Конспект урока по теме "Теорема Виета" 8 класс
план-конспект урока по геометрии (8 класс) на тему

МБОУ СОШ №21

Урок на тему

«Теорема Виета»

8 класс

Учитель: Кунаева Т. В.

Цель: повторить: решение квадратичных уравнений с помощью формулы; изучить: теорему Виеты и применять её при решении квадратных уравнений.

1. Орг. момент (ознакомить учащихся с темой, целью и планом урока)

Слово учителя: Большое значение при решении квадратных уравнений имеет теорема Виета, позволяющая решать многие квадратичные уравнения устно. На изучение теоремы отводится 2 часа, хотя она заслужила большего внимания.

2. Объяснение нового материала: На I уроке знакомим с самой теоремой. Для этого на примере конкретного уравнения, например,  находим корни уравнения по известной формуле.  Получаем

Беседа с учащимися: 

1. Найдите сумму корней данного квадратного уравнения:  
2. Сравните сумму со вторым коэффициентом уравнения.  Сделайте вывод.
3. Вычислите произведения корней:  
4. Сравните  произведение корней со свободным членом.  Сделайте вывод.  Итак получаем,  что:   

Случаен ли получившийся результат?

Докажем, что для любого приведённого уравнения будет справедливо данное утверждение. Итак, имеем приведённое квадратное уравнение тогда его корни  

Вывод:  

Далее формулируем обратную теорему.

3. Закрепление изученного материала: 

Применим теорему обратную теореме Виета для нахождения корней следующих уравнений:

4. Продолжение объяснения:

А как быть, если квадратное уравнение не приведённое, а полное. Тогда        

  приведём к виду   . Для полного квадратного уравнения теорема Виета примет вид:     На сколько важна данная теорема в математике говорит стихотворение:

По праву достойна стихом быть воспета

О свойствах корней теорема Виета

Что лучше, скажи, постоянства такого:

Умножишь ты корни и дробь уж готова:

В числителе «с», в знаменателе «а»,

И сумма корней тоже дроби равна.

Хотя с минусом дробь эта – что ж не беда

В числителе «в», в знаменателе «а».

5. Закрепление:  Полезно предложить ребятам задания типа:

1. Составить квадратные уравнения по данным их корням: а) 3 и 5; б) 4 и -7;

в) -6 и -2; г) -1 и -3; д) ; е) ; ж) ; з) ;

2)  Не рещая  следующих уравнений, определить знаки корней:

6. Объяснение нового материала:

На втором уроке обязательно  нужно знакомить ребят с двумя следствиями из теоремы Виета, хотя наши современные учебники и программы это не предусматривают.

Рассмотрим эти следствия.

Пусть дано уравнение  . Используя теорему Виета, определите при каких условиях один из корней уравнения равен 1? Чем при этом равен второй корень?

Итак, если , то легко найти , т.к.   .  Тогда , подставим , получим    преобразуем:

. Отсюда получаем, что I следствие, читается так: Если в квадратном уравнении , то  . Аналогичным образом получаем II следствие: Если в квадратном уравнении , то  

. Данное следствие можно предложить ребятам получить самостоятельно.

7. Закрепление:

На применение следствий из теоремы Виета можно предложить учащимся устно найти корни уравнений:

2. А письменно решить уравнение:

Ребята легко видят, что  можно заменить y. Тогда уравнение будет:   поэтому   (т.к.  (1+6 – 7= 0))  ⇒ 

Ответ:  .

3. Когда учащиеся уже будут достаточно свободно владеть т. Виета (и обратной теоремой), следствиями из т. Виета, им предложить задания более интересного содержания.

• Уравнения  имеет корни  . При каком значении:

1. Разность корней будет равна 6?
2. Сумма квадратов корней будет равна 34?
3. Разность квадратов корней будет равна 30?

• Не решая уравнения  вычислить:

1. Сумму квадратов его корней;
2. Разность квадратов его корней;
3. Сумму кубов его корней;
4. Разность кубов его корней;
5. 

Образец рассуждения может быть следующим:  для уравнения  , , тогда  .

• Решить уравнение: а) , зная что сумма квадратов его корней равна 58. б) , зная что сумма квадратов его корней равна 34.
• Не вычисляя  для уравнения   найдите:

а)                             в)

б)               г)

• В уравнении сумма квадратов корней равна 16, . Найдите m.
• Для уравнения , не решая его, составить новое уравнение, корни которого были бы кубами корней данного уравнения.

Данные упражнения и аналогичные им, конечно, не следует всё выдавать за два урока. Их можно предлагать и в качестве дополнительных вопросов более успевающим ребятам, и на последующих уроках при изучении дробных – рациональных уравнений. Главное не просто изучить теорему Виета, а отработать твёрдые навыки в её применении. Тогда при дальнейшем изучении алгебры не будет вызывать затруднения задания:

Упростить:

1. 
2. .

Их уже можно будет решать полуустно.