Методическая разработка "Векторы в пространстве"
методическая разработка по геометрии (10 класс) на тему

Характеристика урока:

Данный урок является одним из компьютерных уроков по теме «Координаты и векторы в пространстве». Он проводится в нестандартной форме с целью поддержания интереса к предмету. Учащиеся на подобных уроках получают хороший эмоциональный заряд, так как урок проходит в непринужденной доброжелательной обстановке. Важным положительным эффектом применения компьютерной техники на уроке является повышение мотивации учения. При этом особенно ярко видно влияние новых компьютерных средств преподавания на “слабых” учащихся; для многих из них работа с компьютером оказывается той единственной ступенькой к возрождению интереса к учебе, возможностью добиться успеха. При изучении темы “Векторы в пространстве” необходимо актуализировать довольно большой объем знаний, полученных в 10 классе. С использованием компьютера этот процесс идет значительно быстрее, а за счет экономии времени удается рассмотреть большее количество задач,  сократить время на повторение пройденного материала и усвоение нового материала за счет большей наглядности и активизации зрительной памяти. Игровой момент становится тем символом, который в нужный момент позволяет вспомнить правило и не ошибиться при решении задачи на сложение векторов. Рассмотрение теоремы о разложении вектора в пространстве по трем некомпланарным векторам становится очень доступным и очевидным с использованием возможностей анимации. Чертеж, выполненный на доске, проигрывает виртуальному уже хотя бы потому, что виртуальный можно воспроизводить в неизменном виде (что актуально для зрительной памяти) любое количество раз; при необходимости можно возвращаться к предыдущим этапам построения. Конструктивно сформулированные вопросы учителя вовлекают учащихся всего класса в процесс доказательства теоремы.

Использование компьютерных технологий в образовательном процессе вообще и на уроках математики в частности, позволяет придти к следующим выводам:

Мультимедийная система обеспечивает:

• Наглядность материала, в том числе, за счет звука, цвета, движения;
• Ускорение темпа урока;
• Свободу постоянного экспериментирования с целью улучшения методики преподавания;
• Последовательный характер обучения за счет планомерного накапливания наглядных электронных пособий, позволяющих с легкостью в любой момент вернуться к уже знакомым, эмоционально окрашенным образам пройденного материала, которые могут быть гораздо экспрессивнее всем известных опорных сигналов.

Компьютер на уроке - это педагогическая реальность, которая твердо вошла в нашу жизнь; при этом компьютер можно рассматривать как еще одно дополнение к процессу обучения, а не заменяющее учителя и учебник средство обучения.

В этой теме основной акцент делается на формирование наглядных представлений. Для каждого из рассматриваемых случаев даются определения и некоторые  признаки. При изучении определений и свойств векторов основное внимание необходимо уделить усвоению формулировок и умению применять их к решению задач.

Основное внимание направлено на задачи вычисления суммы векторов, нахождения начала или конца вектора через координаты вектора, умножения вектора на число, а также признака коллинеарности векторов. При повторении определений равных и сонаправленых, противоположных и противоположнонаправленных векторов особое внимание следует уделить “реальному” изображению этих векторов. С этой целью различные векторы  иллюстрирую на отдельных слайдах и на прямоугольном параллелепипеде.

Работая на уроке, учащиеся овладевают:

1. Учебно-интеллектуальными умениями и навыками:

- по формулам вычисляют координаты вектора, длину вектора, сумму и разность векторов, умножают вектор на число.

2. Учебно-исследовательским:

- анализируют учебный материал 9 и 11 классов, сравнивают коллинеарные векторы, равные, сонаправленные, противоположные и противоположнонаправленные векторы по их координатам и  представляя их графически.

3. Учебно-организационными:

- планируют работу в малых группах, осуществляют самоконтроль.

Чтобы урок для учащихся был активным и максимально индивидуализированным, чтобы реализовались особенности каждого учащегося, применяю технологию интерактивного обучения «работа в малых группах».

Тема урока: Векторы в пространстве.

Цели урока: 

образовательные:

• Ввести понятие вектора в пространстве, его длины, понятие коллинеарных и равных векторов; действия над векторами в пространстве.

развивающие:

• Развитие пространственного воображения учащихся.
• Развивать умения строить логическую цепочку рассуждений, анализировать, выделять главное, сравнивать, строить аналогии, обобщать и систематизировать, делать выводы.
• Развивать умение работать в должном темпе.

воспитательные:

• Воспитание умения  слушать, умения работать в малых группах.

• Воспитание познавательного интереса к предмету.

методические:

• Внедрение интерактивных технологий обучения (работа в малых группах).
• Активизация мыслительно-познавательной  деятельности учащихся.
• Создание условий для формирования знаний, умений и навыков;

Тип урока: урок изучения нового материала.

Вид урока: урок с компьютерным сопровождением.

Интерактивная технология: работа в малых группах.

Учебный предмет: геометрия

Уровень образования школьников: урок проводился с учащимися 2 курса профессионального лицея торгово-кулинарного профиля.

Время проведения: один академический час (45 минут).

Метод обучения: наглядный; демонстрация мультимедийной презентации.

Дидактическое обеспечение: 

• учебник;
• опорные конспекты “Векторы на плоскости и в пространстве”.

Материально-техническое обеспечение:

• Компьютер.
• Экран.
• Мультимедийный проектор.
• Мультимедийная презентация.

Межпредметные связи:

Алгебра: «Действия над действительными числами»

Физика: «Сила», «Скорость», «Движение», «Давление»

Физическое воспитание: «Спортивные игры. Баскетбол. Волейбол»

Структура урока:

1. Организационный момент.
2. Мотивация учебной деятельности.
3. Изучение  нового материала и применение знаний при решении типовых задач.
4. Самостоятельное применение знаний, умений и навыков.
5. Задание на дом.
6. Рефлексия.
7. Итог урока.

“Математика - это наука о хитроумных операциях, производимых по специально разработанным правилам над специально придуманными понятиями“ 

 Юджин Пол Вигнер

 американский физик

Ход урока:

1. Организационный момент.

Преподаватель приветствует учащихся и отмечает в журнале отсутствующих.

II.    Мотивация учебной деятельности.

Вступительное слово преподавателя:

(слайд 1)Эпиграфом к нашему уроку я взяла высказывание американского физика Юджина Пола Вигнера: “Математика - это наука о хитроумных операциях, производимых по специально разработанным правилам над специально придуманными понятиями“. Сегодня как раз мы и будем заниматься такими хитроумными операциями над специально разработанными понятиями. А полученные знания нам пригодятся при сдаче ГИА и внешнего независимого оценивания.

Шарада:  (слайд 2)

Мой первый слог - почтенный срок,

Коль прожит он недаром;

Модель второго на столе,

Румяна, с пылу с жару.

Меня вы встретите везде –

Такой я вездесущий.

А имя громкое мое –

Латинское «несущий».          

(Век-тор)

Преподаватель сообщает тему урока и ставит задачу совместного сотрудничества с учащимися на период урока, мотивируя эту деятельность. (слайды 3 – 6)

В наши дни понятие «вектор» постоянно встречается в газетных и журнальных публикациях, в выступлениях политиков, ученых, педагогов. Обсуждая важнейшие процессы в жизни общества, говорят о векторе реформ и его социальной составляющей, о векторе экономических преобразований и его изменении, о направлении вектора развития системы образования. Понятие о векторе как направленном отрезке вошло в сознание и речь современного образованного человека. Термин «вектор» ввел в науку в середине XIX в. выдающийся ученый Уильям Гамильтон (1805-1865), профессор астрономии в Дублинском университете и королевский астроном Ирландии. Механика и астрономия дали важнейший импульс процессу создания векторного исчисления, где впервые были изучены векторные величины - сила и скорость. Еще в школе Аристотеля  был введен термин «сложение движений», т. е. скоростей и астрономы средневекового Востока  постоянно использовали «сложение движений». В 1844 г. в первой публикации по теории кватернионов Гамильтон ввел термин «вектор», образовав его от латинского слова «vehere» - «нести». Он писал: «Шаг от точки А к точке В можно рассматривать как работу по транспортировке или переносу подвижной точки из начального положения в конечное».

Так в геометрии трудами многих ученых к середине XIX в. была создана теория направленных отрезков, включающая операции сложения и вычитания, умножения на число, отыскания длин отрезков и углов между ними.

В курсе 9 класса вы изучали векторы на плоскости.  

Перед нами стоит задача – дать определение вектора в пространстве, научиться находить его длину по координатам начала и конца вектора и рассмотреть основные действия над векторами: сложение, вычитание, умножение на число, а также рассмотреть коллинеарные и компланарные  векторы.

Поставленную перед нами задачу мы будем решать на основе сравнительного анализа и установления закономерностей:  как давались определения вектора и операций над векторами на плоскости и как они формулируются для векторов в пространстве. На каждой парте лежат опорные конспекты, правую часть которых необходимо заполнить учащимся, пользуясь материалом учебника.

III.  Изучение  нового материала и применение знаний при решении типовых задач.

 Чтобы вам на уроке было интересно, вы будете работать в малых группах. А чтобы мне было легче дирижировать уроком, я вам предлагаю игру «Светофор». Когда какой-нибудь ученик будет отвечать на мой вопрос, все остальные учащиеся будут поднимать «светофор» либо зелёной стороной («согласен»), либо красной  стороной («не согласен»). И при этом надо быть готовым высказать своё мнение по вопросу. За правильный ответ я буду вам выдавать условные денежные единицы «абсолюты», вы их будете накапливать, а по окончании урока мы переведём эти денежные единицы в оценки. Курс: 1 абсолют – 2 балла.

Вопросы:

1. Дайте определение вектора в пространстве и запишите его в таблицу.
2. Как найти координаты вектора, зная координаты точек начала и конца вектора. (слайд 7)

(слайд 8)  Задача 1. Найдите координаты вектора , если М(10; -4; 2) и К(16; 2 -5).

                 Ответ: (6; 6; -7)

3. Как вычислить длину вектора, зная его координаты. (слайд 9)

(слайд 10) Задача 2. Найдите модуль вектора  ( - 5; 1; 2).

                Ответ:

4. (слайд 11) Любая точка пространства является нулевым вектором. Длина нулевого вектора равна 0.
5. (слайды 12 -15 ) Сонаправленные, противоположнонаправленные, противоположные, равные векторы.
6. (слайд 16) Устно решить задачу. Сколько равных векторов изображено на рисунке?

7. (слайд 17) Задача 3. . При каком значении n векторы (4; 2n - 1; -1) и (4; 9 – 3n; -1) равны?

               Ответ:  при n = 2

8. (слайд 18) Лови ошибку.
9. (слайд 19) Назовите векторы.
10. Устно решить задачу 4 (слайд 20). Приведите примеры сонаправленных и равных векторов; противоположнонаправленных и противоположных векторов, изображённых на рисунке. Всегда ли это одно и то же? 
11. (слайды 21 - 25) Дайте определение суммы векторов. А если сложить несколько векторов в пространстве, какая фигура получится?

Заметили ли вы, что многоугольник, который получается при построении суммы нескольких векторов, может оказаться пространственным, т. е. не все его вершины лежат в одной плоскости?

12. (слайд 26) Задача 5. Найдите сумму векторов  и , если А(2; 3; -1), С(3; -2; 0), а В – произвольная точка пространства

            Ответ: (1; -5; 1)

13. (слайды 27, 28) Дайте определение разности векторов.
14. (слайд 29)  Задача 6. Найдите разность векторов  и  , если В(3; 7; 10),         С(1; 9; -6), а А – произвольная точка пространства.

            Ответ: (2; -2; 16)

15. (слайды 30 - 32) Как умножается вектор на число?
16. (слайд 33)  Задача 7. Найдите координаты вектора с = 2а -3b, если а(7; -3; 0) и b(4; 1; -2)

Ответ: (2; -9; 6)

17. (слайд 34) Задача 8. Найдите абсолютную величину вектора 3, если (4; -4; 2) Рассмотреть 2 способа решения.

            Ответ:  = 18

18. (слайд 35)  Дайте определение коллинеарных векторов.
19.  (слайд 36)  Задача 9. При каких значениях  m  и  n  векторы   (4; -1; n)  и  (8; m; 2)  будут коллинеарны?

Ответ: при n = 1;  m = -2.

20. (слайды 37 – 38) Компланарные векторы

4. Самостоятельное применение знаний, умений и навыков.

(слайд 39) Устный тест:

1.Что называется вектором?

        а)любой отрезок

        б)отрезок, обозначенный двумя заглавными латинскими буквами

        в) отрезок с выбранным направлением

2. Какой вектор является нулевым?

        а)длина вектора равна 0

        б)вектор лежит на прямой

        в)вектор обозначен одной буквой

3. Векторы коллинеарны, если…

        а)лежат  на прямых

        б)лежат на параллельных прямых

        в)один из векторов нулевой

5. Векторы называются равными, если …

        а)их длины равны

        б)их модули равны и векторы направлены в одну сторону

        в)они отложены от одной точки

(слайд 40) Математический диктант.

Даны векторы:      Вариант 1 -           (-3; 0; 4)  и   (2; 4; -4)

                               Вариант 2 -           (2; -2; 0)  и   (2; 2; -1)

Запишите:

1. Координаты вектора   = 2
2. Координаты вектора , если  =  +
3. Координаты вектора , если  =   -  
4. Длину вектора .
5. При каком значении k вектор  (k; -3; 6) коллинеарен вектору ?
6. Из векторов  (1; 1; -2),  (-1; -2; 2),  (2; -4; 4),  (-4; -4; 2) укажите векторы противоположнонаправленные с вектором .

V.  Задание на дом.  (слайд 41)

VI. Рефлексия. (слад 42)

Закончи предложение: Я умею …, я могу …, я знаю ….

VII. Итог урока. Оценивание учащихся.

Информационные источники:

1. А. Гин Приёмы педагогической техники
2. Сборник заданий для государственной итоговой аттестации по математике. 11 класс: В 2 кн. Кн. 1/ М.И.Бурда, О.Я. Белянина, О.П.Вашуленко и др. – Х.: Гимназия, 2008. – 224с.
3. Сборник заданий для государственной итоговой аттестации по математике. 11 класс: В 2 кн. Кн. 2/ М.И.Бурда, О.Я. Белянина, О.П.Вашуленко и др. – Х.: Гимназия, 2008. – 224с.
4. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Рабинович Е.М., Якир М.С. Сборник задач и контрольных работ по геометрии для 10 класса. – Харьков, Гимназия, 128 с.: ил.
5. ЕршоваА.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по геометрии для 10 – 11 класса.
6. Школьный конспект по геометрии. 10 класс / ЕршоваА.П., Голобородько В.В., Крыжановский А.Ф. – Харьков: Веста, 2005. – 112 с.
7. Алтынов П.И. Тесты. 10-11 кл.: Учебно-метод. пособие. – 3-е изд. – М.% Дрофа, 1999. – 80 с.
8. Сборник заданий для государственной итоговой аттестации по математике. Геометрия. 11 класс. Под редакцией З.И. Слепкань. – Харьков, «Гимназия», 2002, - 184 с.
9. Microsoft Office PowerPoint