Презентация: "Окружность девяти точек"
презентация урока для интерактивной доски по геометрии (9 класс)

Слайд 2

Опорные знания Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам Вписанный угол, опирающийся на полуокружность прямой

Слайд 3

Построение фигуры Построим произвольный треугольник К каждой его стороне проведем высоту K, L, M – середины отрезков AH, BH, CH, лежащих на высотах

Слайд 4

Эвристическая беседа Рассмотрим треугольники ABC и HBC Соединим точки L и M . Что можно сказать об этом отрезке? Построим среднюю линию треугольника ABC . Что можно о ней сказать? Какие выводы следует сделать?

Слайд 5

Эвристическая беседа Рассмотрим треугольники ABH и HAC Что можно сказать об отрезках C’L и B’M ? Какие выводы можно сделать, аналогичные предыдущему случаю? Рассмотрим четырехугольник B’C’LM . Какими свойствами он обладает? Что можно сказать о четырехугольниках A’B’KL и C’A’MK ?

Слайд 6

Эвристическая беседа Рассмотрим четырехугольники B’C’LM , A’B’KL и C’A’MK . Что можно сказать об их диагоналях? Чем они являются? Рассмотрим углы ADC, BEC, CFB. Каким свойством они обладают?

Слайд 7

Выдвижение гипотезы Рассмотрим следующие точки: Основания трех высот произвольного треугольника; Середины трех его сторон; Середины трех его отрезков, соединяющие его вершины с ортоцентром. Как они связаны между собой? Сформулируем теорему об этих девяти точках Основания трех высот произвольного треугольника, середины трех его сторон и середины трех его отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат все на одной окружности радиуса R . Теорема

Слайд 8

План 1. C’B’ = LM = BC . 2. C’L = B’M = AH . 3. B’C’LM – прямоугольник. 4. A’K , B’L , C’M – 3 диаметра окружности. 5. окружность проходит через точки D , E и F .

Слайд 9

Сл-но, C’B’ II LM II BC , C’B’ = LM = BC (по теореме о средней линии треугольника) Доказательство BC – общая сторона ABC , HBC ; C’A= C’B, B’A=B’C, LH=LB, MH=MC . C’L II B’M II AH , C’L = B’M = AH (по теореме о средней линии треугольника) AH - общая сторона BAH , HAC . Сл-но, B’C’LM – параллелограмм. Т.к. BC AH , то B’C’LM – прямоугольник. Ан-но, A’B’KL , C’A’MK – прямоугольники.

Слайд 10

Сл-но, окружность, построенная на отрезке A’K , как на диаметре, проходит через точки D , E и F . Доказательство Сл-но, A’K , B’L , C’M – 3 диаметра окружности. A’DK = (по теореме о вписанном угле, опирающимся на диаметр окружности) A’K = B’L = C’M и делятся точкой N пополам (свойство диагоналей прямоугольника)

Слайд 11

Подумай – ка Какой является окружность по отношению к данному треугольнику?

Слайд 12

Немного из истории Полученную окружность называют окружностью девяти точек. Данная теорема иногда приписывается Эйлеру. Европейские авторы часто называют эту окружность «окружностью Эйлера». По теореме Эйлера центр окружности девяти точек лежит на прямой Эйлера, точно в середине отрезка между ортоцентром и центром описанной окружности. Также полученную окружность называют «окружностью Фейербаха». Теорема Фейербаха утверждает, что окружность девяти точек касается вписанных и всех вневписанных окружностей.

Слайд 14

А С В H K M L F E D

Слайд 15

А С В H K M L C’ B’ F E D

Слайд 16

А С В H K M L C’ B’ A’ F E D

Слайд 17

А С В H K M L C’ B’ A’ F E D

Слайд 18

А С В H K M L C’ B’ F E D A’ N

Слайд 19

А С В H K M L C’ B’ F E D A’ N

Слайд 20

А С В H K M L C’ B’ F E D A’ N

Слайд 21

А С В H K M L C’ B’ F E D A’ N

Слайд 22

А С В H K M L C’ B’ F E D A’ N O