Презентация по теореме: Свойства параллелепипеда
методическая разработка по геометрии на тему

Слайд 1

Свойства параллелепипеда Подготовила: Преподаватель математики ГБОУ СПО БППК Плющева А.В. 2013г.

Слайд 2

Планиметрия Стереометрия Какое тело «аналогично» параллелограмму? Какие элементы параллелепипеда «аналогичны» сторонам параллелограмма? Каковы свойства сторон параллелограмма? Изучите модель параллелепипеда и определите, какими свойствами обладают его грани? Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны Докажем это

Слайд 3

Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны A B C D A 1 B 1 C 1 Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – параллелепипед Доказать: AA 1 D 1 D || BB 1 C 1 C ABCD || A 1 B 1 C 1 D 1 AA 1 B 1 B || DD 1 C 1 C 2) AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C О какой фигуре идёт речь в теореме? Что требуется доказать? Определите противоположные грани и запишите требование теоремы Теорема: D 1

Слайд 4

Теорема: Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны A D C B A 1 B 1 C 1 D 1 Докажем параллельность граней О каких гранях идёт речь? Сколько пар граней достаточно рассмотреть для доказательства их параллельности? Если взять грань AA 1 D 1 D , тогда какая будет ей противоположной? BB 1 C 1 C Что значит, что грани параллельны? Лежат в параллельных плоскостях Что используют для док-ва параллельности плоскостей? Признак: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны Можно ли выделить такие пары прямых? AA 1 и BB 1 , AD и BC Из какой фигуры можно сделать вывод, что АА 1 || BB 1 ? Почему AD||BC? Что ещё нужно знать об выбранных прямых одной плоскости? Они должны пересекаться Какой вывод сделаем? AA 1 D 1 D || BB 1 C 1 C Одну Выполняется это условие?

Слайд 5

Теорема: Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны Докажем равенство граней О каких гранях идёт речь? А В С D A 1 B 1 C 1 D 1 Докажем для граней АА 1 D 1 D и ВВ 1 С 1 С. В каком случае два параллелограмма равны? Параллелограммы Когда соответствующие элементы одного параллелограмма равны соответствующим другого параллелограмма Сколько пар равных элементов достаточно найти? 3 пары Можно ли взять стороны AD и AA 1 и  A 1 AD параллелограмма АА 1 D 1 D? Почему? Тогда назовите соответствующие элементы второго параллелограмма Какой сделаем вывод? AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C Это 2 смежные стороны и угол между ними Будет ли выполнятся равенство соответствующих элементов?  A 1 AD =  B 1 В C , как углы с сонаправленными сторонами Что представляют собой грани параллелепипеда?

Слайд 6

Изучите доказательство, представленное в учебнике. Так как ABCD и ADD 1 A 1 – параллелограммы, то AB||DC и AA 1 ||DD 1 . Таким образом, две пересекающиеся прямые AB и AA 1 одной грани соответственно параллельны двум прямым CD и DD 1 другой грани. Отсюда по признаку параллельности плоскостей следует, что грани ABB 1 A 1 и DCC 1 D 1 параллельны. Так как все грани параллелепипеда – параллелограммы, то AB=DC и AA 1 =DD 1 . По этой же причине стороны углов A 1 AB и D 1 DC соответственно сонаправлены, и, значит, эти углы равны. Таким образом, две смежные стороны и угол между ними параллелограмма ABB 1 A 1 соответственно равны двум смежным сторонам и углу между ними параллелограмма DCC 1 D 1 , поэтому эти параллелограммы равны. Выделите этапы доказательства. 1 . 2. 1) 3) 1) 2) 3) 2) На чем основано доказательстве параллельности граней? На чём основано доказательство равенства граней? A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 Докажем, например, параллельность и равенство граней АВВ 1 А 1 и DCC 1 D 1 Выделите этапы его применения. Выделите этапы его применения.

Слайд 7

Оформите доказательство теоремы для граней AA 1 D 1 D и BB 1 C 1 C . Теорема: Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - параллелограмм Доказать: 1. ABCD || A 1 B 1 C 1 D 1 AA 1 B 1 B || DD 1 C 1 C AA 1 D 1 D || BB 1 C 1 C 2. ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C Доказательство: Рассмотрим грани AA 1 D 1 D и BB 1 C 1 C . а) AD || BC , т.к. АВС D – параллелограмм б) AA 1 || BB 1 т.к. АА 1 В 1 В – параллелограмм в) AD x AA1 AA 1 D 1 D || BB 1 C 1 C (по признаку параллельности плоскостей) а) AA 1 = BB 1 (как стороны параллелограмма АА 1 В 1 В) б) AD = BC (как стороны параллелограмма АВС D ) в )  A 1 AD =  B 1 BC (как углы с сонаправленными сторонами) AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (по 2-м смежным сторонам и углу между ними) 1. Докажем, что грани параллельны 2. Докажем, что грани равны Сравните свое оформление с предложенным и сделайте выводы для себя

Слайд 8

Применение изученной теоремы при решении задач Теорема: Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны Дано : АВС D А 1 В 1 С 1 D 1 - параллелепипед АА 1 = 6 см; AD = 4 см  A 1 AD = 60  Найти : B 1 C A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 Дано : AD 1 =8 см A 1 D =6 см AD 1  A 1 D = O  AOD = 30  Найти : CB A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 6 4 60 ? 8 6 O 30 ? Решение: A 1 D=  36+16-2  6  4  cos60  =  22 Т.к. A 1 D = B 1 C , то B 1 C =  22 Решение: AD=  16+9-2  3  4  cos30  =  25-12  3 Т.к. AD = BC, то BC =  25-12  3 Составьте задачу по чертежу Решите задачу Нанесите данные на чертеж Решите задачу