"Решение задач на применение теоремы о трёх перпендикулярах"
методическая разработка по геометрии (10 класс) по теме

Урок геометрии. 10 класс

Учебник: Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. «Геометрия, 10 – 11»

Тема урока: Решение задач на применение теоремы о трёх перпендикулярах

Цели урока: совершенствовать умения учащихся применять теоретические знания к решению задач на доказательство и вычисления, развивать пространственное воображение, развивать умение строить аргументированное и логически верное решение задачи, способствовать дальнейшему развитию навыков самоконтроля.

Ход урока

I.  Устная работа.

Учащимся предлагаются для решения задачи по готовым чертежам (задачи на слайдах), при этом учитель просит, чтобы ученики прежде всего сформулировали условие задачи.

1. Дано:  АО = 4,                                                                                                                    

                p – касательная к окружности,                                  

                АВ – наклонная к α, АВ = 5

   Доказать: АВ

   Найти: r

2. Дано:                                               М

Доказать:                                             

                                                                                  В                          

                                                                                                                С

                                                                А

                                                                                    D

3. Дано:

    Доказать:

                                                                                                                                      C

                                                                                   A

                                                                                                              B

4. Дано: 

               ВК – медиана и высота ∆ АВС

 Доказать:

Определить вид ∆ АМС                                                                  В                          С

                                                                                                                     К

                                                                                                А

II. На каждой парте лежит лист с задачами (на лицевой стороне – задачи, решение которых будет разбираться со всеми учащимися, на обратной стороне – задачи для самостоятельной работы): 

Учитель предлагает учащимся в течение 15 минут самостоятельно решить 4 задачи:

1. Дано: ВК – высота ∆ АВС                                                  М

               АВ = 7, ВС = 3

              , МВ = 4

              АМ = , СМ = 5                                                    В                      С

Доказать:

2. Дано: , МВ = 3                                                          К

                МА = МС = 5,                                                 А

                АК = КС,                                    

Найти расстояние от точки М до АС.

3. Дано: ∆ АВС, ,                                                                Д

              ,

Доказать:

4. Дано: ∆ АВС, ,                           В                               А

                                                                                                 С

Найти:

Далее проводится проверка и обсуждение решения задач со всеми учащимися класса

Решение задач:

№ 1

1. ∆ МВС – прямоугольный, так как  (4² + 3² = 5²), следовательно
2. ∆ МВА – прямоугольный, так как  (4² + 7² = ), следовательно
3. Из 1) и 2) следует, что МВ – перпендикуляр к плоскости АВС.
4. МК – наклонная к плоскости АВС, ВК – её проекция, , следовательно . Тогда прямая АС перпендикулярна двум пересекающимся прямым МК и ВК плоскости МВК, т.е.

Что и требовалось доказать.

№ 2

1. Так как ,  и . Тогда ∆ АВМ = ∆СВМ по катету и гипотенузе (МВ – общий катет, МА = МС по условию), следовательно АВ = СВ =
2. ∆АВС: АВ = СВ = 4, , ВК – медиана, высота и биссектриса, следовательно ∆АВК – прямоугольный с гипотенузой 4 и острым углом ,

      ВК = 2

3. ВК – проекция МК на плоскость (АВС), , следовательно , т.е. МК – расстояние от точки М до АС.
4. ∆ МВК – прямоугольный ().

Ответ: расстояние от точки М до АС равно  

№ 3

1) , ДС – наклонная к плоскости АВС, АС – её проекция,  (по условию), тогда , ∆ ДСВ – прямоугольный,

2) ∆ АВС – прямоугольный по условию,

3) ∆ ДАВ – прямоугольный (),

4) , что и требовалось доказать.

№ 4

Используем формулу, доказанную в задаче № 3, cos ∠ДВС = cos ∠ДВА ∙ cos ∠АВС

cos∠ДВС = , ∠ ДВС =

Ответ:

III. Проверочная работа. Учащимся предлагается решить одну из задач, представленных на обратной стороне листа, по выбору.

Задачи для самостоятельного решения:

Уровень 1

1. Через вершину В прямоугольника АВСД проведен перпендикуляр МВ к плоскости прямоугольника. Определите вид ∆ АМД и найдите его площадь, если стороны прямоугольника  АВ = 3 и  АД = 8, а ВМ = 4. (Ответ: 20)
2. Из вершины равностороннего треугольника АВС восставлен перпендикуляр АД к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки Д до стороны ВС, если

      АД = 13, ВС = 6. (Ответ: 14)

Уровень 2

1. К плоскости треугольника из центра вписанной в него окружности восставлен перпендикуляр длиной 3. Найдите расстояние от конца этого перпендикуляра до сторон треугольника, если длины сторон треугольника 13, 14 и 15 (Ответ: 5)
2. Точка М лежит вне плоскости ромба АВСД на равном расстоянии от его сторон. Найдите расстояние от проекции точки М на эту плоскость до сторон ромба, если сторона ромба равна 12, а острый угол  (Ответ: 6)

Уровень 3

1. Катеты прямоугольного треугольника равны 18 и 32. Из точки М, делящей гипотенузу пополам, восставлен к плоскости треугольника перпендикуляр МК, равный 12. Найдите расстояние от  точки К до каждого катета. ( Ответ: 20 и 15)
2. Через вершину А прямоугольного треугольника АВС в прямым углом В проведён перпендикуляр АД к плоскости треугольника. Найдите длину наклонной ДС, если её проекция равна ℓ, , . (Ответ: ℓ)

IV. Домашнее задание: п. 20, № 204, 206