Неизвестные свойства трапеции
творческая работа учащихся по геометрии (9 класс)

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение гимназия №19

имени Н.З. Поповичевой г. Липецка

Название секции: Математика

 Название работы: Неизвестные свойства трапеции и её площади

Безрукавникова Ольга Игоревна,

Обучающаяся 9 класса

Руководитель проекта:

 Васильева Марина Анатольевна,

 учитель математики.

г.Липецк-2019

Содержание

                Проблема:

Некоторые задачи геометрии о трапеции гораздо легче решать, если знать свойства, которые не изучаются в школе.

Гипотеза:

Существуют дополнительные свойства трапеции и её площади, которые не доказываются в школьных учебниках, и которые могут полезны тем учащимся, которые собираются сдать ОГЭ и ЕГЭ на высший балл (ОГЭ №26; ЕГЭ №16).    

Цель работы:

Сформулировать и доказать дополнительные свойства трапеции и её площади.

Задачи:

• Сформулировать дополнительные свойства
• Доказать дополнительные свойства трапеции.
• Подобрать задачи, которые можно решить, используя данные свойства.

1. Теоретический материал

1.1 Определение и виды трапеций.

Трапеция – четырёхугольник, у которого только одна пара противолежащих сторон параллельна.

Виды трапеций

• Разносторонняя трапеция — это вид трапеции с неравными боковыми сторонами.

• Равнобедренная трапеция — это вид трапеции с равными боковыми сторонами.

Также встречаются такие названия, как равнобокая или равнобочная.

• Прямоугольная трапеция — это вид трапеции, где одна боковая сторона перпендикулярна основаниям.

1.2 Свойства трапеции

2.1. Сумма углов, прилегающих к боковой стороне трапеции равна 180°

Дано:                                            

ABCD-равноб. трап    

Доказать                       

 ∠B + ∠A = 180°            

Доказательство:

1. ABCD- трап.  ⇒                                       

BC||AD  

2.  BC||AD  

BA-секущая                                                                    

∠ B и ∠A (внутр одн.) | ⇒

∠B +∠A=180°     Ч.Т.Д                                                                                                                                                  

2.2 Свойства равнобедренной трапеции.

2.2. 1. В равнобедренной трапеции углы при основании равны.

Дано:                                                            

ABCD-равноб. трап.                                          

AB=CD                                                            

Доказать:                                    

 ∠A = ∠D                                                  

Доказательство:                                                                

1. Доп. постр BM ⊥ AD и CN ⊥ AD

2. BM⊥AD и CN ⊥ AD    |⇒ BM||CN

3.BM||CN и BC||AD |⇒ BCNM-параллелограмм

4.BCNM-паралл|⇒BC=MN и BM=CN

 5.В ∆ABM и ∆DCN (прямоугольные)

 AB=CD и BM=CN| ⇒∆ABM=∆DCN (по гипот. и катету)

6.∆ABM=∆DCN|⇒∠A=∠D (как эл равн. ∆)

Ч.Т.Д

2.2.2. Диагонали равнобедренной трапеции равны

Дано:                                                                      

ABCD-равноб. трап         

AB=CD  

AC⋂BD=O                                                                

Доказать:                                                          

AC=BD  

Доказательство:

1.ABCD-равноб. трап|⇒ 

∠B=∠C (по св. равноб. трап)

2.В ∆ABC и ∆DCB

AB=CD, ∠B=∠C,

BC-общая |⇒ ∆ABC=∆DCB|⇒                                                                   

AC=BD (как эл. равн ∆)

Ч.Т.Д

3. Подобные треугольники

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.

Признаки подобия треугольников:

• Первый признак подобия треугольников.

 Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.                                               

• Второй признак подобия треугольников. 

Если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны.

• Третий признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

4. Дополнительные свойства трапеции

4.1. Прямая, проходящая через точки пересечения диагоналей и точку пересечения боковых сторон трапеции, пересекает большее основание в его середине.

Дано:                                                                

ABCD-трап.                                                                

Доказать:                                                               

AM=MD    

Доказательство:

1.BC||AD      

PM-секущая                    ⇒

∠BNP и ∠AMP (cooтв.)

∠BNP = ∠AMP

2. BC||AD                                        

PA-секущая                       ⇒                                                   

∠PBN и ∠PAM (cooтв.)                          

∠PBN = ∠PAM                                          

3. В ∆BPN и ∆APM                                    

1) ∠BNP = ∠AMP      ⇒                                                           

2) ∠PBN = ∠PAM                                        

∆BPN ~ ∆APM                                              

4.BC||AD                                                                                                      

PM-секущая                     ⇒                     

∠CNP и ∠DMP (cooтв.)                            

∠CNP = ∠DMP                                            

5. BC||AD    

PD-секущая                    ⇒                                   

∠PCN и ∠PDM (cooтв.)                      

∠PCN = ∠PDM                            

6. В ∆NPC и ∆MPD                    

1) ∠CNP = ∠DMP      ⇒         

2) ∠PCN = ∠PDM                          

∆NPC ~ ∆MPD (по 2 уг.)          

7. ∆BPN ~ ∆APM    ⇒             

  ∆NPC ~ ∆MPD    ⇒      ⇒   

 8. BC||AD                                                                        

PM-секущая                             ⇒

∠KMA и ∠CNK (накр. леж.)

 ∠KMA = ∠CNK  

9. BC||AD

AC-секущая                              ⇒

∠MAK и ∠NCK (накр. леж.)                                        

∠MAK = ∠NCK  

10. В ∆AMK и ∆CNK

1) ∠KMA = ∠CNK          ⇒

2) ∠KAM = ∠NCK

∆AMK ~ ∆CNK

11. BC||AD  

 PM-секущая                          ⇒ 

∠DMK и ∠BNK (накр.леж.)

∠DMK = ∠BNK

12. BC||AD

BD-секущая                             ⇒

∠NBK и ∠KDM (накр. леж.)

∠NBK = ∠KDM

13. В ∆DMK и ∆BNK

1) ∠DMK = ∠BNK      ⇒

2) ∠NBK = ∠KDM

∆DMK ~ ∆BNK (по двум углам)  

14. ∆AMK ~ ∆CNK   ⇒

∆DMK ~ ∆BNK    ⇒         ⇒

15. Из п.14 следует, что      

16. Из п.7 следует, что                ⇒

    ⇒       

  ⇒

  ⇒

DM2=AM2    ⇒ 

DM=AM                       Ч.Т.Д

4.2.  Середины оснований трапеции, точка пересечения боковых сторон и точка пересечений диагоналей трапеции лежат на одной прямой.

Дано:                                                                    

ABCD-трап.                                        

BM=MC                                                  

AN=ND                                                                                                    

BC||AD                                                                                                                                                                                          

Доказать:                                                                          

M ∊ a, N ∊ a, O ∊ a  

Доказательство:

1.Доп. постр. MK, где точка К точка пересечения боковых сторон, K ∊ a

2. BC||AD

KA-секущая                      ⇒                                   

∠KBM и ∠KAN(соотв.)      

∠KBM = ∠KAN                                          

3.В ∆BKM и ∆AKN     

1) ∠AKN-общий                                        

2) ∠KBM = ∠KAN     ⇒                             

∆BKM ~ ∆AKN     ⇒                 

4. BC||AD                                        

KD-секущая                    ⇒                                                     

∠KCM и ∠KDN(соотв.)

∠KCM = ∠KDN                

5. В ∆CKM и ∆DKN                    

1) ∠DKN-общий        ⇒               

2) ∠KCM = ∠KDN                                

∆CKM ~ ∆DKN ⇒                                   

6.  

       ⇒

7.    ⇒

BM=MC

AN=DN

8. AN=DN |⇒

N-середина AD |⇒

KN-медиана

9.  BM=MC |⇒

M- середина BC |⇒

KM-медиана            

10. Из п.8 и 9 следует, что M∊a и N∊a.

11. Из п. 5 и 6 следует, что

12. KN-медиана

KM-медиана                 ⇒

O- точка пересечения диагоналей

O∊a

13. Из п. 10, 11, 12 следует, что M ∊ a, N ∊ a, K∊a и O∊a

Ч.Т.Д

4.3. В трапеции длина отрезка, соединяющего середины диагоналей, равна полу разности длин оснований этой трапеции.

Дано:                                                                      

ABCD- трап.                                            

AP=PC                                                                                                                          

DQ=QB                                                                      

AC, BD- диагонали

BD ∩ AC=O                                                                            

Доказать:   

Доказательство:

1. Дополнительное построение

M∊AB, N∊CD, AM=MB, DN=NC

2. В ∆ABC

AM=MB     ⇒

AP=PC

MP-средняя линия ∆ABC |⇒

MP || BC

3. В ∆BCD

AN=NC      ⇒

BQ=DQ

QN-средняя линия ∆BCD |⇒

QN||BC

4. В ABCD

AM=MB         ⇒

DN=NC

MN-средняя линия ABCD|⇒

MN||BC

5. MP || BC

QN || BC       ⇒

MN || BC

P∊MN

Q∊MN

6. P∊MN

Q∊MN     ⇒

PQ=MN-(MP+NQ)

7. (по св.ср.лин. в трап.)

(по св.ср.лин. в ∆)                   ⇒

(по св.ср.лин. в ∆)

Ч.Т.Д

5.Дополнительные свойства площади трапеции

5.1 Площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой перпендикулярны, равна квадрату ее высоты.

Дано:                                                                      

ABCD- равноб.трап.                                            

MN-высота                                                                                                                          

BD, CA-диаг.                                                                      

BD⊥CA                                                                                    

O∊MN                                                                                      

BD ∩ AC=O                                                                            

Доказать: 

SABCD=MN2    

Доказательство:

1.ABCD- равноб. трап ⇒                                                             

AB=СD

 BC||AD

 AC=BD

2.ABCD- р/б. трап

AC=BD                        ⇒

BO=OC, AO=OD                                                                              

BD ∩ AC=O

3.В ∆BOC                                  

BO=OC      ⇒                           

∆BOC-равноб.                              

4. В ∆AOD                                

AO=OD        ⇒                       

∆AOD-равноб.                      

5.∆BOC-равноб.                  

MN⊥BC-высота ⇒             

MO-медиана                        

6. ∆AOD-равноб                          

MN⊥AD-высота ⇒                     

ON-медиана.

7. BO⊥CA

∆BOC-прямоуг. ⇒

OM-медиана |⇒

OM=BM=MC (по св. прямоуг ∆) |⇒     

8. DO⊥CA

∆AOD-прямоуг ⇒

ON-медиана |⇒

ON=AN=ND (по св. прямоуг ∆) |⇒               

9.   ==(ON+OM) * MN= MN*MN=MN2|⇒ SABCD=MN2   Ч.Т.Д    

 Вывод:

При выполнении исследовательской работы мною найдены и доказаны три свойства трапеции, не изучаемых в школьном курсе геометрии. Найдена и доказана дополнительная формула для нахождения площади равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями. Мною подобраны и решены задачи на применение данных свойств. Считаю, что материал работы, начиная с параграфа 4, является пособием для учащихся 9,11 классов, которые возьмутся за решение задачи №26 в ОГЭ или за решения задачи №16 в ЕГЭ. А это те учащиеся, которые собираются получить наибольший балл на ОГЭ и ЕГЭ. Считаю, что моя гипотеза полностью подтверждена.

Список использованной литературы.

• Учебник геометрии 7-9 Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э.Г. Позняк, И.И. Юдина, Просвещение 2016 г.
• Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы М.И. Сканави, Дрофа 2008 г.
• Д.А. Мальцев, А.А. Мальцев, Л.И. Мальцева Народное образование, Москва, 2018 г.
• http://ru.solverbook.com/spravochnik/svojsсtva/svojstva-trapecii/
• http://www.treugolniki.ru/ploshhad-ravnobedrennoj-trapecii/