Презентация к внеурочному занятию "Теорема Вариньона и ее применение"
презентация к уроку по геометрии (8 класс)

Слайд 1

Слайд 2

Пьер Вариньон (1654–1722 ) Пьер Вариньон родился во Франции в 1654 году. Обучался в иезуитском коллеже и университете в Кане, где стал магистром в 1682 году. Вариньон готовился к религиозной деятельности, но, изучая сочинения Эвклида и Декарта, увлекся математикой и механикой. Труды Вариньона посвящены теоретической механике, анализу бесконечно малых величин, геометрии, гидромеханике и физике . В 1687 Вариньон представил в Парижскую Академию наук сочинение «Проект новой механики...», в котором сформулировал закон параллелограмма сил. В 1725 в Париже был издан трактат Вариньона «Новая механика или статика», представляющий собой систематическое изложение учения о сложении и разложении сил, о моментах сил и правилах оперирования ими, почти без изменений сохранившееся в учебниках статики до нашего времени. Написал учебник по элементарной геометрии.

Слайд 3

Бимедианы четырехугольника – это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон

Слайд 4

Теорема Вариньона Четырехугольник , образованный путем последовательного соединения середин сторон выпуклого четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади данного четырехугольника . Такой параллелограмм называется параллелограммом Вариньона данного четырехугольника

Слайд 5

Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике а ) диагонали перпендикулярны; б ) бимедианы равны. Следствие 1

Слайд 6

Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике диагонали равны; бимедианы перпендикулярны. Следствие 2

Слайд 7

Параллелограмм Вариньона является квадратом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике а ) диагонали равны и перпендикулярны; б ) бимедианы равны и перпендикулярны. Следствие 3

Слайд 8

Бимедианы четырехугольника и отрезок, соединяющий середины диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Следствие 4

Слайд 9

Теорема Эйлера Для четырехугольника сумма квадратов всех сторон равна сумме квадратов диагоналей плюс учетверённый квадрат отрезка, соединяющего середины диагоналей, то есть

Слайд 10

Теорема о бабочках Суммы площадей накрест лежащих четырехугольников, образованных пересечением бимедиан LN и KM выпуклого четырехугольника ABCD равны.

Слайд 11

Теорема Медианы в треугольнике пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2:1, считая от вершины.

Слайд 12

Задача 1 У четырехугольника диагонали равны a и b. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

Слайд 13

Докажите, что если диагонали четырехугольника равны, то его площадь равна произведению бимедиан . Задача 2

Слайд 14

В выпуклом пятиугольнике ABCDE середины сторон AB и CD, BC и DE соединены отрезками. K, L – середины этих отрезков. Доказать, что отрезок KL параллелен пятой стороне AE и составляет ¼ от неё. Задача 3

Слайд 15

Докажите, что сумма квадратов диагоналей четырёхугольника в два раза больше суммы квадратов его бимедиан Задача 4

Слайд 16

Диагонали четырёхугольника ABCD равны d 1 и d 2 , а бимедианы равны между собой. Найдите площадь четырёхугольника Задача 5

Слайд 17

Докажите, что все четырёхугольники, имеющие общие середины сторон, равновелики Задача 6