Дидактический материал по подготовке к ЕГЭ.
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (10, 11 класс)

Объем пирамиды и объём конуса

Вариант 1

1.В правильной треугольной пирамиде медианы основания пересекаются в точке . Площадь треугольника равна 3, объем пирамиды равен 1. Найдите длину отрезка .

2.Объем параллелепипеда  равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды .

3. Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в четыре раза?

4.Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна .

5. Диаметр основания конуса равен 6, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на .

6. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12, объем равен 200. Найдите боковое ребро этой пирамиды.

7. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , правильной шестиугольной призмы , площадь основания которой равна 9, а боковое ребро равно 4.

8. Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

Объем пирамиды и объём конуса

Вариант 2

1.В правильной треугольной пирамиде медианы основания пересекаются в точке . Объем пирамиды равен 1, . Найдите площадь треугольника

2. Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 12. Точка E — середина ребра SB. Найдите объем треугольной пирамиды EABC.

3. Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус основания увеличить в 1,5 раза?

4. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объем равен .

5. Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника вокруг катета, равного 6. Найдите его объем, деленный на .

6. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 2, боковое ребро равно 4. Найдите объем пирамиды.

7. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , , , , , правильной шестиугольной призмы , площадь основания которой равна 5, а боковое ребро равно 4.

8.Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

Объём призмы и цилиндра

Вариант 1.

1.Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).

2. В цилиндрический сосуд налили воды. Уровень жидкости оказался равным 12 см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 9 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в .

3. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в раза больше, чем у первого? Ответ выразите в см.

4. Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности.

5. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности увеличится на 54. Найдите ребро куба.

6. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 5, а высота — 10.

7. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.

8. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна и образует углы 30, 30 и 45 с плоскостями граней параллелепипеда. Найдите объем параллелепипеда.

Объём призмы и цилиндра

Вариант 2

1 Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).

    2. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 2300  воды и полностью в нее погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся с отметки 25 см до отметки 27 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в

3.  В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 32 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 4 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.

4. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 4, 6, и 9. Найдите ребро равновеликого ему куба.

5. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности увеличится на 30. Найдите ребро куба.

6. Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 6 и 8, и боковым ребром, равным 10.

7. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 5. Объем призмы равен 30. Найдите ее боковое ребро.

8. Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 5. Найдите объем исходной призмы.

Прямоугольный параллелепипед.

Вариант 1

№1. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

№2.Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

№3.Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ.

№4.Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности увеличится на 54. Найдите ребро куба.

№5.Во сколько раз увеличится площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если все его рёбра увеличить в 5 раз?

№6.Найдите расстояние между вершинами В1и D2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

№7. Найдите угол  DB1A1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB=13, AD=5,  AA1=12. Ответ дайте в градусах.

№8.В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1  известны длины рёбер: AB=24, AD=10,   AA1=22. Найдите площадь сечения, проходящего через вершины  A,  A1 и C.

№9. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1  известны длины рёбер  AB=8, AD=6,   AA1=21. Найдите синус угла между прямыми CD и A1C1.

Прямоугольный параллелепипед.

Вариант 2

№1. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

№2Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

№3.Площадь поверхности куба равна 32. Найдите его диагональ.

№4.Если каждое ребро куба увеличить на 2, то его площадь поверхности увеличится на 192. Найдите ребро куба.

№5.Во сколько раз увеличится площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если все его рёбра увеличить в 3 раза?

№6.Найдите расстояние между вершинами A и C2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

№7. Найдите угол  BD1B1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB=12, AD=9, AA1. Ответ дайте в градусах.

№8.В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1  известны длины рёбер: AB=35, AD=12,  AA1=43. Найдите площадь сечения, проходящего через вершины  B,  B1 и D.

№9.В прямоугольном параллелепипеде  ABCDA1B1C1D1  известны длины рёбер  AB=31, AD=12,  AA1=9. Найдите синус угла между прямыми  DD1 и B1C.