Конспект урока по геометрии в 8 классе на тему: "Теорема Пифагора"
план-конспект урока по геометрии (8 класс)

Опубликовано 28.11.2017 - 23:11 - Кокурина Людмила Ивановна

Урок посвящен одной из важнейщих теорем планиметрии - теореме Пифагора. Данный урок - это урок открытия новых знаний

Скачать:

Вложение	Размер
urok_geometrii_v_8_klasse_teorema_pifagora.doc	819 КБ
teorema_pifagora.ppt	1.33 МБ

Предварительный просмотр:

Пояснительная записка.

Урок посвящен одной из важнейших теорем планиметрии - теореме Пифагора. Данный урок – это урока открытия новых знаний. На уроке представлена проблемно-поисковая ситуация; рассматривается доказательство теоремы Пифагора и применение ее к решению возникшей проблемы. Учащиеся самостоятельно доказывают теорему. Урок способствует развитию познавательного интереса, навыков самостоятельного пополнения знаний. Усиление практической направленности обучения способствует прочному, неформальному усвоению материала. Урок сопровождается презентацией с исторической справкой и рядом тестовых заданий.

Урок геометрии в 8 классе.

Тема: Теорема Пифагора

Цель урока: Выработать компетенцию по применению теоремы

Пифагора при решении геометрических и практических задач.

Задачи:

1). В процессе учебной деятельности учащихся вывести формулировку и доказательство теоремы Пифагора.

2). Выработать умение учащихся составлять математическую модель реальной ситуации с использованием теоремы Пифагора.

3). Познакомить учащихся с выдающимся математиком, философом и пророком Пифагором.

Ход урока.

1. Самоопределение к деятельности:

Учитель: Ребята, сегодня мне хотелось бы начать урок с задачи.

«Пожарные увидели на крыше горящего дома маленького котенка. Котенок жалобно пищал и звал на помощь. Но вот беда: пожарная машина не может приблизится к дому ближе, чем на 6м, высота дома – 8м. Свою лестницу пожарники могут растянуть не более, чем на 11м. Достаточно ли этого, чтобы помочь бедному котенку?»

Далее необходимо дать ребятам время для решения этой задачи.

Как правило, мнения разные: одни считают, что «да», другие – «нет»

Учитель: сформулируем задачу в общем виде:

Известны катеты прямоугольного треугольника.

Найти длину его гипотенузы

Пока мы не можем решить эту задачу, но к концу урока, применив все свои знания и способности, я надеюсь, что мы сможем помочь нашему маленькому котенку.

2. Актуализация знаний учащихся:

Вопросы классу: - Какие свойства площадей вам известны?

- Площади каких фигур мы можем вычислить?

Решить задачи (устно) с целью подготовки учащихся к восприятию нового материала:

а) Известно, что α = 3β

Найти: β

б) Известно, что α + γ = β

Найти: β

в) По данному рисунку докажите, что

КMNР - квадрат

Вопрос классу:

Какие еще задачи мы можем решить, используя данный чертеж?

(Для удобства ребят можно ввести обозначения: AK=a, AP=b, KP=c)

Наводящие вопросы:

- Какие фигуры вы видите на чертеже?

- Что вы можете сказать о площадях этих фигур?

- Какое свойство площадей здесь можно использовать?

(Путем диалога, арифметических преобразований подвести ребят к

записи: a2 + b2 = c2).

Вопросы классу:

- Чем являются в нашей ситуации переменные a, b, c?

- Сформулируйте фразу, закодированную в записи a2+b2=c2, которая связывает площади наших фигур?

Учитель: Ребята, вы не представляете, что сейчас произошло! Вы сделали величайшее открытие!!! Вы «открыли» теорему Пифагора! Итак, тема нашего урока: «Теорема Пифагора». (Предложить учащимся записать в тетрадях тему урока и ее формулировку).

2. Изучение нового материала: с помощью компьютера рассмотреть только первые два раздела презентации («Теорема Пифагора» и «Проверь себя»).

Учитель: Теорема Пифагора – одна из главных теорем геометрии, и можно сказать, самая главная. Значение ее состоит в том, что из нее или с помощью ее можно вывести большинство теорем геометрии.

Теорема Пифагора замечательна еще и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна! Например, свойства равнобедренного треугольника можно непосредственно видеть на чертеже. Но сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть простое соотношение: c2=a2+b2

Зато это соотношение между площадями геометрических фигур становится очевидным из построения на рисунках.

В Древней Индии существовал способ «доказательства теоремы без слов». Слушателям представляли чертеж и писали одно слово «смотри».

Выслушав предположения ребят, сделать вывод: Мы видим два различных разбиения одного и того же квадрата со стороной a+b.

Если из площадей одинаковых квадратов убрать площади одинаковых прямоугольных треугольников, то остаются равные площади: c2=a2+b2.

В этом состоит самый лучший математический стиль: посредством остроумного построения сделать неочевидное очевидным.

3. Закрепление изученного материала:

Учитель: Ребята, наш котенок по-прежнему ждет вашей помощи. Давайте вернемся к нашей задаче.

Дано: ∆ АВС, ےВ = 900

Найти: АС

Решение: Δ АВС – прямоугольный

По теореме Пифагора АС2=АВ2+ВС2 ═>

АС2= 62+82 – это математическая модель

данной ситуации.

АС2 = 100, АС = 10

Ответ: 10 м до крыши, т.е. лестницы

вполне достаточно.

Задача №2: Египтяне придумали задачу о лотосе: «На глубине 12 футов растет лотос с 13 футовым стеблем. Определите, на какое расстояние цветок может отклониться от вертикали, проходящей через точку крепления стебля ко дну».

Дано: ∆ АВС , ےС = 900, АВ = 13м, АС=12м

Найти: ВС

Решение: ∆ АВС – прямоугольный, т.е. по

теореме Пифагора имеем: АВ2=АС2+ВС2

а значит ВС2 = АВ2 - АС2

ВС2 = 132 - 122, ВС2 = 25 ═> ВС = 5

Ответ: 5 футов.

Задача №3: Дерево в 8м высотой переломлено бурей так, что если верхнюю часть пригнуть к земле, то верхушка коснется земли на расстоянии 4м от основания ствола. На какой высоте переломлен ствол?

Решение: И вновь при составлении математической

модели мы используем теорему Пифагора:

(8 - х)2 = х2 + 42

64 – 16х + х2 = х2 + 16

16х = 48 х = 3

Ответ: 3м

4. Самостоятельное решение задачи:

I уровень – Коробка конфет имеет форму равнобедренного треугольника, боковая сторона которой равна 25см, а основание – 14см. Какова высота этой коробки? (Ответ: 24см)

II уровень – Цветочная клумба имеет форму равнобедренной трапеции с основаниями10 и 18 см, и с боковой стороной равной 5см. Найти площадь клумбы. (Ответ: 42см2)

Учитель: - Возможно ли было решение задач данного типа без знания

теоремы Пифагора?

- В чем суть теоремы Пифагора?

- О чем надо помнить, применяя теорему Пифагора?

5. Историческая справка:

Закончить просмотр презентации «Теорема Пифагора».

6. Подведение итогов урока:

Учитель: Сегодня мы с вами познакомились с теоремой Пифагора. Вы согласны с тем, что это одна из важнейших теорем геометрии? Почему? Теорема Пифагора справедлива только для прямоугольных треугольников. Так ли уж часто мы имеем с ними дело?

Объявить оценки.

Домашнее задание: I группа - №484б, 486 II группа - №488 а,б

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Слайд 1

8 класс Теорема Пифагора

Слайд 2

Биография Пифагора Пифагорейская школа Открытия Пифагора Пифагор и музыка Теорема Пифагора Проверь себя Содержание Остров Самос

Слайд 3

Биография Пифагора Пифагор - не только самый популярный ученый, но и самая загадочная личность. Подлинную картину его жизни и достижений восстановить трудно, так как письменных документов о Пифагоре не осталось С берегов Средиземноморья- колыбели европейской цивилизации, с тех давних времен, названных «весною человечества», дошло до нас имя Пифагор

Слайд 4

Биография Пифагора Известно, что родился Пифагор на острове Самос, расположенном в Эгейском море, в 576 г. до н. э. По совету Фалеса 22 года набирался мудрости в Египте. В Вавилон он попал не по своей воле. Во время завоевательных походов на Египет его взяли в плен и продали в рабство. Более 10 лет он жил в Вавилоне, изучал древнюю культуру и достижения науки разных стран.

Слайд 5

Пифагорейская школа Вернувшись на родину, Пифагор организовал кружок молодежи из представителей аристократии. В кружок принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя. Так на юге Италии, которая была тогда греческой колонией, возникла пифагорейская школа.

Слайд 6

Пифагорейская школа Пифагорейцы занимались математикой, философией, естественными науками. Ими было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии. В школ существовал декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось Пифагору . Звездчатый пятиугольник, или пентаграмма, - пифагорейский символ здравия и тайный опознавательный знак

Слайд 7

Открытия Пифагора Важнейшей научной заслугой Пифагора считается систематическое введение доказательства в математике и, прежде всего, в геометрии. Гениальная догадка Пифагора состоит в том, что в геометрии можно выбрать конечное число истин ( аксиом ), из которых с помощью логических правил выводимо неограниченное число предложений. Так впервые возник аксиоматический метод построения науки.

Слайд 8

В основе учения Пифагора лежало представление о числе. Они верили, что в числовых закономерностях спрятана тайна мира. Мир чисел жил для пифагорейцев особой жизнью, числа имели свой особый жизненный смысл. « Числа правят миром »- говорил Пифагор. Открытия Пифагора

Слайд 9

Пифагор и музыка Примечательно, что отправным пунктом в пифагорейском учении о числе была музыка. По преданию, сам Пифагор установил, что приятные слуху созвучия получаются лишь в том случае, когда длина струн, издающих эти звуки, относятся как целые числа первой четверки 1 : 2 2 : 3 3 : 4 Появилась музыкальная октава и гамма. Пифагор со своими учениками. Иллюстрация из книги Франкино Гафурио «Теория музыки». Милан.1492 г. Гравюра изображает акустические опыты Пифагора на сосудах и трубах, находящихся в отношениях 4 : 6 : 8 : 9 : 12 : 16

Слайд 10

Теорема Пифагора И, конечно, трудно найти человека, у которого бы имя Пифагора не ассоциировалось с теоремой Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Дано : ABC – треугольник угол С –прямой a,b – катеты , c – гипотенуза Доказать : с 2 = a 2 + b 2 a b c Доказательство : достроим треугольник ABC до квадрата со стороной a + b c b a b a b a S кв = ( a + b) 2 . С другой стороны этот квадрат состоит из четырех равных треугольников, площадь которых равна 0,5 ab x 4 = 2ab , и квадрата с площадью с 2 . Отсюда ( a + b) 2 = c 2 + 2ab , a 2 + b 2 = c 2

Слайд 11

«Смотри» a b c c b a b a b a а а b a b b a b S кв = 4 S тр + с 2 S кв = 4 S тр + а 2 + b 2 c 2 = a 2 + b 2 +4S тр 4S тр + В Древней Индии существовал способ «доказательства теоремы без слов» c 2 a 2 b 2

Слайд 12

Теорема Пифагора- одна из главных теорем геометрии Если дан нам треугольник И при том с прямым углом, То квадрат гипотенузы Мы всегда легко найдем: Катеты в квадрат возводим, Сумму степеней находим- И таким простым путем К результату мы придем.

Слайд 13

Проверь себя Составьте по рисунку, используя теорему Пифагора, если это возможно, верное равенство: 4 3 x X 2 = 3 2 + 4 2 Вычислите , чему равна гипотенуза ? 5 Обратите внимание на эти три числа : 3 , 4 , 5 Треугольник с такими сторонами иногда называют египетским

Слайд 14

Проверь себя Составьте по рисунку верное равенство Равенство можно составить , так как мы имеем равнобедренный треугольник с углом при основании 45 0 . Следовательно , он прямоугольный и мы можем воспользоваться теоремой Пифагора х 1 45 0 1 2 + 1 2 = Х 2 или Х 2 = 2

Слайд 15

Проверь себя 3 5 х Составь верное равенство В данном случае использовать теорему Пифагора нельзя , так как неизвестно , о каком виде треугольника идет речь, а, значит утверждать , что треугольник прямоугольный нельзя.

Слайд 16

Итак , на что надо обращать особое внимание при применении теоремы Пифагора ? Надо убедиться , что треугольник прямоугольный

Слайд 17

Она была известна задолго до Пифагора. За 8 веков до н. э. эта теорема была хорошо известна индийцам под названием «Правила веревки» и использовалась ими для построения алтарей, которые по священному предписанию должны иметь строгую геометрическую форму. Теорема Пифагора имеет богатую историю. Пифагор, не открыл эту теорему, а нашел ее доказательство, хотя доказательство самого Пифагора до нас не дошло. Значение теоремы состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии и решить множество задач.