Информационный проект "Многогранники"
проект по геометрии (10 класс)

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №8», г. Сергиев Посад

ФЕСТИВАЛЬ  ТВОРЧЕСКИХ И ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ ПРОЕКТОВ

«ОТКРЫТИЕ»

Информационный проект

«Многогранники»

Работу  выполнили :

Щавина Анастасия ученица 10 «А» класса,

Клинковская Ксения  ученица 10 «А» класса.

                                                       Руководитель работы:

                                                                           Учитель математики Мынарева Галина Павловна

 2017 г.

Содержание:

Введение.

1.История возникновения и развития геометрии…………………………………………….

Основная часть.

2. Основные понятия стереометрии………………

3. Основные пространственные фигуры…………

4. Сечение многогранников………………………

5. Выпуклые многогранники……………………….

6.Теорема Эйлера………………………………….

     7.Правильные многогранники ……………………

      8.Полуправильные многогранники……………….

9.Звездчатые многогранники……………………….

Заключение.

 Кристалы-природные многогранники

               Литература ………………………………………..

1.История возникновения и развития геометрии

Геометрия - наука, изучающая формы, размеры и взаимное расположение геометрических фигур. «Геометрия была открыта египтянами и возникла при измерении земли. Нет ничего удивительного в том, что эта наука как и другие, возникла из потребностей человека. Всякое возникающее знание из несовершенного состояния переходит в совершенное. Зарождаясь путем чувственного восприятия, оно постепенно становится предметом рассмотрения и наконец, делается достоянием разума». Эти замечательные слова приписывают греческому ученому Евдему Родосскому, жившему в IV в. до н.э.

Начиная с VII века до н. э. в Древней Греции создаются так называемые философские школы, и приходит постепенный переход от практической к теоретической геометрии. Всё больше значение в этих школах приобретают рассуждения, при помощи которых удаётся получать новые геометрические свойства, исходя из некоторых положений, принимаемых без доказательств и названных аксиомами. В переводе с греческого слово аксиома означает "принятие положения".

Одной из самых известных школ того времени (4-5 вв.до н.э.) являлась Пифагорейская, названная так в честь своего основателя- Пифагора и его жены Феано. Объясняя устройства мира, пифагорейцы опирались на математику. Так, выделяя первоосновы бытия, они приписывали их атомам форму правильных многогранников: атомам огня - форму тетраэдра, земли - гексаэдра (куба), воздуха - октаэдра, воды - икосаэдра. Всей Вселенной приписывалась форма додекаэдра.

 Почти все великие ученые древности и средних веков были выдающимися геометрами. Девиз древней школы был: "Не знающие геометрии не допускаются!"

Более поздняя философская школа - александрийская - интересна тем, что дала миру известного математика Евклида, который жил около 300 года до н. э.

И наиболее удачно была изложена геометрия, как наука о свойствах геометрических фигур, греческим ученым в своих книгах «Начала». Евклид жил в Александрии, был современником царя Птолемея I и учеником Платона. Славу Евклиду создал его собирательный труд «Начала». Произведение состояло из 13 томов, описанная в этих книгах геометрия получила название Евклидова. Величайшая заслуга его состояла в том, что он подвел итог построению геометрии, придал ее изложению столь совершенную форму, что на 2 тысячи лет «Начала» стали основным руководством по геометрии. В течение многих веков «Начала» были единственной учебной книгой, по которым молодежь изучала геометрию. Были и другие. Но лучшими признавались «Начала» Евклида. И даже сейчас, в наше время, учебники написаны под большим влиянием «Начал» Евклида.

                                  Рис.1

Конечно, геометрия не может быть создана одним ученым. В работе Евклид опирался на труды десятков предшественников и дополнил работу своими открытиями и изысканиями. Сотни раз книги были переписаны от руки, а когда изобрели книгопечатание, то она много раз переиздавалась на языках всех народов и стала одной из самых распространенных книг в мире.

В одной легенде говорится, что однажды египетский царь Птолемей I спросил древнегреческого математика, нет ли более короткого пути для понимания геометрии, чем тот, который описан в его знаменитом труде, содержащемся в 13 книгах.

                                   Рис.2

Ученый гордо ответил: " В геометрии нет царской дороги".

В последние столетия возникли  и развивались новые направления геометрии, среди которых геометрия Лобачевского, топология, теория графов и др. Появились новые методы, в том числе координатный и векторный, позволяющий переводить геометрические задачи на язык алгебры и наоборот. Достижения геометрии широко используют в других науках: физике, химии, географии и т. д.

2.Основные понятия стереометрии

Стереометрия – это раздел геометрии, изучающий форму, размеры и свойства различных фигур и их положение в пространстве.  Основными фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость. В стереометрии появляется новый вид взаимного расположения прямых: скрещивающиеся прямые. Это одно из немногих существенных отличий стереометрии от планиметрии, так как во многих случаях задачи по стереометрии решаются путем рассмотрения различных плоскостей, в которых выполняются планиметрические законы.

Не стоит путать этот раздел с планиметрией, поскольку в планиметрии изучаются свойства фигур на плоскости (свойства плоских фигур), а в стереометрии — свойства фигур в пространстве (свойства пространственных фигур).

Точка является идеализацией очень маленьких объектов, т.е. таких, размерами которых можно пренебречь. Евклид в своей книге «Начала» определял точку как то, что не имеет частей.

 Прямая является идеализацией тонкой натянутой нити, края стола прямоугольной формы. По прямой распространяется луч света.

Плоскость является идеализацией ровной поверхности воды, стола, зеркала и т.д.

Как и раньше, точки будем обозначать прописными латинскими буквами А, В, С, …,прямые будем обозначать строчными латинскими буквами  а,b,с, …, плоскости будем обозначать греческими буквами  α,β,γ, … .

  Среди свойств, которыми обладают точки, прямые и плоскости, выделяют следующие основные свойства – аксиомы стереометрии:

1.Через любые две точки пространства проходит единственная прямая.

2.Через любые три точки пространства, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.

3.Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

3.Основные пространственные фигуры

Среди пространственных фигур, изучаемых в стереометрии, особо выделяются многогранники, точнее трёхмерные многогранники — совокупность конечного числа плоских многоугольников в трёхмерном евклидовом пространстве такая, что:

1. каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого (но только одного), называемого смежным с первым (по этой стороне);
2. связность: от любого из многоугольников, составляющих многогранник, можно дойти до любого из них, переходя к смежному с ним, а от этого, в свою очередь, к смежному с ним, и т. д.

Эти многоугольники называются гранями, их стороны — рёбрами, а их вершины — вершинами многогранника.

Примерами многогранников, с которыми вы уже встречались, являются:                    

Куб или правильный  гексаэдр — правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Частный случай параллелепипеда  и призмы.(рис. 7).

Параллелепипед (от греч. παράλλος — параллельный и греч. επιπεδον — плоскость) —призма, основанием которой служит параллелограмм, или (равносильно) многогранник, у которого шесть граней и каждая из них параллелограмм (рис 8).

Призма (от др.-греч. πρίσμα (лат. prisma) «нечто отпиленное») —многогранник, две грани которого являются конгруэнтными (равными)многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками. Или (равносильно) — это многогранник, в основаниях которого лежат равные многоугольники, а боковые грани —параллелограммы (рис. 9).

Пирамида (др.-греч. πυραμίς, род. п. πυραμίδος) —многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину (рис. 10).

4.Сечение многогранников.

          Секущая плоскость многогранника — любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника.

          Сечение многогранника — это многоугольник, сторонами которого являются отрезки, по которым секущая плоскость пересекает грани многогранника.

  Правила построения сечений многогранников:

1) проводим прямые через точки, лежащие в одной плоскости;

2) ищем прямые пересечения плоскости сечения с гранями многогранника, для этого:

а) ищем точки пересечения прямой принадлежащей плоскости сечения с прямой, принадлежащей одной из граней (лежащие в одной плоскости);

б) параллельные грани плоскость сечения пересекает по параллельным прямым.

Золотое сечение

Настало время поисков пропорций. Утверждает дух архитектуры.

                                                                                                      Ле Корбюзье

С давних времен ученые занимались поисками гармонии и совершенства. Древние греки считали, что мир устроен по законам гармонии и задача познания мира, таким образом, является задачей поиска гармонии.

Одним из вопросов, волновавших древних ученых был вопрос о нахождении наилучшего соотношения неравных частей, составляющих вместе единое целое. Его решение связывают с именем Пифагора, который установил, что наиболее совершенным делением целого на две неравные части является такое деление, при котором  меньшая часть так относится к большей, как большая часть относится ко всему целому. Тогда  такое деление целого называлось гармоническим отношением.

Интерес к гармоническому отношению необычайно возрос в эпоху Возрождения (XV-XVII) в 1509 г. Итальянский математик монах Лука Пачоли (1445 - ок.1514) написал книгу «О божественной пропорции», в которой говорил о воздействии божественной пропорции на человека, как о «существенном, невыразимом, чудесном, неизъяснимом, неугасимом, возвышенном, превосходнейшем, непостижимом». Иллюстрации к этой книги выполнил великий художник эпохи Возрождения Леонардо да Винчи (1452-1519).

Пачоли назвал гармоническое отношение божественной пропорцией. Термин золотое сечение появился в Германии в первой половине  XIX в.

Золотое сечение выражается следующим образом :

Это первая буква в имени великого древнегреческого скульптора Фидия (V до н.э.), которой часто использовал золотое сечение в своих произведениях. Самыми знаменитыми из них были статуя Зевса Олимпийского ( считалось одним из семи чудес света) и Афины Парфенос (рис.10).

Пропорции золотого сечения создают впечатления гармонии, красоты. Поэтому скульпторы, архитекторы, художники использовали  и используют золотое сечение в своих произведениях.

Знаменитый русский архитектор М.Ф. Казаков широко использовал в своем творчестве золотое сечение. Таковы его здания бывшего Сената в Кремле (рис. 11), дворца  в Петровском Алабине (рис. 12) и Первая клиническая больница им. Н.И.Пирогова.

5.Выпуклые многогранники.

Среди плоских и пространственных фигур выделяют так называемые выпуклые фигуры. Это такие фигуры, которые вместе с любыми двумя своими точками целиком содержат и соединяющий их отрезок.

Многогранник называется выпуклым, если он является выпуклой фигурой, т.е. вместе с любыми двумя  своими точками целиком содержат и соединяющий их отрезок.

 Примеры выпуклых и невыпуклых многогранников приведены на рисунках 1 и 2, соответственно.

Рассмотрим некоторые свойства выпуклых многогранников.

1. В выпуклом многограннике все грани являются выпуклыми многоугольниками.

Доказательство: Пусть F - какая-нибудь грань многогранника M, и A, B – точки, принадлежащие грани F (рис. 2). Из условия выпуклости многогранника M, следует, что отрезок AB целиком содержится в многограннике M. Поскольку этот отрезок лежит в плоскости многоугольника F, он будет целиком содержаться и в этом многоугольнике, т.е. F - выпуклый многоугольник.

2. Выпуклый многогранник может быть составлен из пирамид с общей вершиной, основания которых образуют поверхность многогранника.

Доказательство: Пусть M - выпуклый многогранник. Возьмем какую-нибудь внутреннюю точку S многогранникаM, т.е. такую его точку, которая не принадлежит ни одной грани многогранника M. Соединим точку S с вершинами многогранника M отрезками (рис. 3). Заметим, что в силу выпуклости многогранника M, все эти отрезки содержатся вM. Рассмотрим пирамиды с вершиной S, основаниями которых являются грани многогранника M. Эти пирамиды целиком содержатся в M, и все вместе составляют многогранник M.

3.Выпуклый многогранник лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани.

Доказательство: Предположим противное, т.е. существуют точки A и B многогранника M, лежащие по разные стороны от плоскости некоторой его грани N (рис. 4). Рассмотрим пирамиды с вершинами в точках A, B, основаниями которых является грань N. В силу выпуклости многогранника, эти пирамиды целиком в нем содержатся. Это противоречит тому, что N является гранью многогранника M.

6.Теорема Эйлера

Рассмотрим известные нам многогранники и заполним следующую таблицу, в которой B - число вершин, P - число ребер и Г - число граней:

        Табл. 1

Из этой таблицы непосредственно видно, что для всех выбранных многогранников имеет место равенство В – Р + Г = 2. Оказывается, что это равенство справедливо не только для этих многогранников, но и для произвольного выпуклого многогранника. Впервые это свойство выпуклых многогранников было доказано Л. Эйлером в 1753 г. и получило название теоремы Эйлера. 

Теорема: для любого выпуклого многогранника имеет место равенство: В-Р+Г=2, где В – число вершин,  Р – число ребер, Г – число граней данного многогранника.

Рис 6.

        Доказательство        

Представим поверхность данного многогранника, сделанной из эластичного материала. Удалим (выражением) одну из граней и оставшуюся поверхность растянем на плоскости. Получим сетку, содержащую Г ' = Г – 1 многоугольников (которые по-прежнему будем называть гранями), В - вершин, Р - ребер. Для этой сетки нужно доказать соотношение: В – Р + Г ' = 1

Тогда для многогранника будет справедливо требуемое соотношение. Покажем, что соотношение не изменяется, если в каком-нибудь многоугольнике сетки провести диагональ. Действительно, после проведения такой диагонали в сетке будет В – вершин, Р+1 – ребер,  Г '+1 – граней и, следовательно,  В – (Р+1) + Г ' + 1 =  В – Р + Г '.

Пользуясь этим свойством, проведем в сетке диагонали, разбивающие входящие в нее многоугольники на треугольники, и для получения сетки покажем выполнимость соотношения.

Для этого будем последовательно убирать внешние ребра сетки, уменьшая в нем количество треугольников. При этом возможны 2 случая:

а). для удаления треугольника АВС требуется снять два ребра, в нашем случае АВ и ВС.

б). для удаления треугольника МКN требуется снять одно ребро, в нашем случае МN.

В обоих случаях соотношение не изменяется. Например, в первом случае, после удаления треугольника сетка будет состоять из В-1 вершин, Р-2 ребер, и Г ' -1 граней (В-1) – (Р-2) + (Г ' -1) = В – Р + Г '

Таким образом, удаление одного треугольника не меняет соотношение. Продолжая это удаление треугольников, в конце концов мы придем к сетке, состоящей из одного треугольника, В – Р + Г ' = 1. Значит, соотношение имеет место и для исходной сетки, откуда окончательно получаем, что для данного многогранника справедливо это соотношение.

Теорему Эйлера историки математики называют первой теоремой топологии – раздела геометрии, который изучает свойства фигур, не меняющихся при непрерывных деформациях, допускающих любые растяжения и сжатия, но без разрывов или дополнительных склеек.

Такие свойства фигур называются топологическими. Соотношение Эйлера  В  - Р + Г = 2 для выпуклых многогранников является как раз таким топологическим свойством. Многогранник можно как угодно деформировать, при этом ребра и грани могут искривляться, однако их число, а следовательно, и соотношение Эйлера не меняется.

Заметим, что при доказательстве соотношения мы уже использовали подобные деформации, когда поверхность многогранника с вырезанной одной гранью растягивали на плоскости. При этом на плоскости получался многоугольник, подразделенный на более мелкие многоугольники, для которых справедливо соотношение В – Р + Г ' = 1, где В – число вершин, Р – число ребер, Г ' – число граней (многоугольников). Ребра и сами многоугольники могут быть искривлены, и это  не влияет на соотношение Эйлера.

                                         Леонард Эйлер (1707 – 1783)

В 2013 г. Исполнилось 220 лет со дня смерти Леонардо Эйлера - величайший математик мира, работы которого оказали решающие влияние на развитие многих

современных разделов математики. Эйлер долгое время жил и работал в России, был действительным членом Петербургской Академии наук, оказал большое влияние на развитие русской математической школы и в деле подготовки кадров ученых математиков и педагогов России. Поражает своими размерами научное наследие ученого. При жизни им опубликовано 530 книг и статей, а сейчас их известно уже более 800. Причем последние 12 лет своей жизни Эйлер тяжело болел, ослеп и, несмотря на тяжелый недуг, продолжал работать и творить. Статистические подсчеты показывают, что Эйлер в среднем делал одно открытие в неделю. Трудно найти проблему, которая не была бы затронута в его произведениях. Все математики последующих поколений так или иначе учились у Эйлера, недаром французский ученый П.С. Лаплас говорил: «Читайте Эйлера, он - учитель всех нас».

7.Правильные  многогранники

Выпуклый многогранник называется правильным, если его гранями являются равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.

Тетраэдр – это треугольная пирамида, гранями которой являются правильные треугольники. В каждой ее вершине сходится по три грани. Имея всего  четыре грани, этот многогранник называется тетраэдром, что в переводе означает четырехгранник.

Многогранник, гранями которого являются правильные треугольники, и в каждой вершине сходится четыре грани, поверхность которого состоит из восьми правильных треугольников, называется октаэдром.

Многогранник, в каждой вершине которого сходится пять правильных треугольников , а его поверхность состоит из двадцати правильных треугольников, называется  икосаэдром.

Выпуклый многогранник, в вершине которого может сходиться только три квадрата, называется кубом. Куб имеет шесть граней и поэтому называется также гексаэдром.

Многогранник, гранями которого являются правильные пятиугольники, в каждой вершине сходится три грани, а поверхность состоит из двадцати правильных пятиугольников, называется додекаэдром.

Сведения из истории

Правильные многогранники с древних времен привлекали к себе внимание ученых, архитекторов, художников. Их поражала красота, совершенство, гармония этих многогранников. Пифагорейцы считали эти фигуры божественными и использовали их в своих философских сочинениях о существе мира. Подробно описал свойства правильных многогранников древнегреческий ученый Платон. Именно поэтому правильные многогранники называются также телами Платона. Правильным многогранникам посвящена последняя ХIII книга знаменитых «Начал» Евклида.

В эпоху Возрождения большой интерес к формам правильных многогранников проявили скульпторы, архитекторы, художники. Леонардо да Винчи увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Он проиллюстрировал изображениями правильных и полуправильных многогранников  книгу своего друга монаха Луки Пачоли «О божественной пропорции». Другим знаменитым художником эпохи Возрождения, также увлекавшимся геометрией, был Альбрехт Дюрер. В своей гравюре «Меланхолия» он дал перспективное изображение додекаэдра.  В1525г. А. Дюрер написал трактат, в котором представил пять правильных многогранников, поверхности которых служат хорошими моделями перспективы.

Немецкий астроном и математик Иоганн Кеплер (1571-1630) в своей работе «Тайна мироздания» (1596), используя правильные многогранники, вывел принцип, которому подчиняются  формы и размеры орбит планет Солнечной системы. Геометрия Солнечной системы, по Кеплеру, заключалась в следующем: «Земля(имеется в виду орбита Земли) есть мера всех орбит. Вокруг нее опишем додекаэдр. Описанная вокруг додекаэдра сфера есть сфера Марса. Вокруг сферы Марса опишем тетраэдр. Описанная вокруг тетраэдра сфера есть сфера Юпитера. Вокруг  сферы Юпитера  опишем куб. Описанная вокруг куба сфера есть сфера Сатурна. В сферу Земли вложим икосаэдр. Вписанная в него сфера есть сфера Венеры. В сферу Венеры вложим октаэдр. Вписанная в него сфера есть сфера Меркурия». Такая модель Солнечной системы получила название «Космического кубка» Кеплера, но от ее истинности впоследствии пришлось отказаться.

8.Полуправильные многогранники

Полуправильным многогранником называется выпуклый многогранник, гранями которого являются правильные  многоугольники, возможно и с разным числом сторон, и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.

К полуправильным многогранникам относятся правильные n- угольные призмы, все ребра которых равны, т.е. боковыми гранями которых являются квадраты. Например, правильная шестиугольная призма (рис…) имеет своими гранями два правильных шестиугольника – основания призмы и шесть квадратов, образующих боковую поверхность призмы.

К полуправильным многогранникам относятся также так называемые   n –угольные антипризмы, все ребра которых равны.

Кроме этих двух бесконечных серий полуправильных многогранников имеется еще только 14 полуправильных многогранников, 13 из которых впервые открыл и описал древнегреческий математик, физик и механик Архимед (287-212 до н.э.). Поэтому эти полуправильные многогранники называются также телами Архимеда.

Самые простые из них получаются из правильных многогранников операцией «усечения», состоящей в отсечении плоскостями углов многогранника. Если срезать углы тетраэдра плоскостями, каждая из которых отсекает третью часть его ребер, выходящих из одной вершины, то получим усеченный тетраэдр, имеющий 8 граней. Из них 4- правильные шестиугольники и 4- правильные треугольники. В каждой вершине этого многогранника сходятся 3 грани.

Если таким образом срезать углы октаэдра и икосаэдра, то получим усеченный октаэдр и усеченный икосаэдр.

Из куба и додекаэдра также можно получить усеченный куб и усеченный додекаэдр.

Для того чтобы получить еще один полуправильный многогранник проведем в кубе секущие плоскости через середины ребер, выходящих из одной вершины. В результате получим полуправильный многогранник, который называется кубооктаэдр. Его гранями являются 6 квадратов, как у куба, и 8 правильных треугольников, как у октаэдра. Отсюда и соответствующее название.

Аналогично если в додекаэдре секущие плоскости провести через середины ребер, выходящих из одной вершины, то получим многогранник, который называется икосододекаэдр У него 12 граней- правильные пятиугольники и 20 граней- правильные треугольники, т.е. все грани додекаэдра и икосаэдра. Если к ним применить операцию «усечения», то получим усеченный кубооктаэдр  и усеченный икосододекаэдр.

Ромбокубооктаэдр - у него 26 граней, из них 18 квадратов и 8 правильных треугольников.

Ромбоикосододекаэдр - у него 62 грани, из них 30 квадратов, 20 правильных треугольников и 12 правильных пятиугольников.

«Плосконосый» («курносый») куб - у него 38 граней, из них 6 квадратов и 32 правильных треугольников.

«Плосконосый» («курносый») додекаэдр -  у него 92 грани, из них 12 правильных пятиугольников и 80 правильных треугольников.

На протяжении более 2000 лет, со времен Архимеда, считалось, что других полуправильных многогранников не существует. И только в середине XX века, был открыт еще один и последний полуправильный многогранник. Он получается из ромбокубооктаэдра поворотом верхней чаши на угол

 45 °.

9.Звездчатые многогранники

Кроме правильных и полуправильных многогранников, красивую форму имеет так называемые звездчатые многогранники. Первые два правильные звездчатые многогранника были открыты И.Кеплером, а два других в 1840 г. Построил французский инженер, механик и математик Л. Пуансо (1777-1859).Поэтому правильные звездчатые многогранники получили названия тел Кеплера-Пуансо. Они получаются из правильных многогранников  продолжением их граней или ребер. Из тетраэдра, куба, октаэдра звездчатые многогранники не получаются.

Продолжение ребер додекаэдра приводит к замене каждой грани звездчатым правильным пятиугольником, и в результате получаем многогранник, который называется малым звездчатым додекаэдром.

При продолжении граней додекаэдра возникает две возможности.        Во-первых, при этом можно рассматривать правильные выпуклые пятиугольники, тогда получается многогранник, который называется большой додекаэдр. Во-вторых, в качестве граней можно рассматривать звездчатые пятиугольники , тогда получается многогранник, который называется большой звездчатый додекаэдр.

При продолжении граней икосаэдра получается многогранник, который называется  большой икосаэдр.

Аналогично тому, как из правильных многогранников получают правильные звездчатые многогранники, так из полуправильных многогранников получают полуправильные звездчатые многогранники. В настоящее время известен 51 вид таких многогранников, но не известно исчерпываются ли ими все такие многогранники.

Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применить их в ювелирной промышленности.

С помощью звездчатых многогранников можно разнообразить архитектуру городов, предавая им невиданные космические формы. Примером является оригинальная конструкция выполненная доктором искусствоведческих наук  В.Н. Гамаюновым. Именно это неожиданное сочетание прямоугольных балок с  каркасом сложного звездчатого многогранника было положено в основу проекта административного здания в одном из итальянских городов. О необычный многогранник «Звезда» того же В.Н.Гамаюнова  вдохновил архитектора В.А. Сомова, на создание проекта Национальной библиотеки в Дамаске.

Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинки – звездчатые многогранники. С древности люди пытались описать всевозможные типы снежинок, составлялись специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок.

10.Крисаллы- природные многогранники

Многие формы многогранников изобрел не человек, а создала природа в виде кристаллов. Например,  кристаллы  поваренной соли  имеют форму куба, кристаллы льда и горного хрусталя (кварца), напоминает отточенный с двух сторон карандаш, т.е. форму шестиугольной призмы, на основании которой поставлены шестиугольные пирамиды. Алмаз чаще всего встречается в виде октаэдра, иногда куба и даже кубооктаэдра. Исландский шпат, который раздваивает изображении, имеет форму косого параллелепипеда; гранат- ромбододекаэдра ( двенадцатигранника), у которого все грани ромбы.

На уроках физики было рассмотрено кристаллическое строение твердых тел, упорядоченное расположение частиц в кристалле - кристаллическую решетку, взаимное притяжение частиц в кристалле, тепловое колебательное движение частиц в кристалле, постоянную температуру плавления кристаллических тел, разрушение кристаллической решетки при плавлении , образование кристалла при затвердевании, полупроводниковые свойства некоторых кристаллов.

На уроках химии было изучено образование кристаллов из растворов, очистку веществ кристаллизацией, плотную упаковку частиц в кристалле, молекулярную кристаллическую решетку, физические свойства металлов, как результат особенности строения кристаллов, аллотропные видоизменения углерода как результат различия строения кристаллических решеток.

Перечисленные свойства кристаллов определяются особенностями их геометрического строения, в частности, симметричным расположение атомов в кристаллической решетки. Внешние формы кристаллов являются следствием их внутренней симметрии.

Основными элементами симметрии кристаллов, как и многогранников, являются: плоскости симметрии, оси симметрии и центр симметрии. Кроме основных элементов симметрии  возможны и другие, получающиеся композицией основных симметрий. Полный набор всех элементов симметрии называется группой симметрии данного кристалла. Каждый кристалл характеризуется своей группой симметрии.

Основной вклад в изучении симметрии кристаллов внес выдающийся русский математик и кристаллограф Е.С.Федоров (1853-1919). Он строго математически вывел всевозможные группы кристаллов. Это было за 10 лет до открытия рентгеновских лучей, когда само существование атома ставилось под сомнение. Только через 27 лет с их помощью на опыте было доказано существование кристаллической структуры и тем самым подтверждено блестящее предвидение Е.С.Федорова. Ученым было выведено 230 групп симметрии кристаллов, которые впоследствии были названы федоровскими. Это был исполинский труд, научный подвиг ученого сумевшего подвести под единую геометрическую схему весь природный «хаос» бесчисленных кристаллообразований. Это открытие сродни открытию периодической таблицы Д.И. Менделеева.

Литература

1. И.М.Смирнова «Геометрия» Учебное пособие для 10-11 классов гуманитарного профиля – М. Мнемозина. 2004 г.

2. А.В.Волошинов «Математика и искусство» - М. Просвещение. 1992 г.

3. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б.  и др. Геометрия. 10-11классы –М. Просвещение, 2016 г.

4. О.В.Кузьмин «Поэтикоматематика. Беседы с Гуманитарием о математике»

5. М.Клайн под ред. и предисл. В.И. Аршинова, Ю.В. Сочкова «Математика. Поиск истины»

6. Д.Пидоу «Геометрия и искусство»