Подборка материала по геометрии
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (9, 10, 11 класс) на тему

Задачи по планиметрии. Треугольники

1. Через вершины А и В треугольника АВС проведена окружность, касающаяся прямой ВС, а через вершины В и С – другая окружность, касающаяся прямой АВ. Продолжение общей хорды BD этих окружностей пересекает отрезок АС в точке Е, а продолжение хорды AD одной окружности пересекает другую окружность в точке F.

а) Доказать, что площади треугольников АВС и ABF равны

б) Найти отношение АЕ:ЕС, если АВ=5 и ВС=9.

2. В треугольнике АВС угол В прямой, точка М лежит на стороне АС, причем АМ:МС=4. Величина угла АВМ равна 60 градусов, ВМ=8.

а) Найдите величину угла ВАС

б) Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных вокруг треугольников ВСМ и ВАМ.

3. Через вершины В и С треугольника АВС проходит окружность, пересекающая стороны АВ и АС соответственно в точках К и М.

а) Доказать, что треугольники АВС и АМК подобны.

б) Найти МК и АМ, если АВ=2, ВС=4, СА=5, АК=1.

4. Биссектриса CD угла АСВ при основании равнобедренного треугольника АВС (АВ=АС) делит сторону АВ так, что AD=BC=2.

а) Докажите, что CD=BC 

б) Найдите площадь треугольника АВС.

5. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена высота СD. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники АСD и ВСD, равны 0,6 и 0,8.

а) Докажите подобие треугольников АСD и ВСD, АСD и АВС.

б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.

6. В треугольнике АВС точка О – центр описанной окружности, точка К – середина стороны ВС. Описанная около треугольника ВКО окружность пересекает сторону АВ в точке Т.

а) Докажите, что ТК параллельна АС.

б) Найдите площадь треугольника АВС, если известно, что угол ВКО равен 30°, КТ=8, ВТ=6.

7. В треугольнике АВС АВ=20, АС=24. Окружность с центром О2 на стороне АС проходит через вершину С, точка пересечения биссектрисы угла А со стороной ВС и центром О1 вписанной в треугольник АВС окружности.

а) Докажите, что прямая О1О2 параллельна прямой ВС.

б) Найдите радиус описанной около треугольника АВС окружности.

8. В треугольнике АВС на стороне ВС выбрана точка К так, что СК:ВК=1:2. Точка Е – середина стороны АВ. Отрезки СЕ и АК пересекаются в точке Р.

а) Докажите, что треугольник ВРС и АРС имеют равные площади.

б) Найдите площадь треугольника АВР, если площадь треугольника АВС равна 120.

9. На гипотенузе NL равнобедренного прямоугольного треугольника KLM вне треугольника построен квадрат KLPQ. Прямая MP пересекает гипотенузу KL в точке N.

а) Докажите, что KN:NL=2:1.

б) Прямая, проходящая через точку N перпендикулярна MP, пересекает отрезок KQ в точке R. Найдите KR, если KQ=3.

10. В остроугольном треугольнике АВС Высоты АА1 и СС1 пересекаются в точке О.

а) Докажите, что треугольники АОС и С1ОА1 подобны.

б) Найдите площадь четырехугольника АСА1С1, если известно, что угол АВС равен 30°, а площадь треугольника АВС равна 80.