Расстояние в пространстве
методическая разработка по геометрии (10 класс) на тему

Слайд 1

Слайд 2

Расстояние между двумя точками А В

Слайд 3

Задача 1. Найдите расстояние между точками Р и Н – серединами скрещивающихся рёбер: а) куба с ребром, равным а; Решение. а) (рис. 1) Р К  А D , А K = KD ∆ РК Н  K = 90  , Р K = а Ответ:

Слайд 4

Задача 1. Найдите расстояние между точками Р и Н – серединами скрещивающихся рёбер: б) тетраэдра, все рёбра которого равны а. Ответ:

Слайд 5

Задача 1. Найдите расстояние между точками Р и Н – серединами скрещивающихся рёбер: в) правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания, равной а, и правильным треугольником в диагональном сечении. 1) ∆ SDB – правильный, Ответ: а

Слайд 6

Задача №2. На рёбрах А 1 В 1 и В 1 С 1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 соответственно точками М и L отмечены середины, на ребре AB взята точка K такая, что AK : AB = 3 : 4. Считая AB = AA 1 = 1, AD = 2, найдите расстояние от точки P – точки пересечения диагонали B 1 D с плоскостью KLM до точки: a ) D ; b ) D 1 ; c ) B . (Рис.4) Построение сечения: ML , 2) MK , 3) KN||ML, N= KN∩BC 4) NL , 5) LMKN – сечение Нахождение точки P , где P= B 1 D∩(KLM) B 1 D  (DBB 1 ) (DBB 1 )∩(KLM) = EF, E = B 1 D 1 ∩ML, F = KN∩DB, B 1 D∩(KLM) = B 1 D∩EF = P

Слайд 7

Нахождение расстояний D 1 E : EB 1 = 3 : 1, DF : FB = 7 : 1, DP -? (по 2 м углам), DP : PB 1 = DF : EB 1 = 7 : 2,

Слайд 8

б) D 1 P - ? в) BP - ? Проведем через точку P прямую TW || DB, T  DD 1 , W  BB 1 . Ответ:

Слайд 9

Координатный метод А(х 1 ; у 1 ; z 1 ) В(х 2 ; у 2 ; z 2 )

Слайд 10

Задача 3. (МФТИ) Ребро куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 равно 1, точки Е, F и К – середины рёбер АА 1 , ВС и СD соответственно, а точка М расположена на диагонали В 1 D 1 так, что В 1 М = 2МD 1 . Найти расстояние между точками: а) Е и К ; б) Е и М ; в) М 1 и К 1 , где М 1 – середина отрезка КМ, К 1 – середина ребра С 1 D 1 ; г) F и Р , где Р – середина отрезка А 1 К . Е Ответ : z x y A A 1 D C B D 1 C 1 B 1 M K 1 K E P M 1 F

Слайд 11

Расстояние между фигурами Если среди всех расстояний между точками, одна из которых принадлежит фигуре F 1 , а другая - фигуре F 2 , существует наименьшее, то его называют расстоянием между фигурами F 1 и F 2 .

Слайд 12

Расстояние от точки до прямой Расстояние от точки до прямой – длина отрезка перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую. a A B C

Слайд 13

Задача №4. (рис.7 ) В основании прямой призмы ABCA 1 B 1 C 1 лежит равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине С , боковое ребро призмы равно меньшей стороне основания. В грани AA 1 C 1 C точкой O отмечен центроид этой грани. Считая AC = a , найдите расстояние до прямой BO от точки: a) A 1 ; b) B 1 ; c) C 1 . AC = BC = AA 1 = а ,  ACB=90  , AA 1 C 1 C , C 1 CBB 1 – квадраты 2) ( рис .8) тогда BO – медиана и высота, O A A 1 C B B 1 C 1 a A B C 1 O Рис.7 Рис.8

Слайд 14

3)(рис.9) A 1 C B O N Рис.9 O A A 1 C B B 1 C 1 a Рис.7

Слайд 15

4) (рис.10) Рис.10 M M 1 B 1 B O C B A M Рис.1 1

Слайд 16

Расстояние от точки до плоскости Расстояние от точки до плоскости – длина отрезка перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную плоскость. . C A B p ис.1 2

Слайд 17

рис. 13 Пусть надо найти расстояние от точки А до плоскости β и пусть точка А лежит в плоскости α, α∩β= с. Проведём АВ  с, В P  c ,  (α,β) =  PBC , AN  PB .

Слайд 18

Задача № 5 (рис.14 ) На рёбрах АВ и А D куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 соответственно точками P и Q отмечены середины. Считая ребро куба равным а , найдите расстояние до плоскости С 1 PQ от точки: а) С; б) А 1 ; в) D . а) С  (АВС), A 1 A D 1 D C 1 C B B 1 Q P E N a

Слайд 19

б) (рис.15) А 1  (А 1 В 1 С 1 ), (А 1 В 1 С 1 )∩(С 1 PQ )= b , b // QP , C 1 E ∩ AA 1 = A 2 , AA 2 : A 1 A 2 = AE : A 1 C 1 =1:4,  , A 1 A 2 = рис. 15 A 1 M  A 2 C 1  A 1 M = ρ / A 1 ,( С 1 PQ) / A 1 A D 1 D C 1 C B B 1 Q E a M A 2 b P

Слайд 20

в ) ( рис .16) D  (ABC), (ABC)∩(C 1 PQ)=PQ, PQ ∩ DC = T, TD : DC= 1 : 2, TC 1 ∩ DD 1 = D 2 , DD 2 : DD 1 = 1 : 3, DD 2 = a/3. DF  RD 2  , DF = ρ  D,(C 1 PQ)  Ответ: A 1 A D 1 D C 1 C B B 1 Q E a R D 2 T F Рис.16 P

Слайд 21

Задача №6. (рис. 17) . В основании пирамиды МАВС D лежит прямоугольник, её боковое ребро МВ перпендикулярно плоскости основания и АВ : АD : МВ = = 1 : 2 : 1. Считая АВ = а , найдите расстояние до плоскости МСD от точки Р, где точка Р лежит на диагонали ВD и отношение ВР : ВD равно: а) 1 : 4; б) 1 : 2; в) 3 : 4. АВ = МВ = а, АD = 2а. Р  =  |Р,(МСD)|. а) ВР : ВD = 1 : 4. a M A B D C K P N a 2a Рис.17 E

Слайд 22

б) ВР : ВD = 1 : 2 в) ВР : ВD = 3 : 4 Ответ:

Слайд 23

М 0 (х 0 , у 0 , z 0 ), ах + b у + сz + d = 0 , β Координатный метод

Слайд 24

Задача №7. (МИФИ). Длина ребра куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 равна 12. На рёбрах АА 1 , В 1 С 1 , СD взяты точки Е, F 1 и G такие, что АЕ : ЕА 1 = 1 : 3, В 1 F 1 : F 1 С 1 = 1 : 1, СG : GD = 1 : 1. Найти расстояние от точки В 1 до плоскости (ЕF 1 G). Е(12;0;3), G(6;12;0), F 1 (0;6;12) (ЕF 1 G): ах + b у + сz + d = 0 В 1 (0;0;12) x y z A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 E F 1 G Рис.18

Слайд 25

Расстояние между двумя прямыми M N a b a b

Слайд 26

Скрещивающиеся прямые Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми – длина их общего перпендикуляра. А В N P M a b b 1 х у Заметим, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, содержащими данные прямые.

Слайд 27

Задача № 7. (рис.19) Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Постройте общий перпендикуляр прямых A 1 D и ВС 1 . Найдите расстояние между прямыми, если ребро куба равно а. рис. 19 MN =  | A 1 D , BC 1 |, MN = a . AD 1 ∩ DA 1 = M , BC 1 ∩ CB 1 = N , MN  AD 1 , MN  B C 1 , A A 1 B B 1 C C 1 D 1 D M N

Слайд 28

Задача № 8. (рис. 20 ) ( Новосибирский государственный университет). Найдите расстояние между диагоналями AD 1 и DC 1 двух смежных граней куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 с ребром а . А(0;0;0), D (0;а;0), D 1 (0;а;а), С 1 (а;а;а). MN  AD 1 , MN  DC 1 . A A 1 D 1 D B B 1 C 1 C M N x y z Рис.20 a

Слайд 29

Ответ:

Слайд 30

Ещё один подход к вычислению расстояния между скрещивающимися прямыми. a  q , c – пр q b , A – пр q a , AB  c , AB =  a , b  A B q a c b

Слайд 31

Задача № 9 (рис.21) МГТУ им. Н.Э. Баумана . В сферу радиуса R вписана пирамида ТАВС, основанием которой служит прямоугольный треугольник АВС, а высота пирамиды совпадает с ребром ТА. Боковое ребро ТВ образует с высотой пирамиды угол 60  . А угол между ТВ и медианой основания СD, проведённой к гипотенузе АВ, равен 45  . Какую наименьшую площадь может иметь сечение пирамиды плоскостью, проходящей через медиану СD и пересекающей ребро ТВ? (ОDК), BK  (ОDК),  , СD  ( ODK ) A C B K O R R T D E F 60 45

Слайд 32

Ответ: A C B K O R R T D E F

Слайд 33

Расстояние от прямой до плоскости За расстояние от прямой до параллельной ей плоскости берут расстояние от любой (наиболее удобной для решения задачи) точки прямой до плоскости, рис. 22 A1 A M N B1 M1 B a

Слайд 34

Задача № 10 . (МГТУ им. Н.Э. Баумана). Основанием пирамиды ТАВС служит равносторонний треугольник со стороной, равной 8, а её высота проходит через середину стороны основания АВ. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через боковое ребро ТА, если известно, что прямая, проходящая через середину высоты пирамиды и середину стороны основания ВС, параллельна секущей плоскости и находится от неё на расстоянии, равном 1. рис. 23 ТХ || КN, Х=ТХ ∩ DN. АХ ∩ СВ=Р, Δ АРТ – искомое сечение.  ТFD=  ((АТР),(АВС)), КЕ  ТF,  , KE =  К,(АТР)  =  КN,(ТАР)  =1. DR  ТF, DR = 2. X A C B T K E R D F P N

Слайд 35

рис. 24 B Р : Р C = 2 : 1, Δ АРС, АС = 8, РС=8/3,  С=60  , по теореме косинусов рис. 25 Δ FDТ : Ответ: A B C D X N F F 1 F D T R P 60 2

Слайд 36

Расстояние между параллельными плоскостями Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно расстоянию от произвольной точки одной плоскости до другой плоскости A B M D C

Слайд 37

рис. 27 Задача № 11 . В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найти расстояние между плоскостями АВ 1 D 1 и ВDС 1 , если АВ = а . (рис.27) (АВ 1 D 1 )  (ВDС 1 ). А 1 С  D 1 В 1 и А 1 С  АD 1 , D 1 В 1 ∩ АD 1 =D 1 ,  , А 1 С  (АВ 1 D 1 ),  , А 1 С  (ВDС 1 ) Докажем, что А 1 С  D 1 В 1 (остальное доказывается аналогично) А 1 С∩(АВ 1 D 1 ) = М, А 1 С∩(ВDС 1 ) = N, МN =  (АВ 1 D 1 ),(ВDС 1 )  , По теореме Фалеса А 1 М = МN = NС Ответ:  (АВ 1 D 1 ),(ВDС 1 )  = A B C C 1 D 1 P A 1 D N M

Слайд 38

Если через прямую, параллельную плоскости, провести плоскость, параллельную данной плоскости, то можно находить расстояние между прямой и плоскостью как расстояние между параллельными плоскостями. а N а  , построим плоскость β  , а  β.  а ,   =  ,β  М

Слайд 39

рис. 30 рис. 29 (СРА 1 )  (МNС 1 ), А 1 С  (СРА 1 ),  ,  А 1 С, (МNС 1 )  =  (СРА 1 ),(МNС 1 )  =  K ,(СРА 1 )  C N M B D B 1 D 1 E K C 1 A 1 A P T A 2 M 1 O O 1 F 1 F B C A B 1 C 1 A 1 N M Задача № 12. (МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004 год). Найдите площадь сечения правильной треугольной призмы АВСА 1 В 1 С 1 плоскостью, которая параллельна диагонали А 1 С боковой грани АА 1 С 1 С, проходит через середину стороны ВС основания АВС и точку М, лежащую на стороне АВ, если АМ = 2МВ, расстояние между А 1 С и секущей плоскостью равно 2, а высота призмы равна 2 ? (рис.29)

Слайд 40

рис. 31 2) Пусть АВ = 6х, тогда МВ = 2х, ВN = 3х. ΔМВN: (рис.30) МN 2 = 4х 2 + 9х 2 – 2  2х  3х  cos 60  MN 2 = 13x 2 – 6x 2 = 7x 2 , MN = x PC = 2x . 3) ΔM 1 B 1 N 1 : (рис.32) рис. 32 A B C N P M 6x 3x 2x B 1 A 1 O 1 T C 1 N 1 O 2 O M 1 K

Слайд 41

4) Δ РКО 1 (рис.33): 5) S сеч = Ответ: S сеч =21 рис. 33 P K O 1 F 1 2