, на какое расстояние цветок может отклониться от вертикали, проходящей через точку крепления стебля ко дну."

Слайд 9

Старинные задачи Задача Бхаскари «На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой С теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в этом месте река В четыре лишь фута была широка Верхушка склонилась у края реки. Осталось три фута всего от ствола, Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: У тополя как велика высота?»

Слайд 10

Старинные задачи Имеется бамбук высотой в 1 чжан. Вершину его согнули так, что она касается земли на расстоянии 3 чи от корня (1 чжан = 10 чи). Какова высота бамбука после сгибания? Задача о бамбуке из древнекитайского трактата "Гоу-гу"

Слайд 11

Теорема Пифагора Мы узнали что-то снова – Теорему Пифагора! И её сквозь сотни лет, Продолжает знать весь всеет! Уж для этой теоремы И не жалко даже время Хочешь снова повторять. Говорить и напевать: “Пифагоровы штаны на все стороны равны!”

Слайд 12

Дерево Пифагора Пифагор, при доказательстве своей теоремы, случайно открыл природное правило построения живых объектов, в частности деревьев. В наш век эта фигура Пифагора выросла в целое дерево. Впервые дерево Пифагора построил А. Е. Босман (1891—1961) во время второй мировой войны, используя обычную чертёжную линейку. Одним из свойств дерева Пифагора является то, что, если площадь первого квадрата равна единице, то на каждом уровне сумма площадей квадратов тоже будет равна единице. Если в классическом дереве Пифагора угол равен 45 градусам, то также можно построить и обобщённое дерево Пифагора при использовании других углов. Такое дерево часто называют «обдуваемое ветром дерево Пифагора».

Слайд 13

Памятник Пифагору Памятник Пифагору находится в порту города Пифагория и напоминает всем о теореме Пифагора, наиболее известном его открытии. Катет, лежащий в основании треугольника - мраморный , гипотенуза и фигура самого Пифагора в виде второго катета - медные.

Слайд 14

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ! Да, путь познания не гладок, Но знаем мы со школьных лет, Загадок больше, чем разгадок, И поискам предела нет.

Слайд 1

Теорема Пифагора Выполнила: Цыганова Г. А. школа №568 г. Санкт - Петербург

Слайд 2

"В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол«: - дословный перевод теоремы Пифагора Пребудет вечной истина, как скоро Её познает слабый человек! И ныне теорема Пифагора Верна, как и в его далёкий век. сонет Шамиссо

Слайд 3

Геометрия обладает двумя великими сокровищами. Первое - это теорема Пифагора, которую можно сравнить с мерой золота. Иоганн Кеплер

Слайд 4

Доказательства теоремы Пифагора Доказательство 1 Для самого простого доказательства теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника нужно задать идеальные условия: пусть треугольник будет не только прямоугольным, но и равнобедренным. Есть основания полагать, что именно такой треугольник первоначально рассматривали математики древности. Утверждение «квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах» можно проиллюстрировать следующим чертежом: Посмотрите на равнобедренный прямоугольный треугольник ABC: На гипотенузе АС можно построить квадрат, состоящий из четырех треугольников, равных исходному АВС. А на катетах АВ и ВС построено по квадрату, каждый из которых содержит по два аналогичных треугольника.

Слайд 5

Доказательства теоремы Пифагора Доказательство 2 Внутри квадрата постройте четыре прямоугольных треугольника так, как это обозначено на чертеже. Сторону большого квадрата, она же гипотенуза, обозначим с. Катеты треугольника назовем а и b. В соответствии с чертежом сторона внутреннего квадрата это (a-b). Используйте формулу площади квадрата S=c2, чтобы вычислить площадь внешнего квадрата. И одновременно высчитайте ту же величину, сложив площадь внутреннего квадрата и площади всех четырех прямоугольных треугольников: (a-b)22+4*1\2*a*b. Вы можете использовать оба варианта вычисления площади квадрата, чтобы убедиться: они дадут одинаковый результат. И это дает вам право записать, что c2=(a-b)2+4*1\2*a*b. В результате решения вы получите формулу теоремы Пифагора c2=a2+b2. Теорема доказана.

Слайд 6

Доказательства теоремы Пифагора Доказательство 3 Это любопытное древнекитайское доказательство получило название «Стул невесты» - из-за похожей на стул фигуры, которая получается в результате всех построений. Если мысленно отрезать от чертежа на рис.1 два зеленых прямоугольных треугольника, перенести их к противоположным сторонам квадрата со стороной с и гипотенузами приложить к гипотенузам сиреневых треугольников, получится фигура под названием «стул невесты» (рис.2). Для наглядности можно то же самое проделать с бумажными квадратами и треугольниками. Вы убедитесь, что «стул невесты» образуют два квадрата: маленькие со стороной b и большой со стороной a. Эти построения позволили древнекитайским математикам и нам вслед за ними прийти к выводу, что c2=a2+b2. Рис.1. Рис. 2.

Слайд 7

Доказательства теоремы Пифагора Доказательство 4 Это еще один способ найти решение для теоремы Пифагора, опираясь на геометрию. Называется он «Метод Гарфилда». Постройте прямоугольный треугольник АВС. Нам надо доказать, что ВС2=АС2+АВ2. Для этого продолжите катет АС и постройте отрезок CD, который равен катету АВ. Опустите перпендикулярный AD отрезок ED. Отрезки ED и АС равны. Соедините точки Е и В, а также Е и С и получите чертеж, как на рисунке. Чтобы доказать терему, мы вновь прибегаем к уже опробованному нами способу: найдем площадь получившейся фигуры двумя способами и приравняем выражения друг к другу.

Слайд 8

Доказательства теоремы Пифагора Доказательство 4 Найти площадь многоугольника ABED можно, сложив площади трех треугольников, которые ее образуют. Причем один из них, ЕСВ, является не только прямоугольным, но и равносторонним. Не забываем также, что АВ=CD, АС=ED и ВС=СЕ – это позволит нам упростить запись и не перегружать ее. Итак, SABED=2*1/2(AB*AC)+1/2ВС2. При этом очевидно, что ABED – это трапеция. Поэтому вычисляем ее площадь по формуле: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Для наших вычислений удобней и наглядней представить отрезок AD как сумму отрезков АС и CD. Запишем оба способа вычислить площадь фигуры, поставив между ними знак равенства: AB*AC+1/2BC2=(DE+AB)*1/2(AC+CD). Используем уже известное нам и описанное выше равенство отрезков, чтобы упростить правую часть записи: AB*AC+1/2BC2=1/2(АВ+АС)2. А теперь раскроем скобки и преобразуем равенство: AB*AC+1/2BC2=1/2АС2+2*1/2(АВ*АС)+1/2АВ2. Закончив все преобразования, получим именно то, что нам и надо:ВС2=АС2+АВ2. Мы доказали теорему.

Слайд 9

Не знаю, чем кончу поэму И как мне печаль избыть: Древнейшую теорему Никак я не в силах забыть. Стоит треугольник как ментор, И угол прямой в нем есть, И всем его элементам Повсюду почет и честь. Прелестная гипотенуза Взнеслась так смело в высь! И с нею в вечном союзе Два катета тоже взъелись. Она царит на квадратах, И песню поет она; Та песня влечет куда-то Геометров древних волна. И все на торжищах света, Как в огненном кольце, И все повторяют это: Ах, а2, b2 , с! И даже в холодной медузе Огонь эта песня зажгла, И все это гипотенузы И катетов двух дела! Пифагорова теорема

Слайд 10

Старинные задачи Над озером тихим С полфута размером Высился лотоса цвет. Он рос одиноко, И ветер порывом Отнёс его в сторону. Нет Боле цветка над водой. Нашёл же рыбак его Ранней весною В двух футах от места, где рос. Итак, предложу я вопрос: “Как озера вода здесь глубока?” Египетская задача о лотосе "На глубине 12 футов растет лотос с 13-футовым стеблем. Определите, на какое расстояние цветок может отклониться от вертикали, проходящей через точку крепления стебля ко дну."

Слайд 11

Старинные задачи Задача Бхаскари «На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой С теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в этом месте река В четыре лишь фута была широка Верхушка склонилась у края реки. Осталось три фута всего от ствола, Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: У тополя как велика высота?»

Слайд 12

Теорема Пифагора Если дан нам треугольник И притом с прямым углом, То квадрат гипотенузы Мы всегда легко найдем: Катеты в квадрат возводим, Сумму степеней находим — И таким простым путем К результату мы придем.

Слайд 13

Закон о катетах и гипотенузе Девятая книга трактата «Математика в девяти книгах» имеет название «Гоу-гу» — так назывались катеты прямоугольного треугольника, причем гоу — вертикальный катет (в буквальном переводе — «крюк»), гу — горизонтальный катет («ребро», «связка»). Все 24 задачи этой главы решаются по правилу «гоу-гу», связывающему катеты и гипотенузу прямоугольного треугольника, то есть по теореме Пифагора. В летописях отмечается, что пифагорова тройка 3; 4; 5 была известна в Китае около 2200 г. до н.э.

Слайд 14

Старинные задачи Имеется бамбук высотой в 1 чжан. Вершину его согнули так, что она касается земли на расстоянии 3 чи от корня (1 чжан = 10 чи). Какова высота бамбука после сгибания? Задача о бамбуке из древнекитайского трактата "Гоу-гу"

Слайд 15

Теорема Пифагора Мы узнали что-то снова – Теорему Пифагора! И её сквозь сотни лет, Продолжает знать весь всеет! Уж для этой теоремы И не жалко даже время Хочешь снова повторять. Говорить и напевать: “Пифагоровы штаны на все стороны равны!”

Слайд 16

Памятник Пифагору Памятник Пифагору находится в порту города Пифагория и напоминает всем о теореме Пифагора, наиболее известном его открытии. Катет, лежащий в основании треугольника - мраморный , гипотенуза и фигура самого Пифагора в виде второго катета - медные.

Слайд 17

Интерактивная Теорема Пифагора http://www.etudes.ru/ru/etudes/pifagor/

Слайд 18

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ! Да, путь познания не гладок, Но знаем мы со школьных лет, Загадок больше, чем разгадок, И поискам предела нет.