Подготовка к ОГЭ. "Параллелограмм"
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (9 класс) на тему

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ. ОГЭ 2018г.

Памятка.

Четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны, называется параллелограммом.

Свойства:

• В параллелограмме противоположные стороны равны.
• В параллелограмме противоположные углы равны.
• В параллелограмме сумма углов, прилегающих к одной стороне, равна 180°.
• Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
• Диагональ параллелограмма делят его на два равных треугольника.

Признаки:

• Если диагонали четырехугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм.
• Если в четырехугольнике две противоположные стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник параллелограмм.
• Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник параллелограмм.
• Если в четырехугольнике противоположные углы попарно равны, то этот четырехугольник параллелограмм.

Свойство диагоналей параллелограмма:

• Диагонали параллелограмма пересекаются и в точке пересечения делятся пополам.

Свойство противоположных сторон и углов параллелограмма:

• У параллелограмма противоположные стороны и углы равны.

Это интересно:

• Если провести биссектрисы двух противоположных углов параллелограмма, то они будут параллельны или совпадут.
• Если провести биссектрисы двух углов, прилегающих к одной стороне параллелограмма, то они будут перпендикулярны.

Площадь параллелограмма.

S = ah,    S = d1d2sin,   S = absin, гдеa,b- стороны,  – угол между сторонами.

Если в четырехугольник вписана окружность, то суммы противоположных сторон равны.

АD + BC = AB + CD.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ.

Задание №18.

1.1.Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 26°  и 34°. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

2.Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 33°  и  11°. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

3. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 24° и 47° . Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

2.1. В параллелограмме ABCD  диагональ АС в 2 раза больше стороны АВ и  ACD = 104°. Найдите острый угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение.  Пусть CD = x, тогда и ОС = х, ОС = СD, ОСD– равнобедренный.

СОD = (180 – 104): 2 = 38

2. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD=1°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

3. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD=166°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

3.1.Высота BH параллелограмма ABCD делит его сторону AD на отрезки AH = 1  и HD = 28. Диагональ параллелограмма BD равна 53. Найдите площадь параллелограмма.

Решение.AD = 1 + 28 = 29.   BH =  =  =  = = 45.

S = AH•BH, S = 29•45 = 1305.

2. Высота BH параллелограмма ABCD делит его сторону AD на отрезки AH=1 и HD=63. Диагональ параллелограмма BD равна 65. Найдите площадь параллелограмма.

3. Высота BH параллелограмма ABCD делит его сторону AD на отрезки AH=8 и HD=40. Диагональ параллелограмма BD равна 50. Найдите площадь параллелограмма.

4.1. Найдите величину острого угла параллелограмма ABCD, если биссектриса угла Aобразует со стороной BC угол, равный 15°. Ответ дайте в градусах.

2. Найдите величину острого угла параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 33°. Ответ дайте в градусах.

3. Найдите величину острого угла параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 41°. Ответ дайте в градусах.

5.1. Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

  2.

6.1. Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 30° и 45°. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

2. Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 50° и 85°. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Задание №19

7. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь.

1.  2.  3.

8.1. Площадь параллелограмма ABCD равна 24. Точка E – середина стороны CD. Найдите площадь трапеции ABED.

Решение. Пусть DE = x, тогда АВ = 2х,  Sтрапеции = •h =

Sпаралл. = CD•h = 2x•h = 24, xh = 12, тогдаSтр=  = 18

19.Площадь параллелограмма  равна 189. Точка  — середина стороны . Найдите площадь трапеции .

20. Площадь параллелограмма  равна 123. Точка  — середина стороны . Найдите площадь трапеции .

РЕШИТЕ САМОСТОЯТЕЛЬНО.

1. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 52°  и 10°. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

2. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD=173°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

3. Высота BH параллелограмма ABCD делит его сторону AD на отрезки AH=7 и HD=24. Диагональ параллелограмма BD равна 51. Найдите площадь параллелограмма.

4. Найдите величину острого угла параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 40°. Ответ дайте в градусах.

5. Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65° и 50°. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

II часть.

II часть.

1.Биссектриса угла  параллелограмма  пересекает сторону  в точке . Найдите периметр параллелограмма, если , .

Решение.

АК - биссектриса, поэтомуВАК=КАD, а КАD= ВКА (как накрест лежащие при параллельных прямых), поэтому треугольник ВАК - равнобедренный, ВА=BK=7, а стороны ВС=АD=7+12=19, отсюда P=2(19 + 7) =52.

2.Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK=5, CK=14. Ответ. 38