Алгоритмы построения правильных многоугольников
презентация к уроку по геометрии (9 класс) на тему

1. Из истории построения правильных многоугольников

Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

Примерами правильных  многоугольников являются равносторонний треугольник, квадрат, правильный шестиугольник  и другие правильные многоугольники.

Построение правильного многоугольника с n сторонами оставалась проблемой для математиков вплоть до ХIХ века. Построение правильного многоугольника с n сторонами идентично разделению окружности на n равных частей, так как соединив между собой точки делящие окружность на части, можно получить искомый многоугольник.

Древнегреческий математик Архимед  использовал правильные  многоугольники для вычисления числа π. Он вычислял площади вписанных в окружность и описанных вокруг неё многоугольников, постепенно увеличивая число их сторон. Евклид в своих «Началах» занимался построением правильных многоугольников в книге IV, решал задачу для

n = 3, 4, 5, 15. Древнегреческие математики умели строить правильные многоугольники.

Средневековая математика почти никак не продвинулась в вопросе построения правильных многоугольников.

Лишь в1796 году Карл Фридрих Гаусс доказал, что если число сторон правильного многоугольника равно простому числу Ферма, то его можно построить с помощью циркуля и линейки. На сегодняшний день известны следующие числа Ферма: 3, 5, 17, 257, 65537. Вопрос о наличии или отсутствия других таких чисел остаётся открытым.Интересно, что поиски простых чисел Ферма  на современных компьютерах не дали результатов, все проверенные числа оказывались составными. Поскольку число 7 не является простым числом Ферма, то построить правильный семиугольник с помощью циркуля и линейки невозможно, как невозможно построить одиннадцатиугольник, тринадцати- и четырнадцатиугольники, невозможно построить правильный девятиугольник. Пока известна возможность построения лишь 31 правильного многоугольника с нечётным числом вершин.

В 1894 году была поставлена точка в деле построения правильных многоугольников, когда были построены правильные 17-257-и 65537-угольника.

Алгоритм № 1.

Для построения правильного n –  угольника   произведём расчёт величины его углов.  

Так как сумма всех углов правильного  n – угольника  равна (n – 2)∙180º  и  все его углы равны, то угол правильного многоугольника будет вычисляться по формуле:

Вычислив  величину угла правильного n – угольника и зная длину его стороны, мы можем построить при помощи транспортира и линейки любой правильный многоугольник.

Например: Построить правильный шестиугольник с заданной стороной а.

Решение:

Построение выполняем последующему алгоритму.

1.Вычисляем по формуле угол правильного шестиугольника,

2.Проводим при помощи линейки прямую линию.

3.Откладываем при помощи циркуля на прямой отрезок длиной равной а.

4. Строим при помощи транспортира углы величиной 120º с вершинами на

концах отрезка  а.

5. Откладываем при помощи циркуля на полученных лучах отрезки длинной равной а.

6. Строим при помощи транспортира углы величиной 120º с вершинами на

концах полученных отрезков.  

7. Откладываем при помощи циркуля на полученных лучах отрезки длинной равной а.

8. Соединяем концы полученных отрезков.

Алгоритм построения правильного многоугольника можно изобразить

в следующей последовательности чертежей.

Полученный многоугольник является правильным шестиугольником. Аналогично можно построить любой правильный n – угольник.

Алгоритм № 2.

Этот алгоритм очень прост, поэтому особого внимания математики ему не уделяют.

Центральный угол окружности составляет 360º.

1. Делим 360º на n равных частей.

2. Проводим лучи до пересечения с окружностью.

3. Соединяем точки пересечения.

Полученный многоугольник является правильным n –угольником.

3. Алгоритм построения правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки.

Следующий алгоритм построения правильных многоугольников основан на свойствах  описанной окружности около правильного многоугольника и  вписанной в правильный многоугольник.

Теорема 1. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Теорема 2. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Следствие 1. Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается 

сторон многоугольника в их серединах.

Следствие 2. Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в этот многоугольник  

Для построения правильных n – угольников при n › 4 обычно используется окружность, описанная около многоугольника.

Задача 1. Построить правильный шестиугольник, сторона которого равна данному отрезку.

Решение.  

Для решения задачи воспользуемся формулой а 6 = R. Пусть а – данный отрезок.

Алгоритм построения.

1.Построим окружность радиуса а.

2. Отметим на ней произвольную точку А1.

3. Не меняя раствора циркуля, построим на этой окружности точки А2 ,  А3 , А4 , А5 , А6 так, чтобы выполнялись равенства

А1 А2 =  А2 А3 = А3 А4  = А4 А5 = А5 А6 

4.Соединим последовательно построенные точки отрезками, получим искомый правильный шестиугольник

А1 А2 А3 А4 А5 А6

Задача 2. Дан правильный n – угольник. Построить правильный

                2n – угольник.

Решение. Пусть А1 А2 … А n  - данный правильный n – угольник. Опишем около него окружность. Для этого построим биссектрисы углов А1 и А2 и обозначим буквой О точку их пересечения. Затем проведём окружность с центром О радиуса О А1.

Для решения задачи достаточно разделить дуги А1 А2 , А2 А3, …, А n А1 пополам и каждую из точек деления В1,В2 ,… ,В n  соединить отрезками с концами соответствующей дуги. Для построения точек В1,В2 ,… ,В n  можно воспользоваться серединными перпендикулярами к сторонам данного

n – угольника. По такому алгоритму построим правильный двенадцатиугольник  А1В1 А2В2  А3В3  А4В4 А5В5  А6В6

Применяя указанный алгоритм, можно построить целый ряд правильных n – угольников, если построен один из них. Например, построив правильный  шестиугольник, можно построить правильный двенадцатииугольник, построив правильный четырёхугольник, т. е. квадрат, можно построить правильный восьмиугольник, затем правильный шестнадцатиугольник и вообще правильный 2 К – угольник, где к – любое целое число.