Конус. Решение задачи.
план-конспект урока по геометрии (11 класс) на тему

         Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Черки - Кильдуразская средняя общеобразовательная школа

Буинского муниципального района РТ»

Открытый урок

по математике в 11классе

 по теме:

                «Конус. Решение задачи»

Подготовила

учитель математики

 первой квалификационной категории

 Исмагилова Н.Ф.

                                             Декабрь 2015г.

                                    Тема: Конус. Решение задачи.

           Цель: формирование  навыков решения практических задач по теме

           Задачи:  Образовательная: Сформировать  понятия: конической поверхности, сечений конуса и его элементов; формировать навыки решения задач на нахождение элементов конуса, навыки  использования  формул вычисления боковой и полной поверхности конуса,  навыки решения прикладных задач; показать связь теории с практикой

Развивающая: способствовать  развитию логического мышления учащихся  и расширению кругозора; развивать пространственное воображение  учащихся,  умение применять формулы планиметрии  при решении стереометрических задач; развивать и совершенствовать умения применять накопленные знания в измененной ситуации; развивать грамотную математическую речь, навыки самоконтроля.

Воспитательная: Воспитывать аккуратность при оформлении работ в тетрадях, ответственность за результат своего труда. Формировать навыки и умения  коммуникативного общения.

Средства обучения: компьютер, мультимедийный проектор, экран, аудиоколонки, классная доска, учебник «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян,  чертёжные инструменты, ресурсы Интерната, USB-модем

Формы организации учебной деятельности: фронтальная, индивидуальная, диалог, работа с материалом слайда, учебника; самостоятельная  и исследовательская работа.

Методы: наглядный, словесный, условно-символический, исследовательский.

Приложение: слайдовая презентация в программе PowerPoint

После завершения урока учащиеся -  

должны знать:

• основные понятия: конической поверхности, сечений конуса и его элементов,
• формулы и методы для нахождения основных компонентов конуса,
• формулы  площади боковой и полной поверхности  конуса;

должны уметь: 

• строить чертежи по условию задачи,
• решать практические задачи на нахождение элементов конуса ,
• видеть фигуры вращения.

1 этап: Организационный.  

Ознакомление с маршрутным листом самооценки.

Проверка д/з. По карточкам. Задача 1.

Задача 2.

2 этап: Повторение. Подготовка учащихся к экзамену по математике в форме ЕГЭ. Устное решение задач  из материалов типовых тестовых заданий.

(Закрепление  навыков нахождения площадей геометрических фигур. В целях организации самопроверки на слайдах приводятся решения заданий) 

1. Найдите площадь ΔABC, считая стороны квадратных клеток равными 1.  (Ответ: 9)                                (см. слайд )

2. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты   (1, 1),   (4, 4),   (5, 1).  (Ответ: 6)       (см. слайд )

3 этап: Определение темы урока. Постановка задач

Учитель: Назовите тему урока, разгадав ребус.

                                                         (см. слайды ) 

4 этап: Теоретический опрос.  

По материалам учебника «Понятие конуса» и «Площадь поверхности конуса»  

(с целью проверки усвоения теоретических понятий)

Учитель:  Ребята, а вы знаете, что латинское слово «conus» заимствовано из греческого языка (konos -  втулка, сосновая шишка)… С конусом люди знакомы с глубокой древности.  В книге Архимеда (287 – 212гг. до н.эры) «О методе» приводятся решения практических  задач, связанных с конусом.          

        А исследование свойств конуса принадлежат  школе Платона (428 – 348 гг. до н.эры), над входом которой было написано: «Пусть сюда  не входит  никто,  не знающий геометрии».                                                                            (см. слайд )

Подробнее о конусе из видиоролика  (лекция «Конус»: что называется конусом; что такое коническая поверхность; пример конической поверхности,  и что называется  круговым конусом). (Просмотр видиоролика  - 2 минуты 26 секунд)

Учитель:  Ребята, ответьте, пожалуйста, на вопросы из слайда :

1. Что называется конусом?

2. Что такое образующая?

3. Что называется радиусом конуса?

4. Какая фигура получается в сечении цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра?

5.  Какая фигура получается в сечении цилиндра плоскостью, проходящей перпендикулярно оси цилиндра?

8. Чему равна площадь боковой поверхности конуса?                     (см. слайд )

(На слайдах приводится наглядная интерпретация, с целью  развития навыков самоконтроля и формирования пространственных представлений учащихся)                                                                                                       

5 этап:   Знакомство   с практическим применением.

Учитель: Ребята, на прошлом уроке вы затруднялись при перечислении предметов, имеющих форму конуса. И сегодня я выполняю свое обещание.  Покажу вам как разнообразно его использование и практическое применение.

Конус можно рассмотреть в различных предметах, начиная с обычного мороженого и заканчивая техникой.

В детстве многие ваши игрушки, или их составляющие  имели форму конуса… А как часто его  можно встретить в природе.                  (см.слайды )

«Природа говорит языком математики:

 буквы этого языка – круги,

треугольники и иные геометрические  фигуры»            

                                                    Г. Гильберт

Учитель: Это формы деревьев, рельеф земной поверхности: горы и холмы. Их можно найти и на дне океана.  «Конусами» называется семейство морских моллюсков. Конусов свыше 500 видов. Живут в тропиках и субтропиках, являются хищниками, имеют ядовитую железу. Укус конусов очень болезнен. Известны смертельные случаи. Раковины используются как украшения, сувениры.

Формы конуса могут принимать и  природные явления, и космические объекты.                                                                                               (см.слайды)

А без конусов архитектурные сооружения не были бы так привлекательны и великолепны!                                                                                        (см лайды)

6 этап:   Выполнение проверочной  работы.  

(с целью проверки усвоения теоретических понятий)

Учитель: Проверим ваши знания. Ответьте, пожалуйста, письменно в тетрадях  на вопросы:

1. Какое из изображённых тел является конусом?

2. Ответы запишите в столбик. Из первых букв составьте слово:

• Фигура, полученная при поперечном сечении конуса?
• Отрезок, соединяющий вершину с окружностью основания?
• Имеет ли конус центр симметрии?
• Тело, полученное при пересечении конуса плоскостью, параллельной основанию?
• Фигура, являющаяся боковой поверхностью конуса?           (см слайды)

Учитель: Теперь попрошу вас обменяться тетрадями и проверить работу друга по слайду. Каковы результаты?                                          (см. слайд)

7 этап:   Решение задач по готовым чертежам.

(с целью формирования навыков решения задач на нахождение элементов конуса, используя знания и навыки решения прямоугольных и равнобедренных треугольников)

Задача №1.     Найти радиус и высоту конуса, если его образующая равна            , а угол при вершине составляет 90°.    

Решение:  По свойству равнобедренного треугольника высота является  медианой и биссектрисой.  Зная, что диагональ квадрата, а также гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна           находим катеты.    Ответ:    R=3, h=3.                                                          (см. слайд) 

Задача №2. Найти высоту и диаметр основания конуса, если его образующая равна  6 , а угол при вершине составляет 120°.      

Решение:  Находим величины острых углов прямоугольного треугольника. По второму свойству прямоугольного треугольника и по Теореме Пифагора находим катеты. Определяем диаметр основания конуса.

Ответ: h=3,  d=                     (см. слайд )

  8 этап: Самостоятельная работа .              

Самостоятельная работа проводится с выбором ответа.        

Фамилия, имя ученика ___________________________________

Реши задания и выбери правильный ответ, заполни таблицу

1. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если образующая равна 5см, а радиус основания 3см.

    1). ,             2). ,           3). ,         4). Нет верного ответа

2. Образующая конуса равна 7см, а радиус основания 3см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

     5). ,       6). ,            7). ,           8). Нет верного ответа,       9).

Проверка самостоятельной работы (проверяет сосед).

Ответы к самостоятельной работе (Слайд )

Вариант 1.

9 этап:   Решение практических задач.

Учитель: Понятие «Освещённость»  как физическая величина, численно равная световому потоку, падающему на единицу поверхности, известна вам из курса физики. Освещённость прямо пропорциональна силе света источника света. А мы сегодня будем будим  вычислять площадь освещаемой поверхность.

Задача № 3.  Фонарь установлен на высоте 8 м. Угол рассеивания фонаря 120°.  Определите, какую поверхность освещает фонарь.

Решение: Освещаемая поверхность – круг, основание конуса. Лампа фонаря – вершина конуса.  Лучи направленные на окружность основания – образующие конуса. Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник. Опустим высоту. Она поделит данный треугольник на два равных прямоугольных треугольника с острыми углами в 30° и 60°.

   Из FOC по второму свойству прямоугольного треугольника находим FC=16 м. По определению тангенса (или по теореме Пифагора) вычисляем ОС=        .

   Площади освещаемой поверхности равна площади основания (круга).

S = π R2 = 192π  ≈ 603(м2).       Ответ: S= 603 м2.                           (см.слайд)    

Учитель: Приближаются новогодние праздники, а с ними и приятны хлопоты по приготовлению. Мы тоже не останемся в стороне и решим задачу.

Задача № 4.  Вычислите, сколько  метров гирлянды   понадобится   для украшения  ёлки?   Гирлянды будут висеть под углом 300 при вершине,  высота  елки – 12 м,  а  длина  еловой  ветви  при основании - 5 м.

Решение:  Форму елки примем за конус с высотой 12м и радиусом основания – 5 м.

   Нити гирлянд закреплены на макушке елки и распределены по боковой поверхности конуса через 30°.

Сколько нитей гирлянд на елке?   360° : 30° = 12 (нитей). Как найти длину одной нити? Она равна образующей конуса.  

   Рассмотрим осевое сечение конуса – равнобедренный треугольник. Из прямоугольного  НВС находим  ВС= 13 см.

Чтобы найти длину всей гирлянды длину нити умножаем на количество нитей. Длина гирлянды 12·13 =156 (м)    Ответ: 156 м.            (см. слайд)

Учитель: Елку нарядили, к новогодним праздникам подготовились.

10. Этап. Работа по учебнику. №567

Ответ: L=5 см

 А сейчас вспомните, как жили в палатках в скаутских лагерях. Представили туристические палатки? Они могут быть разнообразных форм. Мы сегодня будем решать задачу о палатке-конусе. Решаем её с комментированием.                               (см. слайд)

Задача № 5. Сколько квадратных метров брезента потребуется для сооружения палатки конической формы высотой 4 метра и диаметром основания  6 метров?  

На подгиб и швы  необходимо добавить 5%.                                          (см. слайд)

          Дано: конус, h=4 м,  dосн =6 м

          Найти: Sбок=?

Решение: Палатка имеет форму конуса, следовательно нам необходимо вычислить площадь поверхности конуса. Мы знаем, что Sпол =  Sосн  +  Sбок  , где Sбок = πRℓ и Sосн = πR2

                     R=d:2 = 6:2 = 3(м)

   Рассмотрим осевое сечение конуса – равнобедренный треугольник. Опустим высоту (медиану) ВН. Она разобьет АВС на два равных прямоугольных треугольника.  Из ВНС по теореме Пифагора найдем образующую,  ВС = =5м.

    Sбок = πRℓ= π· 3·5 = 15 π ≈ 47,1 (м2),                                           (см.слайд)

    Sосн = πR2 = 9π ≈ 28,26 (м2),  

    Sпол =  Sосн  +  Sбок  = 75,36 ≈ 75,4(м2)  брезента

Найдем  5% от  Sпол , что составит 3,8 м2.   Значит S = Sпол  + 3,8 =79,2 (м2)  

Ответ: 79,2м2  брезента потребуется для палатки.

11 этап:   Подведение итогов.

А теперь оцените свою работу на уроке, насколько активно каждый из вас участвовал.

Работал активно, результатом доволен.

Работал  не в полную силу, хочу улучшить результат.

       Учитель: Все вы хорошо поработали. Я попрошу каждого закончить предложение: «Сегодня на уроке  МЫ ……»                                          

(Выставление оценок, запись домашнего задания

Д/З п.55-57 № 555,568.           (см.слайд)