Исследовательская работа на тему: "Теорема Пифагора"
проект по геометрии (7 класс) на тему
Цель работы: выведение способа нахождения сторон египетских треугольников.
Задачи:
1. Найти способ нахождения сторон египетских треугольников;
2. Найти как можно больше таких треугольников.
В этом учебном году со второй четверти я стала изучать новый предмет, который называется «Геометрия». Этот предмет мне очень нравится, и я решила исследовать одну интересную задачу: найти как можно больше египетских пифагоровых треугольников. Треугольники со сторонами 3,4, 5; 8,15, 17; 5, 12, 13 и 7, 24,25 являются прямоугольными, так как 172=82+152 или 289= 64+225; 289=289. Решению названных задач было посвящено мое исследование, которым я занималась 2 месяца. Я занималась поиском и сбором информации – изучала печатный материал, работала с материалом в Интернете, обработкой собранными данными. А сколько таких египетских треугольников? Мне стало интересным то, каким путем можно получить таких треугольников, зная, что их очень мало, например, 6 или 7. И я поставила перед собой эту проблему. Если найду хотя бы один способ вычисления сторон египетских треугольников, то обязательно расскажу своим одноклассникам про эту новость. Или будем применять на уроке при изучении этой темы в 8 классе.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
issled.rab_.t.pifagorayu.d.doc | 52.5 КБ |
Предварительный просмотр:
Муниципальный конкурс исследовательских работ учащихся в области естественно-математических наук.
Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
«Ново-Ашапская основная общеобразовательная школа» Бардымского района Пермского края.
Направление: математика (общая алгебра)
Тема работы: « Теорема Пифагора»
Автор работы:
Юсупова Диана Илгизаровна
МБОУ «Ново-Ашапская ООШ»
7 класс
Руководитель работы:
Тимганова
Нурия Мухаметхановна
Учитель математики
МБОУ «Ново-Ашапская ООШ»
Новый Ашап, 2013
Оглавление.
- Введение стр.3
- Основная часть (исследовательская часть) стр.4-7
- Заключение стр.8
- Библиографический список стр.9
- Приложение стр.10-12
Введение.
Цель работы: выведение способа нахождения сторон египетских треугольников.
Задачи:
- Найти способ нахождения сторон египетских треугольников;
- Найти как можно больше таких треугольников.
В этом учебном году со второй четверти я стала изучать новый предмет, который называется «Геометрия». Этот предмет мне очень нравится, и я решила исследовать одну интересную задачу: найти как можно больше египетских пифагоровых треугольников. Треугольники со сторонами 3,4, 5; 8,15, 17; 5, 12, 13 и 7, 24,25 являются прямоугольными, так как 172=82+152 или 289= 64+225; 289=289. Решению названных задач было посвящено мое исследование, которым я занималась 2 месяца. Я занималась поиском и сбором информации – изучала печатный материал, работала с материалом в Интернете, обработкой собранными данными. А сколько таких египетских треугольников? Мне стало интересным то, каким путем можно получить таких треугольников, зная, что их очень мало, например, 6 или 7. И я поставила перед собой эту проблему. Если найду хотя бы один способ вычисления сторон египетских треугольников, то обязательно расскажу своим одноклассникам про эту новость. Или будем применять на уроке при изучении этой темы в 8 классе.
Основная часть.
Термин «Египетский треугольник» дал Пифагор, побывав по настоянию Фалеса в Египте…
А всё дело в том, что древнеегипетские строители пирамид нуждались в способе построения прямого угла. Вот требуемый способ. Веревка разбивается на 12 равных частей, границы между соседними частями помечаются, а концы верёвки соединяются. Затем верёвка натягивается тремя людьми так, чтобы она образовала треугольник, а расстояния между соседними людьми составляли бы, соответственно, 3 части, 4 части и 5 частей. В таком случае треугольник окажется прямоугольным, в коем стороны 3 и 4 будут катетами, а сторона 5 - гипотенузой, так что угол между сторонами 3 и 4 будет прямым.
Боюсь, что большинство людей в ответ на вопрос «Почему треугольник окажется прямоугольным?» сошлются на теорему Пифагора: ведь три в квадрате плюс четыре в квадрате равно пяти в квадрате. Однако обратная теорема Пифагора утверждает, что если треугольник прямоугольный, то в этом случае сумма квадратов двух его сторон равна квадрату третьей.
Для своего исследования я вначале изучила вопрос о теореме Пифагора по школьным учебникам «Геометрия 7-9» Атанасяна Л.С. и Руденко В.Н., а также по учебнику Погорелова А.В. «Геометрия 7-11». Рассмотрела в данных учебниках задачи по теореме Пифагора. В Интернете я ознакомилась с практическим применением теоремы и историческими задачами. Вопрос о практическом применении теоремы Пифагора и о самом Пифагоре в школьном учебнике геометрии Атанасяна, по которому занимаюсь я, не освещен. Упоминается лишь немного о биографии Пифагора и о том, как древние египтяне строили прямые углы с помощью веревки, разделенной на 12 равных частей (3,4,5).
Исследовав литературные источники, я не нашла в них вопроса о способах нахождения египетских треугольников с помощью теоремы Пифагора. Поэтому этот вопрос пришлось изучать самостоятельно.
А
в с2 =а2+в C
с
С а В а=3, в=4, с=5
32+42=52, 9+16=25, 25=25
Пусть,
1 ряд: а=3,в=4,с=5
2 ряд: а=6,в=8,с=10
3 ряд: а=9,в=12,с=15
4 ряд: а=12,в=16,с=20
5 ряд: а=15,в=20,с=25
Если вы заметили, первое число каждый раз увеличивается на 3, второе число - на 4, а третье – на 5. Проверим, выполняется ли равенство по теореме Пифагора? 62+82=102 или 36+84=100 или 100=100-выполняется. Значит, треугольник со сторонами 6,8,10 является прямоугольным. Этот треугольник - египетский. Так же можно проверить и пятый ряд: 152+202=252 или 225+400=625 или 625=625.
Таким образом, я нашла, какие числа стоят в 42 ряду: а=126, в=168, с=210 (1262+1682=2102). Каждый раз, увеличивая в таком порядке, дошла до 70 ряда чисел. Поступая, таким образом, можно найти сколь угодно таких египетских треугольников. Думала, думала, и задала себе вопрос: чему равны
числа а, в и с в двухтысячном ряду? Может, существует какая-то формула для решения этой проблемы? В общем, я долго голову ломала и придумала такой способ: пусть а1=3, а2=6, а3=9 ит.д. Каждое число увеличивается на 3 и увеличенное число обозначим через букву t, t=3. Тогда а2=а1+t, а3=а1+t+t=а1+2t=3+2t, а4=3+3t, получается вот что:
а5=а1+4t
а6=а1+5t
……….
а10=а1+9t=а1+(10-1)t
а100=а1+99t=3+(100-1)*3=3+297=300. Значит, можно найти в100=в1+99*4=4+396=400, зная, что t=4. Так же найти с100, зная t=5:
с100=с1+99*5=5+495=500.
Проверим равенство: 3002 +4002=5002 или 90000+
+160000=250000 или 250000=250000.
Итак, я проверила по этой найденной формуле, чему равны а, в и с в двухтысячном ряду?
а2000=а1+(2000-1)*3=3+1999*3=2+5997=6000
в2000=в1+(2000-1)*4=4+1999*4=4+7996=8000
с2000=с1+(2000-1)*5=5+1999*5=5+9995=10000
Проверим, выполняется ли равенство?
60002+80002=100002
36000000+64000000=100000000
100000000=100000000. Ура!!! Я добилась своей цели: вывела формулу для нахождения сторон египетских треугольников.
Вывод.
Таким образом, египетских треугольников со сторонами а, в и с – бесконечное множество, если аn=а1+(n-1)*t,
где t- увеличенные числа, а именно: 3,4 и 5.
Заключение.
Математическое исследование, проведенное мною, оказалось не только интересным, но и полезным. Своей работой я удовлетворена полностью, так как эта задача для меня была повышенной сложности. Главное не результат, а сам процесс этой работы (сбор информации, попытка самостоятельно разобраться в незнакомой мне задаче).
Ур-ра! Я нашла один способ нахождения сторон египетских треугольников!
Библиографический список.
- Журнал МШ №13, 2008 год, «Проектная деятельность»
- Журнал МШ №20, 2009 год, «Об организации исследовательской деятельности школьников»
- Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Э.Г.Позняк, И.И.Юдина
- «Геометрия 7-9», Москва «Просвещение» 2007 г.
- «Геометрия 7-11», М, «Просвещение» 2003 г.
Приложение.
а в с
135 180 225
3 4 5 138 184 230
6 8 10 141 188 235
9 12 15 144 192 240
12 16 20 147 196 245
15 20 25 150 200 250
18 24 30 153 204 255
21 28 35 156 208 260
24 32 40 159 212 265
27 36 45 162 216 270
30 40 50 165 220 275
33 44 55 168 224 280
36 48 60 171 228 285
39 52 65 174 232 290
42 56 65 177 236 295
42 56 70 180 240 300
45 60 75 183 244 305
48 64 80 186 248 310
51 68 85 189 252 315
54 72 90 192 256 320
57 76 95 195 260 325
60 80 100 198 264 330
63 84 105 201 268 335
66 88 110 204 272 340
69 92 115 207 276 345
72 96 120 210 280 350
75 100 125
78 104 130
81 108 135
84 112 140
87 116 145
90 120 150
93 124 155
96 128 160
99 132 165
102 136 170
105 140 175
108 144 180
111 148 185
114 152 190
117 156 195
120 160 200
123 164 205
126 168 210
129 172 215
132 176 220
Последний ряд: 210 280 350 - семидесятый ряд чисел, которых нашла способом сложения чисел 3, 4 и 5.
Сотый ряд чисел: 300 400 500 – нашла по формуле.
Двухтысячный ряд чисел: 6000 8000 10000 –
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Научно-исследовательская работа по теме "Теоремы Чевы и Менелая"
Математические знания в далеком прошлом применялись для решения повседневных задач, и именно практика в значительной степени руководила всем дальнейшим развитием математики. И уже в древности ге...
Устная работа по теме:"Теорема Виета" в 8 классе.
Данная презентация предназначена для отработки навыков в быстром нахождении корней квадратного уравнения....
Самостоятельная работа по теме "Теорема Виета"
Самостоятельная работа составлена в двух вариантах. Задания ориентированы на учебник "Алгебра 8",автор Ю.Н. Макарычев и др. Самостоятельная работа выполнена в виде карточек, удобных ...
самостоятельная работа по теме "Теорема Пифагора"
Самостоятельная работа предлагается учащимся...
Задачи для устной работы по теме "Теорема о вписанном угле"
На слайдах, выполненных в программе Notebook для интерактивной доски SMART, представлены задачи для проведения на уроке устной работы по теме "Теорема о вписанном угле". Задачи можно использовать на э...
Самостоятельная работа по теме "Теорема Пифагора (начало)" для 8 класса
Самостоятельная работа на 4 варианта для 8 класса по теме "Теорема Пифагора" покажет степень усвоения материала по следующим вопросам: соотношение между углами и сторонами прямоугольного тре...
Контрольная работа по теме "Теорема Пифагора", 8 класс.
Контрольная работа по теме "Теорема Пифагора", 8 класс....