Задачи по планиметрии 9 класса
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии на тему

Листок №1

Замечательные точки треугольника

- Пуаро, - сказал я. – Я только что думал…

-  Очаровательное занятие, мой друг.

Не гнушайтесь им и впредь.

 А. Кристи. Загадка Эндхауза.

1. Под какими углами видны стороны треугольника из центра описанной окружности?

2. Под какими углами видны стороны треугольника из центра вписанной окружности?

3. Под какими углами видны стороны треугольника из ортоцентра?

4. Докажите, что точки, симметричные  ортоцентру треугольника относительно его сторон, лежат на описанной около этого треугольника окружности.

5. Докажите, что окружности, описанные около треугольников

    AZB, AZC, BZC, ABC, где Z – ортоцентр, равны.             Проиллюстрируйте задачу большим красивым рисунком.

6. Расстояние от ортоцентра до вершины в два раза больше расстояния от центра описанной окружности до противолежащей вершине стороны. Докажите.

7. Докажите, что произведения отрезков высот треугольника, на которые они делятся ортоцентром, равны.

8. Докажите, что точка Z (смотри рисунок) является центром вписанной окружности для треугольника PKF.

Одна из классических задач И.Ф. Шарыгина

Доказать, что если в треугольнике один угол равен 120º, то треугольник, образованный основаниями его биссектрис, прямоугольный.

Листок №2

Правильные и полуправильные многоугольники

 - Мозг должен яростно работать,

 а не прозябать в спячке.

Что может  быть приятнее,  чем

 загружать работой извилины?

  А. Кристи

Тринадцать сотрапезников

1.    Докажите, что сторона правильного 9-угольника равна разности между большей и меньшей его диагоналями.

2.   На сторонах правильного шестиугольника вне его построены шесть квадратов. Докажите, что 12 вершин этих квадратов, не совпадающих с вершинами данного шестиугольника, являются вершинами правильного двенадцатиугольника.

3.  Пол покрыт без пробелов и перекрытий плитками, которые имеют форму правильных равных между собой многоугольников. Докажите, что это возможно только для трёх видов правильных многоугольников.

4.  Выпуклый многоугольник с чётным числом вершин называется равноугольно-полуправильным, если его стороны, взятые через одну, равны и все его углы равны.

1)   Нарисуйте равноугольно-полуправильный четырёхугольник.

2)    Нарисуйте равноугольно-полуправильный шестиугольник.

3) Докажите, что около любого равноугольно-полуправильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

4)  Проиллюстрируйте рисунком утверждение: для любого равноугольно-полуправильного многоугольника существуют две окружности, такие, что их центры совпадают центром описанной окружности и каждая из них касается сторон многоугольника через одну.

5.  Выпуклый многоугольник с чётным числом вершин называется равносторонне-полуправильным, если его углы, взятые через один, равны и все его стороны равны.

1)   Нарисуйте равносторонне-полуправильный четырёхугольник.

2)   Нарисуйте равносторонне-полуправильный шестиугольник.

3) Докажите, что в любой равносторонне-полуправильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

4) Проиллюстрируйте рисунком утверждение: для любого равносторонне-полуправильного многоугольника существуют две окружности, такие, что их центры совпадают с центром вписанной окружности и каждая из них проходит через вершины  многоугольника, взятые через одну.

Листок №3

Геометрическая смесь

  - О! Задачка!        

  - Да. И к тому же трудная.

  А вы, я знаю, трудностей  не боитесь.

 А. Кристи

Загадка Эндхауса

1.    На сторонах АВ и ВС треугольника АВС вовне этого треугольника построили квадраты ABEF и CBGH.  Докажите, что опущенная из В высота треугольника BEG при её продолжении является медианой треугольника АВС.

2.  Докажите, что площадь четырёхугольника можно найти по формуле где - диагонали четырёхугольника, γ – угол между ними.

3. Две окружности пересекаются в точках M и N и касаются прямой l в точках А и В. Докажите, что

4.  Докажите теорему Птолемея (№ 893).

5. На боковой стороне АВ трапеции АВСD взята точка F так, что  Через точку F проведена прямая, параллельная основаниям и пересекающая боковую сторону CD в точке Е. Найдите FE, если длины оснований a и b (a>b).

6. На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника построены полуокружности.

 Докажите, что сумма площадей образовавшихся «луночек»  равна площади данного треугольника.

Листок №4

С помощью координат

  - То, что изобретено одним человеком,

 может быть понято другим, - сказал Холмс.

А. Конан Дойл. Пляшущие человечки 

1.    На плоскости даны точки А и В. Найти множество точек С таких, что в ΔАВС высота СН равна медиане АМ.

2.  На плоскости расположены два квадрата ABCD и BKLN так, что точка К лежит на продолжении АВ за точку В, N лежит на луче ВС.

Найти угол между прямыми DL и AN.

3. Дан прямоугольник АВСD, в котором ВС = 2АВ. На диагонали BD взята точка М, такая, что

 ВМ : МD = 3 : 2. Точка N – середина стороны ВС. Докажите, что и ΔAMN подобен ΔАВС.

4.  Сторона квадрата ABCD равна 4. Через вершину D проведена прямая l, пересекающая сторону ВС и проходящая на расстоянии 2 от середины стороны АВ. В каком отношении прямая l делит сторону ВС?

5. Сторона правильного шестиугольника ABCDEF равна 1. Точки М и N  - середины сторон АВ и CD соответственно, отрезки AN и EM пересекаются в точке Р. Найти длину отрезка NP.

6. В треугольнике АВС со сторонами АВ = 14, АС = 15, ВС = 13 через основание высоты СН проводятся прямые, параллельные прямым АС и ВС, которые пересекают соответственно стороны ВС и АС треугольника в точках M и N. Прямая MN пересекает продолжение стороны АВ в точке D.

Найти длину отрезка AD.

7. Внутри квадрата ABCD взята точка Е так, что угол ВЕС прямой. Найти площадь треугольника ВСЕ, если известно, что , а расстояние от центра квадрата до точки Е равно 1.

8. В окружность радиуса 17 вписан четырёхугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны и находятся на расстоянии 8 и 9 от центра окружности.

 Найти стороны четырёхугольника.

Листок № 5

А если без координат?

 - Дорогой Гастингс, я бы предпочёл,

чтобы вы добрались до правды

своими силами, чтобы мне не надо было

вести вас за ручку

 А. Кристи

Поле для гольфа

1.    На плоскости даны точки А и В. Найти множество точек С таких, что в ΔАВС высота СН равна медиане АМ.

2.  На плоскости расположены два квадрата ABCD и BKLN так, что точка К лежит на продолжении АВ за точку В, N лежит на луче ВС.

Найти угол между прямыми DL и AN.

3. Дан прямоугольник АВСD, в котором ВС = 2АВ. На диагонали BD взята точка М, такая, что

ВМ : МD = 3 : 2. Точка N – середина стороны ВС. 

Докажите, что и ΔAMN подобен ΔАВС.

4.  Сторона квадрата ABCD равна 4. Через вершину D проведена прямая l, пересекающая сторону ВС и проходящая на расстоянии 2 от середины стороны АВ. В каком отношении прямая l делит сторону ВС?

5. Сторона правильного шестиугольника ABCDEF равна 1. Точки М и N  - середины сторон АВ и CD соответственно, отрезки AN и EM пересекаются в точке Р. Найти длину отрезка NP.

6. В треугольнике АВС со сторонами АВ = 14, АС = 15, ВС = 13 через основание высоты СН проводятся прямые, параллельные прямым АС и ВС, которые пересекают соответственно стороны ВС и АС треугольника в точках M и N. Прямая MN пересекает продолжение стороны АВ в точке D.

 Найти длину отрезка AD.

7. Внутри квадрата ABCD взята точка Е так, что угол ВЕС прямой. Найти площадь треугольника ВСЕ, если известно, что , а расстояние от центра квадрата до точки Е равно 1.

8. Построить 1) четырёхугольник, 2) пятиугольник по заданным серединам его     сторон.

Листок № 6

Вариации на тему одной задачи

 - Это уж слишком! – воскликнул Пуаро.  

– Этот ломтик. Разве он квадратный? Нет.

Треугольный? Снова нет.

Может быть, круглый? Нет.

Имеет ли он хоть какую-нибудь форму,

приятную для глаз?

Где здесь симметрия?

А. Кристи

Поле для гольфа

1.    Из вершины А квадрата ABCD проведены лучи, образующие между собой угол 45°. Один из них пересекает диагональ BD в точке М, другой – сторону ВС в точке N. Докажите, что .

2.     Из вершины А квадрата ABCD проведены лучи, образующие между собой угол 45°. Один луч пересекает сторону ВС в точке М, а диагональ BD в точке Р. Другой луч пересекает сторону CD в точке N, а диагональ BD в точке Q. Докажите, что: 1) точки C, M, N, P, Q лежат на одной окружности;

2) отрезок PQ делит треугольник AMN на две равновеликие фигуры.

3.    Дан квадрат ABCD. На сторонах BC и CD взяты точки M и N так, что  . Пользуясь одной линейкой, проведите перпендикуляр АН

 к прямой MN.

4.     Дан квадрат ABCD. Через вершину А проведены прямые l1 и l2, пересекающие стороны квадрата. Из вершин B и D на эти прямые опущены перпендикуляры BB1,BB2, DD1 и DD2. Найдите отношение B1B2 к D1D2.

5. На рисунке изображены три квадрата. Найдите сумму

Листок № 7

А если  преобразовать?

Господь с тобой, Моток! Господь с тобой!

Тебя преобразили!

В. Шекспир

Сон в летнюю ночь

1. На сторонах АВ и АС треугольника АВС построены во внешнюю сторону квадраты АВВ1А и АСС1А2. Докажите, что:

а) отрезки А1С и А2В равны и перпендикулярны друг другу;

б) центры квадратов и середины отрезков ВС и А1А2 являются вершинами квадрата.

2. На сторонах выпуклого четырёхугольника построены во внешнюю сторону квадраты. Докажите, что:

а) отрезки, соединяющие центры противоположных квадратов, равны и взаимно перпендикулярны;

б) если данный четырёхугольник – параллелограмм, то центры квадратов являются вершинами квадрата.

3. Дан ромб АВСD, угол А которого равен 120о. Внутри ромба взята точка М, такая, что АМ = 1, ВМ = 3, СМ = 2. Найдите DM и АВ.

4. В равнобедренном треугольнике АВС точка М – середина основания АС, МЕ – биссектриса угла ВМС (точка Е – на стороне ВС), ЕК – перпендикуляр, опущенный из Е на АВ. 

Докажите, что КМ – биссектриса угла АКЕ.

5. О – центр правильного п-угольника  Докажите, что .

Листок №8

Задачи из КНИГИ

Самое простое объяснение чаще всего и бывает самым верным.

                                                      А. Кристи. Загадка Эндхауса

Листок № 9

Замечательные кривые

Все можно сделать простым, если аккуратно расположить факты. 

А.Кристи. Восточный экспресс.

1.1. Лестница, стоящая на гладком полу у стены, соскальзывает вниз. По какой линии движется котёнок, сидящий на середине лестницы? Котёнок флегматичный и сидит смирно.

1.2. По какой линии будет двигаться котёнок, если он сидит не на середине лестницы?

1.3. Смотрим на лестницу сбоку, видим отрезок. Какое множество точек заметает этот отрезок при движении?

2. Рассмотрим все отрезки, отсекающие от данного прямого угла треугольник данной площади. Какое множество точек образуют середины этих отрезков?

3. Построить траекторию движения точки, закрепленной в вершине равностороннего  треугольника (квадрата, правильного шестиугольника), движущегося (перекатывающегося) по прямой.

4. Построить траекторию движения точки, закрепленной в вершине равностороннего  треугольника (квадрата), движущегося (перекатывающегося) по такому же треугольнику (квадрату).

5. Построить эвольвенту квадрата.

6. Пусть дана прямая а и точка О, ей не принадлежащая. Опустим из точки О на прямую а перпендикуляр ОА. Для точек С на прямой а рассмотрим лучи ОС и будем откладывать на них отрезки СС1 и СС2 так, что СС1 = СС2 = СА. Геометрическое место таких точек С1 и С2 представляет собой кривую, называемую строфоидой. Точка О – полюс строфоиды. Нарисовать строфоиду.