Конус. Сечения конуса плоскостями
план-конспект по геометрии на тему

Конус. Сечение конуса плоскостями

Определение. Тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащей его катет, называется конусом. 

Определение. Множество точек конуса, полученное при вращении ломаной, состоящей из гипотенузы и катета, образует поверхность конуса.

Определение. Множество точек конуса, полученное при вращении катета, образует фигуру, которая называется основанием конуса.

Понятно, что основание конуса есть круг с центром на оси вращения, радиус которого равен длине катета вращаемого треугольника, не совпадающего с осью вращения.

Определение. Множество точек конуса, полученное при вращении гипотенузы треугольника, образует фигуру, которая называется боковой поверхностью конуса.

Гипотенуза треугольника называется образующей конуса. Длина катета, лежащего на оси вращения, называется высотой конуса. 

Боковую поверхность конуса, как и боковую поверхность цилиндра, можно развернуть на плоскость, разрезав ее по одной из образующих. Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор, радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги сектора - длине окружности основания конуса.

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки. Выразим площадь боковой поверхности конуса через его образующую l и радиус основания r. Площадь кругового сектора равна , где α - градусная мера дуги ABA´, поэтому

Выразим α через l и r. Так как длина дуги ABA´ равна 2πr, то , откуда . Подставив это выражение в формулу для боковой поверхности, получим

.

Таким образом, площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.

Площадь полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания. Для вычисления площади полной поверхности конуса получается формула

Рассмотрим сечение конуса различными плоскостями.

1. Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого - диаметр основания конуса, а боковые стороны - образующие конуса. Это сечение называется осевым. 

2. Если секущая плоскость проходит через вершину конуса, то сечение представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса. 

3. Если секущая плоскость перпендикулярна к оси конуса, то сечение представляет собой круг с центром, расположенным на оси конуса.