10-ГЕОМЕТРИЯ Аксиомы стереометрии и следствия из них
учебно-методический материал по геометрии (10 класс) на тему

Тема: Аксиомы стереометрии и их следствия

Урок: Решение задач на применение аксиом и их следствий (разные задачи)

1. Напоминание аксиом стереометрии и теорем, которые следуют из них 

Аксиомы стереометрии и следствия из них устанавливают взаимоотношения между основными фигурами стереометрии: точкой, прямой и плоскостью.

Точка может лежать на прямой, может не лежать на прямой.

Прямая может принадлежать плоскости, может не принадлежать плоскости.

Плоскость может проходить через прямую, не проходить через нее, содержать точку, не содержать точку. 

Подобные задачи мы решали для пирамиды и для параллелепипеда. Теперь мы будем решать задачи в общем виде.

Вспомним для этого сначала аксиомы и теоремы-следствия.

Аксиома 1 (А1)

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. 

Иллюстрация аксиомы А1.

Рис. 1.

Рассмотрим три точки: А, В, С, причем точка С не принадлежит прямой АВ: (Рис. 1.). Тогда через три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость , и притом только одна. Плоскость  можно также обозначить через три точки АВС.

Аксиома 2 (А2)

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. 

Иллюстрация аксиомы А2. (Рис. 2.)

Рис. 2.

Аксиома 3 (А3).

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей (плоскости пересекаются по прямой).

Иллюстрация аксиомы А3. (Рис. 3.)

Рис. 3.

Повторение теорем, которые следуют из аксиом стереометрии.

Теорема 1

Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Иллюстрация теоремы 1. (Рис. 4.)

Рис. 4. 

   единственная

Теорема 2

Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Иллюстрация теоремы 2. (Рис. 5.)

Рис. 5.

2. Решение задачи 1

Задача 1.

Даны две прямые, которые пересекаются в точке М. Докажите, что все прямые, не проходящие через точку М и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости (Рис. 6.).

Рис. 6.

Решение:

Нам даны две прямые а и b, которые пересекаются в некоторой точке М. Возьмем произвольную прямую с, которая не проходит через точку М, но пересекает исходные прямые а и b в точках А, В, соответственно.

Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна, согласно 2 теореме. Значит через пересекающиеся прямые а и b проходит единственная плоскость, обозначим ее .

Две разные точки А и В  прямой с принадлежат плоскости . А из того, что две точки прямой принадлежат плоскости, вытекает, что все точки прямой принадлежат плоскости, т.е. вся прямая лежит в плоскости. Значит, прямая с принадлежит этой плоскости.

Таким образом, мы доказали, что все прямые, пересекающие А и В, но не проходящие через М, лежат в одной плоскости. 

3. Решение задачи 2

Три данные точки соединены попарно отрезками. Докажите, что все отрезки лежат в одной плоскости.

Решение:

Пусть нам даны три точки: А, В, и С. Нужно доказать, что отрезки АВ, ВС, СА лежат в одной плоскости (Рис. 7.).

Рис. 7.

Если точка С лежит на прямой АВ, то ответ очевиден. Предположим, что точка С не принадлежит прямой АВ. Тогда через три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна, в силу аксиомы 1. Обозначим эту плоскость

Прямая АВ целиком лежит в плоскости , потому что две ее точки лежат в этой плоскости. Но, значит, и отрезок АВ лежит в плоскости .

Аналогично и с другими отрезками. Прямая ВС лежит в плоскости , потому что две ее точки В и С лежат в плоскости, значит, и отрезок ВС лежит в плоскости .

И аналогично, отрезок АС лежит в плоскости . Что и требовалось доказать. 

4. Решение задачи 3

Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли 2 другие вершины параллелограмма в плоскости ?

Решение:

Рис. 8.

Пусть дан параллелограмм АВСD. Известно: точка А, точка В, точка О – точка пересечения диагоналей, лежат в плоскости . Нужно проверить, лежат ли вершины С и D лежат также в этой плоскости.

Через три точки А, В и О проходит плоскость, и притом только одна. Это плоскость . Прямая АО целиком лежит в этой плоскости, потому что две ее точки лежат в плоскости. Значит, точка С, точка прямой АО, лежит в плоскости .

Аналогично, прямая ВО целиком лежит в плоскости , значит, точка D этой прямой тоже лежит в плоскости .

Ответ: Да, вершины С и D лежат в плоскости .

5. Решение задачи 4

Дана прямая и точка, не лежащая на этой прямой. Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку и пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости.

Рис. 9.

Решение:

Нам дана прямая а и некоторая точка М, которая не лежит на этой прямой. Нам нужно доказать, что все прямые, которые проходят через точку М и пересекают прямую а лежат в некоторой единственной плоскости.

Мы знаем, что в силу 1 теоремы через прямую а и точку М проходит единственная плоскость, обозначим через . Теперь возьмем произвольную прямую, которая проходит через точку М и пересекает прямую а, например, в точке А. Прямая МА лежит в плоскости , потому что две ее точки М и А, лежат в этой плоскости. Значит, и вся прямая лежит в плоскости , в силу 2 аксиомы.

Итак, мы взяли произвольную прямую, которая удовлетворяет условиям задачи, и доказали, что она лежит в плоскости . Значит, все прямые, проходящие через точку М и пересекающие прямую а лежат в плоскости , что и требовалось доказать.

6. Решение задачи 5

Верно ли утверждение:

а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости;

б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости?

Рис. 10.

Решение:

а) Пусть дана окружность и точки А, В, С. В случае если только две точки В и С принадлежат некоторой плоскости, то совсем необязательно, что и любая другая точка окружности лежит в этой плоскости. Поэтому, данное утверждение неверно. 

Ответ: нет.

б) Даны три точки окружности  А, В, и С. В силу аксиомы 1, через эти три различные точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Назовем эту плоскость .

Теперь докажем, что любая точка М окружности лежит в плоскости . Соединим М с А, получим точку D. Вся прямая АD лежит в плоскости , потому что две ее точки А и D лежат в плоскости . Значит, и точка М окружности лежит в плоскости . Значит, данное утверждение верно. 

Ответ: да.

7. Решение задачи 6

Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости (Рис. 11.).

а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?

б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?

Рис. 11.

Решение:

а) Предположим, что любые три точки, например, А, В, С лежат на одной прямой. Тогда через эту прямую и точку Dпроходит плоскость, и все 4 точки лежат в этой плоскости, что противоречит условию;

Ответ: нет.

б) Нет, так как через пересекающиеся прямые можно провести плоскость, а тогда, в этой плоскости содержатся все 4 точки, что противоречит условию.

Ответ: нет.

8. Решение задачи 7

а) Верно ли, что любые 3 точки лежат в одной плоскости?

Рис. 12.

Через 3 точки, если они не лежат на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну, в силу аксиомы А1.

Ответ: да.

б) Верно ли, что любые 4 точки лежат в одной плоскости?

Рис. 13.

Через 3 точки можно провести плоскость, а 4 точку можно взять и в этой плоскости, и вне нее. Значит, ответ отрицательный.

Ответ: нет.

в) Верно ли, что любые 4 точки не лежат в одной плоскости?

Рис. 14.

Приведем конкретный пример. Рассмотрим плоский четырехугольник, в плоскости этого четырехугольника лежат 4 точки. Итак, ответ на этот вопрос отрицательный, нет.

Ответ: нет.

г) Верно ли, что через любые 3 точки проходит плоскость, и притом только одна?

Рис. 15.

Приведем пример. Возьмем 3 точки А, В, С, лежащие на одной прямой. Через них можно провести плоскость , плоскость . Через 3 точки, лежащие на одной прямой, можно провести бесконечное количество плоскостей.

Ответ: нет

9. Итоги урока

Итак, мы еще раз подытожили наши знания о стереометрии, а именно: прокомментировали три аксиомы, и два следствия из нее. И, кроме того, решили самые разнообразные задачи с использованием этих знаний.

Далее и аксиомы, и следствия будут использованы на следующих уроках при решении вопросов параллельности прямых и плоскостей.

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Фестиваль педагогических идей "Открытый урок" (Источник).

2. Obmir.​ru (Источник).

3. Якласс (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

Задание 1, стр. 11,

Задание 6, стр. 12.

2. Докажите, что через прямую можно провести две различные плоскости.

3. Докажите, что если прямые AB и CD не лежат в одной плоскости, то и прямые AC и BD также не лежат в одной плоскости.

4. Даны четыре точки. Известно, что прямая, проходящая через любые две из этих точек, не пересекается с прямой, проходящей через другие две точки. Докажите, что данные четыре точки не лежат в одной плоскости.