Понятие правильного многогранника
план-конспект урока по геометрии (10 класс) на тему

Государственное образовательное учреждение

Луганской народной Республики

«Семейкинская средняя общеобразовательная школа - детский-сад №31»

Понятие правильного многогранника 

(урок-семинар, 10 класс, геометрия)

Учитель математики

Шершнева А. В.

2017

Урок 38-39 «Понятие правильного многогранника»

Цели урока:

• ввести понятие правильного многогранника, выяснить, какими свойствами обладают правильные многогранники, познакомиться с формулой Эйлера; учить, используя свойства правильных многогранников, решать практические задачи

• наблюдательность, внимательность умение самостоятельно мыслить, грамотно и логично излагать полученные сведения,

• самостоятельность в познании, умение работать в группе, проявлять взаимопомощь и чувствовать ответственность за общую работу; повышать уровень учебной мотивации

Тип урока: изучение новой темы

Ход урока:

1. Организационный момент.

Учащиеся рассаживаются по группам (всего групп 3, в группе 2 человека). Приветствие учащихся, проверка готовности к уроку, вступительное слово учителя, название темы, целей урока.

Сегодня на уроке мы узнаем, какие многогранники называются правильными, сколько их существует в природе, какими свойствами эти тела обладают. Вычислим площадь поверхности этих многогранников.

2) Актуализация опорных знаний и умений. 

1. В начале урока нас ждёт небольшая разминка. Вам необходимо ответить устно на вопросы:

1. Приведите примеры правильных многоугольников
2. Дайте определение правильному многоугольнику
3. Сколько существует правильных многоугольников
4. По какой формуле вычисляется сумма всех углов выпуклого многоугольника? (n – 2)*1800
5. Как найти угол правильного многоугольника?
6. Вычислите угол правильного десятиугольника
7. Какую фигуру называют многогранником
8. Приведите примеры известных вам многогранников

2) Исторические сведения (выступление двух учащихся).

Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности - от двухлетнего ребенка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика. Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие - в виде вирусов, которые можно рассмотреть с помощью электронного микроскопа. Что же такое многогранник?

Для ответа на этот вопрос напомним, что собственно геометрию определяют иногда как науку о пространстве и пространственных фигурах - двумерных и трехмерных. Двумерную фигуру можно определить как множество отрезков прямых, ограничивающих часть плоскости. Такая плоская фигура называется многоугольником. Из этого следует, что многогранник можно определить как множество многоугольников, ограничивающих часть трехмерного пространства.

Издавна ученые интересовались "идеальными" или правильными многоугольниками, то есть многоугольниками, имеющими равные стороны и равные углы. Правильным многоугольником является равносторонний треугольник, квадрат (четыре стороны), пентагон (пять сторон), гексагон (шесть сторон), октагон (восемь сторон), декагон (десять сторон) и т.д. Число правильных многоугольников бесконечно.

Что же такое правильный многогранник? Правильные многогранники иногда называют Платоновыми телами, поскольку они занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном (ок. 428 – ок. 348 до н.э.).

Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» - огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников. Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени; икосаэдр – как самый обтекаемый – воду; куб – самая устойчивая из фигур – землю, а октаэдр – воздух. В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества - твёрдым, жидким, газообразным и пламенным. Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим.

3 Мотивация урока.

Ребята, перед нами

Проблема: мы не знаем, какой многогранник называется правильным и какими свойствами он обладает.

Чтобы разрешить существующую проблему, нам нужно выполнить

Задачи:

• исследовать модель каждого правильного многогранника (рассмотреть, посчитать грани, вершины, рёбра)
• склеить модель самостоятельно из предложенной развёртки
• вычислить площадь грани и площадь полной поверхности правильного многогранника
• дать определение исследуемому многограннику
• объединить сведения, полученные в группах и оформить – газету «Правильные многогранники и их свойства»

Выполнив задания в группах, мы объединим все полученные вами данные в ходе исследования.

Дадим точное определение правильному многограннику и перечислим его свойства. Вся информация будет отражена в нами созданной газете Продукт: газета «Правильные многогранники». На ней название, пять страничек со сведениями о каждом многограннике, прикреплённая модель, сделанная на уроке, страничка с определением правильного многогранника Газета может быть вывешена в холле для всеобщего обозрения.

Каждой группе даётся модель одного из правильных многогранников, его развёртка, клей, ножницы, карточка «Задание для группы», карточка «Вопросы для группы». Указывается номер компьютера, на котором учащиеся будут создавать свой слайд. Учащиеся приступают к выполнению задания. Важно, чтобы ребята, познакомившись с заданием, распределили роли в группе и работали дружно. Например: один ученик вырезает развёртку и склеивает модель многогранника, два ученика отвечают на вопросы карточки, двое готовят презентационный слайд.

4.Изучение нового материала.

4) Презентация полученных результатов (выступление учащихся по группам)

Выступление первой группы.

Нам было предложено исследовать правильный многогранник – тетраэдр.

Тетраэдр принадлежит к семейству Платоновых тел. Он составлен из четырёх равносторонних треугольников. Каждая вершина тетраэдра является вершиной трёх треугольников. Равносторонние треугольники являются гранями тетраэдра, вершины равносторонних треугольников – вершинами тетраэдра, стороны равносторонних треугольников – ребрами тетраэдра. У  правильного тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 ребер.

Мы измерили длину ребра тетраэдра, вычислили площадь грани, площадь полной поверхности многогранника,  склеили модель тетраэдра, создали слайд.

Наша карточка:

Выступление второй группы:

Нам было предложено исследовать правильный многогранник – октаэдр.

Октаэдр принадлежит к семейству Платоновых тел, то есть правильных выпуклых многогранников. Он составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной четырех треугольников. Каждый равносторонний треугольник является гранью октаэдра, каждая вершина равностороннего треугольника – вершиной октаэдра, каждая сторона равностороннего треугольника – ребром октаэдра. Таким образом, октаэдр имеет 8 граней, 6 вершин и 12 ребер.

Мы измерили длину ребра октаэдра, вычислили площадь грани, площадь полной поверхности многогранника, склеили модель октаэдра, создали слайд.

Наша карточка:

Выступление третьей группы:

Нам было предложено исследовать правильный многогранник – куб.

Из семейства Платоновых тел, куб самый популярный. Куб иногда называют гексаэдром (шестигранником). Он составлен из шести квадратов. Каждая его вершина является вершиной трёх квадратов. Таким образом, куб имеет шесть граней, восемь вершин и двенадцать рёбер.

Мы измерили длину ребра куба, вычислили площадь грани, площадь полной поверхности многогранника, склеили модель куба, создали слайд.

Наша карточка:

5) Обобщение полученных данных

Вы прослушали информацию о пяти правильных многогранниках и заполнили таблицу. А теперь, попробуйте дать определение правильного многогранника? (Правильный многогранник – выпуклый многогранник, все грани которого – равные правильные многоугольники.)

Посмотрите на таблицу

В ней содержатся данные о количестве граней, рёбер и вершин всех пяти правильных многогранников. Последний столбик содержит формулу, где В – вершина, Г – грань, Р – ребро. Используйте эту формулу для каждого многогранника и назовите результат в каждой ячейке. (2) Данная формула называется формулой Эйлера. Теорема Эйлера о соотношении между числом вершин, ребер и граней выпуклого многогранника, доказательство которой Эйлер опубликовал в 1758 г. в «Записках Петербургской академии наук», окончательно навела математический порядок в многообразном мире многогранников.

Ученикам предлагается решить задачу и оформить её решение в тетради.

Задача: Докажите, что не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и вообще n-угольники при .

Леонард Эйлер доказал это в 18 веке.

Доказательство:  

1. итоги урока

Тест

2. Домашнее задание: стр 70, п 35-37, №278, 280